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| Aufgabe | | Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i)}{i^2} [/mm] begründen. |
Hallo an alle!
Habe die oben gestellte Aufgabe zu lösen.
Klar ist mir, dass sin(i) [mm] \le [/mm] 1 ist, somit ist [mm] \bruch{sin(i)}{i^2} \le \bruch{1}{i^2} [/mm] und konvergente Majorante.
Aber nun komme ich nicht mehr weiter? Oder reicht das schon als Lösung? Wohl eher nicht, oder?
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen?!
Danke + Gruß -PHANTOMIAS-
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> Konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i)}{i^2}[/mm] begründen.
> Hallo an alle!
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> Habe die oben gestellte Aufgabe zu lösen.
> Klar ist mir, dass sin(i) [mm]\le[/mm] 1 ist, somit ist
> [mm]\bruch{sin(i)}{i^2} \le \bruch{1}{i^2}[/mm] und konvergente
> Majorante.
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> Aber nun komme ich nicht mehr weiter? Oder reicht das schon
> als Lösung? Wohl eher nicht, oder?
Hallo,
doch, das ist nahezu die Lösung.
Allerdings solltest Du noch ein paar Betragsstriche spendieren.
Also : [mm] |\bruch{sin(i)}{i^2}|=\bruch{|sin(i)|}{i^2}\le [/mm] ... und dann weiter.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
$ [mm] |\bruch{sin(i)}{i^2}|=\bruch{|sin(i)|}{i^2}\le [/mm] $ ... und dann weiter.
-> dann muss 0 [mm] \le [/mm] |sin(i)| [mm] \le [/mm] 1 sein.
Aber was sagt mir das dann? Mir fehlt anscheinend so der letzte Gedankengang...
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
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> [mm]|\bruch{sin(i)}{i^2}|=\bruch{|sin(i)|}{i^2}\le[/mm] ... und dann
> weiter.
> -> dann muss 0 [mm]\le[/mm] |sin(i)| [mm]\le[/mm] 1 sein.
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> Aber was sagt mir das dann? Mir fehlt anscheinend so der
> letzte Gedankengang...
Du hattest es doch schon selbst gesagt: dann hast Du mit [mm] \bruch{1}{i^2} [/mm] eine Majorante gefunden.
Alle Zutaten fürs Majorantenkriterium stimmen, also kannst Du es anwenden.
Gruß v. Angela
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Ja, dann habe ich doch [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^2} [/mm] , oder?
Und [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{1}{i^2} [/mm] = 0
Oder bin ich jetzt auf dem falschen Dampfer?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass [mm] 1/i^2 [/mm] ne Nullfolge ist ist nur notwendige Bed für die Konvergenz der Reihe! 1/i konvergiert auch, aber die Summe nicht.
meist ist schon bekannt dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/i^r [/mm] für r>1 konvergiert. dann bist du fertig.
sonst musst du [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/i^2 [/mm] noch durch ne geometrische Reihe, etwa q=1/2 majorisieren.
Gruss leduart
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Hm, okay.
Und gegen welchen Wert konvergiert $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2} [/mm] $?
Bzw. wie zeige ich die Konvergenz?
Weil [mm] \bruch{1}{i^2} \le \bruch{1}{(i+1)^2} [/mm] ist?
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> Hm, okay.
> Und gegen welchen Wert konvergiert
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2} [/mm]?
> Bzw. wie zeige ich
> die Konvergenz?
> Weil [mm]\bruch{1}{i^2} \le \bruch{1}{(i+1)^2}[/mm] ist?
Hallo,
den Wert der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2} [/mm] zu kennen [mm] (\pi^2/6), [/mm] ist in diesem Zusammenhang überhaupt nicht notwendig.
Wesentlich ist bloß die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2}.
[/mm]
Normalerweise wird die in der Vorlesung schon gezeigt worden sein.
Wenn das der Fall ist, kannst Du Dich einfach auf diese Ergebnis berufen.
Was Du tun kannst, wenn Dir dieses Resultat nicht (offiziell) bekannt ist, hat leduart ja gesagt:
Du kannst [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2} [/mm] mit der geometrischen Reihe majorisieren.
Wie das geht, will ich ungern aufschreiben, Du müßtest es im Analysisbuch finden.
> Bzw. wie zeige ich
> die Konvergenz?
> Weil [mm]\bruch{1}{i^2} \le \bruch{1}{(i+1)^2}[/mm] ist?
Das geht auch.
Falls es tatsächlich so ist, daß Ihr die Konvergenz v. [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i(i+1)} [/mm] gezeigt habt und v. [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2} [/mm] noch nicht, kannst Du das sehr bequem verwenden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Mi 07.11.2007 | | Autor: | PHANTOMIAS |
Ich habe es in den Unterlagen tatsächlich gefunden. Habe ich wohl beim Durchblättern übersehen...
Vielen Dank nochmals für die Hilfe!
Gruß -PHANTOMIAS-
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> Ich habe es in den Unterlagen tatsächlich gefunden. Habe
> ich wohl beim Durchblättern übersehen...
Merk es Dir! Das und die geometr. Reihe verwendet man meist als Majorante.
Und als Minorante (falls Ihr das hattet) 1/n.
Gruß v. Angela
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