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Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:51 Mi 09.06.2010
Autor: Larissa89

Aufgabe
Untersuche die Reihe [mm] \summe_{i=3}^{\infty} [/mm] 1/ [i*log(i)*(log(log(i)))^ 2] auf Konvergenz..

Ich wuerde das ungetuem gern so umformen, dass ich am Ende die als konvergent bekannte Reihe [mm] \summe_{i=3}^{\infty} [/mm] 1/ [mm] i^2 [/mm] haette. Ich weiss aber nicht, wie ich dort hinkomme....Ein kleiner Tipp waere toll.
(log(x)=ln(x)/ln(2))

        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Mi 09.06.2010
Autor: fred97

Hier eignet sich hervorragend das Integralkriterium:

              http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:47 Mi 09.06.2010
Autor: Larissa89

gut,dann muss ich also zeigen dass ein Integral [mm] \integral_{3}^{\infty}{f(x) dx} [/mm]  (mit x anstelle der i) existiert. Mache ich das, indem ich integriere? Das wuerde ehrlichgesagt keinen Spass machen:-/.  Oder gibt es nicht einen eleganteren Weg?

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Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Mi 09.06.2010
Autor: fred97


> gut,dann muss ich also zeigen dass ein Integral
> [mm]\integral_{3}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]  (mit x anstelle der i)
> existiert. Mache ich das, indem ich integriere? Das wuerde
> ehrlichgesagt keinen Spass machen:-/.  


Mann , mann, mann, äh besser: Frau,frau frau: machs doch einfach mal !!!!

Du wirst sehen, es bleibt angenehm

1. Substituiere u=log(x) .

2. Substituiere dann v= log(u)

FRED




> Oder gibt es nicht
> einen eleganteren Weg?


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Mi 09.06.2010
Autor: Larissa89

Ah.. dann suche ich das Integral von 1: [mm] (xuv^2) [/mm]
Ich finde bloß keine Produkt bzw. Kettenregel
zum Integrieren. Wie war das nochmal?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Mi 09.06.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Larissa!


Das stimmt aber vorne und hinten nicht. Bitte rechne mal schrittweise vor.

Und vergiss bei den einzelnen Substitutionen auch nicht, das jeweilige Differential zu ersetzen!


Gruß vom
Roadrunner


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Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mi 09.06.2010
Autor: fred97


> Ah.. dann suche ich das Integral von 1: [mm](xuv^2)[/mm]
>  Ich finde bloß keine Produkt bzw. Kettenregel
>  zum Integrieren. Wie war das nochmal?

ich fürchte Du konntest mit meinen Tipps überhapt nichts anfangen !!

Zu berechnen ist   [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x*log(x)*(log(log(x)))^2}dx} [/mm]

Rechne nach, dass mit der Substitution u=log(x) gilt:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x*log(x)*(log(log(x)))^2}dx}= \integral_{}^{}{\bruch{1}{u*(log(u))^2}du} [/mm]

überzeuge Dich davon, dass die Substitztion v=log(u) liefert:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x*log(x)*(log(log(x)))^2}dx}= \integral_{}^{}{\bruch{1}{u*(log(u))^2}du}= \integral_{}^{}{\bruch{1}{v^2}dv} [/mm]

Das letzte Integral überlasse ich Dir zu berechnen.

Nun machst Du die beiden Substitutionen rückgängig und erhälst eine wunderschöne Stammfunktion von

           [mm] \bruch{1}{x*log(x)*(log(log(x)))^2} [/mm]

FRED



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Bezug
Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:53 Do 10.06.2010
Autor: Larissa89

Die Stammfunktion soll immer noch so aussehen wie am Anfang das Integral???
Ist damit geklärt, dass die Reihe konvergiert?
Könnt ihr mir trotzdem erklären wie ihr integriert hab?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:13 Do 10.06.2010
Autor: fred97


> Die Stammfunktion soll immer noch so aussehen wie am Anfang
> das Integral???


Wer sagt das ? Ich habe geschrieben: ................."erhälst eine wunderschöne Stammfunktion von

           $ [mm] \bruch{1}{x\cdot{}log(x)\cdot{}(log(log(x)))^2} [/mm] $"...................

Du hast wohl das Wörtchen "von" überlesen.


>  Ist damit geklärt, dass die Reihe konvergiert?


Noch nicht. Du mußt untersuchen ob der Grenzwert

          [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{3}^{a}{f(x) dx} [/mm]

existiert

>  Könnt ihr mir trotzdem erklären wie ihr integriert hab?


Das hab ich doch oben und zwar ausführlichst !

FRED

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Bezug
Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Do 10.06.2010
Autor: Larissa89

Na, mir ist nicht wirklich klar wie du von u nach v kommst.
Also das letzte Integral ist -1/ v in den Grenzen 3 bis [mm] \infty [/mm]
Wenn ich resubstituiere habe ich dann -1/(log(log(x)) in den Grenzen ....
Ist das richtig so?

Bezug
                                                        
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Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Do 10.06.2010
Autor: fred97


> Na, mir ist nicht wirklich klar wie du von u nach v
> kommst.

Substitution v=log(u)


>  Also das letzte Integral ist -1/ v in den Grenzen 3 bis
> [mm]\infty[/mm]
>  Wenn ich resubstituiere habe ich dann -1/(log(log(x))


Ja

FREd

in

> den Grenzen ....
>  Ist das richtig so?


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