Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Konvergenz mit entsprechendem Wert folgender Reihe:
Summe von m=0 bis unendlich (-3)hoch m / m! |
| Aufgabe 2 | Konvergenz mit entsprechendem Wert folgender Reihe:
Summe von k=1 bis unendlich 2 hoch k / k |
Weiß wirklich nicht, wie ich die Konvergenz von diesen beiden Reihen berechnen kann. Mit dem Quotientenkriterium kommt zum Beispiel was anderes raus als wenn ich weiß, dass
(-3) hoch m / m! gleich e hoch 3 ist.
Stimmt das überhaupt? Welches Kriterium muss ich anwenden?
Bitte helft mir, schreibe am Montag eine Klausur und hab bis jetzt nicht rausbekommen, wie die Aufgaben gehen.
Vielen Dank :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Sa 27.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tazziger
> Konvergenz mit entsprechendem Wert folgender Reihe:
> Summe von m=0 bis unendlich (-3)hoch m / m!
> Konvergenz mit entsprechendem Wert folgender Reihe:
> Summe von k=1 bis unendlich 2 hoch k / k
> Weiß wirklich nicht, wie ich die Konvergenz von diesen
> beiden Reihen berechnen kann. Mit dem Quotientenkriterium
> kommt zum Beispiel was anderes raus als wenn ich weiß,
> dass
> (-3) hoch m / m! gleich e hoch 3 ist.
> Stimmt das überhaupt? Welches Kriterium muss ich anwenden?
Du kannst Quotientenkriterium anwenden, oder nur angeben dass es die exp. Reihe für -3 ist also [mm] e^{-3}
[/mm]
> Bitte helft mir, schreibe am Montag eine Klausur und hab
> bis jetzt nicht rausbekommen, wie die Aufgaben gehen.
Du könntest wenigstens unseren Formeleditor unter dem fragefenster benutzen!
Die 2. Folge konvergiert nicht! falls es wirklich [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{2^{i}}{i} [/mm] z. Bsp schon mal keine Nullfolge, oder Quotientenkriterium oder alle Glieder >1
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:48 So 28.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Deine Antwort leuchtet mir ein, aber man soll hier doch die sich ergebende Null und nicht die Konvergenz/Divergenz beweisen. Ergibt sich dies dann daraus
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 So 28.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo belgarda
> Deine Antwort leuchtet mir ein, aber man soll hier doch die
> sich ergebende Null und nicht die Konvergenz/Divergenz
> beweisen. Ergibt sich dies dann daraus
Versteh die Frage nicht! Welche 0 sollst du beweisen? Deine gepostete Fragestellung war "Konvergenz, Divergenz, evt. Summe" Was meinst du mit sich ergebende 0? Ich seh keine!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 So 28.05.2006 | | Autor: | belgarda |
Sorry, der Kommentar sollte eigentlich zu meinem Diskussionsthema sein, ich hab mich falsch reingeklickt!
Tschuldigung ;-(
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| Aufgabe | Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-3)^m }{m!}
[/mm]
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Hallo,
danke für deine Antwort. Habe jetzt das Formelsystem benutzt. Gestern Abend war ich so verzweifelt und dachte, dass mit den Formeln würde so lange dauern.
Wenn man das mit dem Quotientenkriterium macht, kommt bei mir folgendes raus:
[mm] \bruch{\bruch{3^(k+1)}{(k+1)!}
}{\bruch{3^k}{k!}
} [/mm] und das dann mit dem Kehrwert mal genommen und gekürzt gibt: [mm] \bruch{3}{k+1} [/mm]
Für k [mm] \infinity [/mm] eingesetzt geht das gegen 0 und nicht gegen [mm] e^3
[/mm]
Was mache ich falsch?
Tatzigger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 So 28.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tazziger
Das Quotientenkriterium ist ein KRITERIUM, das heisst es hilft entscheiden, ob ne Reihe konv. oder nicht! Es sagt absolut und überhaupt nichts über die Summe aus. Man kann viele Reihen hinschreiben, beweisen, dass sie konvergieren, aber die Summe nicht explizit ausrechnen. (so auch [mm] e^{-3}, [/mm] das durch diese Reihe bestimmt wird, aber da es keine rationale Zahl ist, ja auch nicht wirklich berechnet werden kann nur ist es halt schon auf ein paar Stellen genau in jedem TR drin!)
