Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
(Hinweis: Verwenden Sie z.B. die Identität [mm] \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1}.)
[/mm]
Folgern Sie daraus, dass auch die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}} [/mm] konvergiert und dass der Grenzwert kleiner oder gleich 2 ist. |
Hallo!
Ich hab mal wieder ein kleines Problem und zwar weiß ich nicht, wie ich formell zeigen kann, dass diese Reihe konvergiert. Ich weiß, dass ihr Grenzwert 1 ist, da sich immer die Brüche wegkürzen und am Ende 1-0 steht. Meine Frage ist nun, wie ich das formell aufschreiben kann. Könnt ihr mir da vielleicht ein paar Tipps geben? Wäre echt super!
Und wie kann ich nun daraus folgern, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}} [/mm] konvergiert?
Ich bin für jeden Tipp/Hinweis dankbar.
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm]
> konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
> (Hinweis: Verwenden Sie z.B. die Identität
> [mm]\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k+1}.)[/mm]
>
> Folgern Sie daraus, dass auch die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}}[/mm] konvergiert und dass
> der Grenzwert kleiner oder gleich 2 ist.
> Hallo!
>
> Ich hab mal wieder ein kleines Problem und zwar weiß ich
> nicht, wie ich formell zeigen kann, dass diese Reihe
> konvergiert. Ich weiß, dass ihr Grenzwert 1 ist, da sich
> immer die Brüche wegkürzen und am Ende 1-0 steht. Meine
> Frage ist nun, wie ich das formell aufschreiben kann.
> Könnt ihr mir da vielleicht ein paar Tipps geben? Wäre
> echt super!
Schreibe dir einfach mal die ersten 4 bis 6 Glieder der Summe heraus.
Dann argumentierst du, welche Teile herausfallen und schaust was am Ende übrig bleibt.
Dazu wäre notwendig, zunächst die summe bis zum Index n zu rechnen.
> Und wie kann ich nun daraus folgern, dass die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}}[/mm] konvergiert?
> Ich bin für jeden Tipp/Hinweis dankbar.
>
> Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
Ziehe den ersten Summanden heraus und betrachte die resultierende Reihe. (Diese beginnt dann bei k=2). Du musst also einen Index Shift vornehmen.
Es ergibt sich wieder eine Teleskopsumme, mit der du dein gesuchtes Ergebnis findest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, vielen Dank.
Du hast mir wirklich weitergeholfen.
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Teleskopsumme
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