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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Punkte [mm] z\in \IC [/mm] in denen die folgende Reihe konvergiert:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(z-4)^{n}}{n^2} [/mm] $ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand helfen, ich habe keine Idee was ich tun soll
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo richard!
Erste Idee wäre, uns überhaupt mal die entsprechende Reihe zu verraten.
Gruß
Loddar
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hallo loddar,
die Reihe lautet:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(z-4)^{n}}{n^2}
[/mm]
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Da fehlt offensichtlich noch was!
Bitte vor dem Senden mal auf "Vorschau" klicken! 
lg Kai
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danke kai, werd das nächste mal daran denken...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 So 06.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Kai,
ich wünschte mir manchmal nach dem Absenden noch so ein Knöpfchen "halt! nirgendwo und niemandem anzeigen! sofort zur Nachbearbeitung öffnen und diese dann als 1. Version einstellen, damit keiner merkt, was ich hier gerade geschrieben habe! Bitte, bitte!"
Der Knopf müsste für den ganzen Text ziemlich groß sein und dürfte natürlich nur funktionieren, bis jemand doch schon nachgeschaut hat, aber bis dahin...
reverend
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Hallo richardducat,
> Bestimmen Sie alle Punkte [mm]z\in \IC[/mm] in denen die folgende
> Reihe konvergiert:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(z-4)^{n}}{n^2}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Kann mir jemand helfen, ich habe keine Idee was ich tun
> soll
Das ist mehr als schlecht! Wie wär's mit Nacharbeiten der VL?
Ihr müsst doch was zum Thema Potenzreihen in der VL gemacht haben?
Warum solltet ihr sonst eine solche Aufgabe bekommen??
Zur Not im Internet schlaumachen.
Soviel Eigeninitiative muss in Mathe sein, sonst kommst du nicht weit ...
Naja, trotzdem ein Tipp zum Anfangen:
Die Reihe lautet [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot{}(z-4)^n$
[/mm]
Berechne gem. Kriterium von Cauchy-Hadamard (wirf mal einen Blick ins Skript oder deine Mitschrift!) folgendes:
[mm] $r=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{n^2}\right|}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $R:=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$, [/mm] falls $r=0$ bzw. [mm] $r=\infty$
[/mm]
Dann hast du Konvergenz für $|z-4|<R$ und Divergenz für $|z-4|>R$
Die Punkte der Kreislinie $|z-4|=R$ bleiben separat zu prüfen, dort kann oder nicht Konvergenz vorliegen ...
Nun bist du aber dran ...
Gruß
schachuzipus
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hallo schachuzipus,
deine kritik ist berechtigt.
allerdings wurden in der vorlesung noch keine potenzreihen behandelt und der begriff des konvergenzradius auch nicht eingeführt.
wir hatten allerdings die konvergenzkriterien für reihen besprochen(majorante, wurzelkrit. usw.)
mir würde es schon sehr viel helfen, wenn ich wüsste wo ich ansetzen kann.
und natürlich möchte ich mir hier nicht die nachbereitung der vl sparen!
vielen dank!
richardducat
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Hallo nochmal,
> hallo schachuzipus,
>
> deine kritik ist berechtigt.
> allerdings wurden in der vorlesung noch keine potenzreihen
> behandelt und der begriff des konvergenzradius auch nicht
> eingeführt.
ok, schade
> wir hatten allerdings die konvergenzkriterien für reihen
> besprochen(majorante, wurzelkrit. usw.)
Das ist gut und hilft hier auch weiter ...
> mir würde es schon sehr viel helfen, wenn ich wüsste wo
> ich ansetzen kann.
Nun nimm eine der beiden Möglichkeiten QK oder WK (oder beide zur Übung)
Fasse deine Potenzreihe als "normale" Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] auf mit [mm] $a_n=\frac{(z-4)^n}{n^2}$
[/mm]
Und berechne [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] bzw. [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}$
[/mm]
Was sagen dir QK/WK dann über Konvergenz/Divergenz ...
Das führt dich (beim WK) direkt zum o.e. Kriterium von Cauchy-Hadamard.
Also rechne mal los, kann ja nicht viel passieren.
Wie gucken dann drüber und ergänzen ggfs.
> und natürlich möchte ich mir hier nicht die
> nachbereitung der vl sparen!
>
> vielen dank!
> richardducat
Gruß
schachuzipus
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[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(z-4)^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{(z-4)^n}{n^2}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(z-4)^{n+1} n^2}{(z-4)^n (n+1)^2}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^2 (z-4)}{(n+1)^2}\right|
[/mm]
ist das soweit ok?