Gruss leduart
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| Aufgabe 1 | Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-3)^m }{m!}
[/mm]
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| Aufgabe 2 | Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{m=1}^{\infty} \bruch{(-2)^m }{m}
[/mm]
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort :). Ok, das geht also so nicht. Kannst du mir noch sagen wie ich bei der zweiten Aufgabe die Konvergenz berechne? Hab es mit dem Quotientenkriterium versucht. Ich bekomme dann raus, dass sie divergent ist. Ist das so richtig? Oder muss ich das mit einem anderen Kriterium machen? Was wäre wenn statt der -2 eine +2 da stehen würde? Ändert sich doch eigentlich nichts, oder ?
Tatzigger :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 28.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tatzigger!
> Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{m=1}^{\infty} \bruch{(-2)^m }{m}[/mm]
>
> Hab es mit dem Quotientenkriterium versucht.
Schneller ginge es auch mit dem notwendigen Kriterium, dass [mm] $\bruch{(-2)^m}{m}$ [/mm] keine Nullfolge ist.
> Ich bekomme dann raus, dass sie divergent ist. Ist das so richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig ...
> Oder muss ich das mit einem anderen Kriterium machen?
> Was wäre wenn statt der -2 eine +2 da stehen würde?
Beim Quotientenkriterium wird sowieseo der Betrag des Quotienten betrachtet. Von daher erhältst Du auch [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ +2 \ > \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ $\text{divergent}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Aufgabe 1 | Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-2)^k }{k}
[/mm]
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| Aufgabe 2 | Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{ln (k)}{k}
[/mm]
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Ist echt toll. Jetzt bekomme ich das auch raus. Vielen Dank. Kannst du mir noch sagen, ob [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{ln (k)}{k} [/mm] divergent ist? Habe es mit
[mm] \bruch{1}{k} [/mm] verglichen. Damit eine [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] a(k) divergent ist, muss es eine divergente Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] c(k) geben mit a(k) [mm] \ge [/mm] c(k) [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] c(k) wäre in diesem Fall ja [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
Dann müsste [mm] \bruch{ln (k)}{k} \ge \bruch{1}{k} [/mm] sein. Aber das ist es irgendwie nicht. Wenn ich z.B. für k 2 einsetze, ist es nicht größer. Mache ich was falsch?
Über eine Antwort freue ich mich sehr.
Gruß Tatzigger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 28.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tatzigger
> Konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{ln (k)}{k}[/mm]
> Kannst du mir noch sagen,
> ob [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{ln (k)}{k}[/mm] divergent ist?
Ja divergent
> Habe es mit
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] verglichen. Damit eine [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm]
> a(k) divergent ist, muss es eine divergente Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] c(k) geben mit a(k) [mm]\ge[/mm] c(k) [mm]\ge[/mm] 0
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] c(k) wäre in diesem Fall ja
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
> Dann müsste [mm]\bruch{ln (k)}{k} \ge \bruch{1}{k}[/mm] sein. Aber
> das ist es irgendwie nicht. Wenn ich z.B. für k 2 einsetze,
> ist es nicht größer. Mache ich was falsch?
Nein. Der erste Teil einer Reihe spielt nie ne Rolle für die Konvergenz oder Divergenz., denn den könnte man ja als endliche Zahl immer ausrechnen. Alle Kriterien müssen also erst ab irgendeinem endlichen N richtig sein also für alle n>N Und N darf dabei auch [mm] 10^{2006} [/mm] sein! Hier reicht aber sicher n>!0, ln n>1
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 So 28.05.2006 | | Autor: | Tatzigger |
Achso, das wusste ich nicht. Vielen Dank. Ja, so ist sie dann divergent. Ich danke vielmals :)! Echt toll!
Gruß Tatzigger
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