Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche x [mm] \in [/mm] R konvergiert die Reihe
$ [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(x^{5/3})^{n}} [/mm] $.
Welchen wert hat f(8). |
[mm] $=\summe(x^{-(5/3)*n}$ [/mm] damit ist [mm] q=-(5/3)^x [/mm] und x=q/(-5/3)
sodaß f(x) konvergiert für x>3/5 oder x<-3/5. Aber wie kann man damit
f(8) ausrechnen? Oder muss hier ein anderer Rechenweg verwendet werden?
Danke!
Matthias
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Du hast ja
f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(x^{5/3})^{n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{x^{5/3}})^{n}
[/mm]
Das heißt wir haben eine geometrische Reihe mit q = [mm] \bruch{1}{x^{5/3}}.
[/mm]
Eine geometrische Reihe konvergiert, wenn q < 1, also muss:
[mm] \bruch{1}{x^{5/3}} [/mm] < 1 sein. Bilden wir mal den Kehrwert:
[mm] x^{5/3} [/mm] > 1
[mm] \gdw [/mm] x > 1.
Solange also x > 1, konvergiert die geometrische Reihe.
Falls nun x = 8, lautet die geometrische Reihe (praktisch x eingesetzt):
f(8) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{8^{5/3}})^{n}
[/mm]
Mit dem Wissen [mm] 8^{5/3} [/mm] = 32 steht dann also da:
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{32})^{n}
[/mm]
Aus dem Unterricht (11. Klasse) oder der Vorlesung ist auch der Grenzwert einer solchen unendlichen geometrischen Reihe bekannt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{0}*q^{n} [/mm] = [mm] a_{0}*\bruch{1}{1-q}
[/mm]
hier also:
[mm] a_{0} [/mm] = 1
q = [mm] \bruch{1}{32}
[/mm]
f(8) = [mm] 1*\bruch{1}{1-\bruch{1}{32}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\bruch{31}{32}}
[/mm]
= [mm] \bruch{32}{31}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Di 08.01.2008 | | Autor: | matthias99 |
na, jetzt ists mir klar!!!
Vielen Dank für die umfassende Antwort!!!!
Matthias
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