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[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(z-4)^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{(z-4)^n}{n^2}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(z-4)^{n+1} n^2}{(z-4)^n (n+1)^2}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^2 (z-4)}{(n+1)^2}\right|\to\left|z-4\right|
[/mm]
und damit die reihe konvergiert, muss gelten:
[mm] \left|z-4\right|<1
[/mm]
darf ich das so machen?
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Hallo nochmal,
>
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(z-4)^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{(z-4)^n}{n^2}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(z-4)^{n+1} n^2}{(z-4)^n (n+1)^2}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{n^2 (z-4)}{(n+1)^2}\right| [/mm] $ [mm] \red{\to} [/mm] = [mm] $\left|z-4\right|$
[/mm]
Da sollte besser ein "=" stehen
>
> und damit die reihe konvergiert, muss gelten:
>
> [mm] $\left|z-4\right|<1$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> darf ich das so machen?
Aber gewiss doch.
Außerdem weißt du, dass außerhalb des Kreises um [mm] $z_0=4$ [/mm] mit Radius 1 die Reihe divergiert, also für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z-4|>1$
Wie sieht's auf dem Kreisrand aus, also für all jene [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z-4|=1$?
Gruß
schachuzipus
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hallo schachuzipus ,
ersteinmal vielen dank für die erläuterungen.
das quotientenkrit. kann für den fall (z-4)=1 keine aussage über konvergenz machen. was gibt es denn für möglichkeiten, für den
kreisrand eine aussage zu machen?
gruß
richardducat
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Hallo nochmal,
> hallo schachuzipus ,
>
> ersteinmal vielen dank für die erläuterungen.
>
> das quotientenkrit. kann für den fall (z-4)=1 keine
> aussage über konvergenz machen.
Das stimmt
> was gibt es denn für
> möglichkeiten, für den
> kreisrand eine aussage zu machen?
>
Kennst du die Reihen des Typs [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ [/mm] ?
Die sind konvergent für $s>1$ und divergent für [mm] $s\le [/mm] 1$, die harmonische Reihe (für $s=1$ ist sozusagen die "Grenzreihe" zwischen den konvergenten und den diergenten
Mit diesem Wissen schaue dir mal für $|z-4|=1$ die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(z-4)^n}{n^2}\right|$ [/mm] an ...
> gruß
> richardducat
LG
schachuzipus
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hallo schachuzipus,
für |z-4|=1 ist die Reihe [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(z-4)^n}{n^2}\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n^2}\right|\to [/mm] 1
und das bedeutet nun, dass die reihe für den fall |z-4|=1 konvergiert?
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo schachuzipus,
>
> für |z-4|=1 ist die Reihe
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(z-4)^n}{n^2}\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n^2}\right|\to[/mm]
> 1
Mach den Pfeil und die 1 oben weg !! Es ist [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}= \bruch{\pi^2}{6}
[/mm]
aber das ist für Deine Aufgabe nicht relevant
>
> und das bedeutet nun, dass die reihe für den fall |z-4|=1
> konvergiert?
Ja, sie konvergiert sogar absolut !
FRED
>
> gruß
> richard
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hallo fred,
und damit ist gezeit, dass die reihe am kreisrand (also |z-4|=1) konvergiert?
und dann reicht es für diese aufgabe aus zu wissen, dass die harmonische Reihe konvergiert?
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hallo fred,
ich wollte fragen, ob es reicht zu wissen, dass die Reihe
[mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n^2}\right|$ [/mm]
konvergiert
was ich eine frage zuvor geschrieben habe, ist quatsch
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Hallo nochmal,
> hallo fred,
>
> ich wollte fragen, ob es reicht zu wissen, dass die Reihe
>
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n^2}\right|$[/mm]
> konvergiert
Ja klar, für $|z-4|=1$ konvergiert die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(z-4)^n}{n^2}$ [/mm] absolut und damit auch im gewöhnlichen Sinne ...
Wenn ihr allerdings in der VL noch nicht gezeigt habt, dass die Reihen [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ [/mm] für $s>1$ konvergieren, solltest du das noch tun (zumindest in dem hier aufrtretenden Spezialfall $s=2$)
Gruß
schachuzipus
>
> was ich eine frage zuvor geschrieben habe, ist quatsch
Jo! Habe ne Mitteilung daraus gemacht
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vielen dank euch allen!
mal sehen, ob noch fragen zu dieser aufgabe aufkommen...
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