Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Framl |
| Aufgabe | | Finden Sie (mit Mitteln der Differentialrechnung) eine geeignete Abschätzung für [mm] $a_k=ln(k^2+1)-ln(k^2)$ [/mm] und folgern Sie daraus die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen:
Wie kann ich hier denn abschätzen? Die Folge sieht ja starkt nach dem Differentienquotienten [mm] $\lim_{h\rightarrow 0} \frac{ln(k^2+h)-ln(k^2)}{h}=\frac{2}{k}$ [/mm] aus. Aber 1.) ist die Ableitung vom ln an der Stelle [mm] $k^2 =\frac{2k}{k^2}=\frac{2}{k}$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{2}{k}$ [/mm] divergiert ja!?
Vielen Dank im Voraus 
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> Finden Sie (mit Mitteln der Differentialrechnung) eine
> geeignete Abschätzung für [mm]a_k=ln(k^2+1)-ln(k^2)[/mm] und folgern
> Sie daraus die Konvergenz der Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich vermute, daß Du hier mit dem Mittlwertsatz arbeiten sollst.
Sei f(x):= lnx,
es ist [mm] f'(x)=\bruch{1}{x}.
[/mm]
Nach dem MWS findest Du ein [mm] \xi\in ]k^2,k^2+1[ [/mm] mit
[mm] \bruch{f(k^2+1)-f(k^2]}{k^2+1-k^2}=ln(k^2-1)-ln(k^2)=f'(\xi)=\bruch{1}{\xi}< [/mm] ...
Bedenke nun das monotone Fallen von [mm] f'(x)=\bruch{1}{x}, [/mm] und schätze mit dieser Information [mm] \bruch{1}{\xi} [/mm] ab.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Framl |
Dank für die schnelle Antwort.
[mm] $f'(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] ist doch monoton fallend!? Dann würde aber folgen [mm] $a_k=... [/mm] = [mm] f'(\xi)
Stimmt das so?
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> [mm]f'(x)=\frac{1}{x}[/mm] ist doch monoton fallend!?
Natürlich - das hatte ich auch gemeint... Entschuldigung.
Zum Glück hast Du Dich nicht verwirren lassen.
Dann würde
> aber folgen [mm]a_k=... = f'(\xi)
> konvergent.
>
> Stimmt das so?
Ja, so hatte ich mir das gedacht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Framl |
Wenn mans weiß, ist es einfach  Dankeschön
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