Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Diese Frage bezieht sich nicht auf eine bestimmte Aufgabenstellung, sondern auf die Definition der Konvergenz von Reihen allgemein.
Das Trivialkriterium für die Konvergenz von Reihen besagt, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n = 0 [/mm].
Ferner ist z.B. allg. bekannt, dass mit [mm]$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n = e = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} $ [/mm] die Eulersche Zahl als Reihe darstellbar ist. Sie konvergiert gegen e.
Hier setzt auch schon mein Problem an: Wie kann diese Reihe konvergieren, wenn schon das notwendige Kriterium, also dass der Grenzwert null ist, nicht erfüllt ist? Gibt es vielleicht noch andere Reihen, die nicht gegen null konvergieren und dennoch konvergent sind? Und wieso ist das dann so?
Leider hat mir google dazu leider nicht wirklich weiterhelfen können. Ich hoffe ihr könnt mir das erklären.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo dat_jernot,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich glaube, Du schmeißt hier etwas durcheinander. Für den Nachweis des Trivialkriteriums für die Exponentialreihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}$ [/mm] musst Du die Folge [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{n!}$ [/mm] betrachten.
Und diese Folge ist ja wohl eindeutig eine Nullfolge.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
erstmal vielen Dank für die Antwort!
Dann habe ich wahrscheinlich ein etwas falsches Verständnis von Konvergenz gegen eine Zahl - korrigiere mich, wenn ich falsch liege:
Die zur Reihe zugehörige Folge muss gegen null konvergieren - die Reihe kann dann gegen was auch immer konvergieren.
Richtig?
Thx und Gruß
Gernot
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Hallo Gernot,
> Die zur Reihe zugehörige Folge muss gegen null
> konvergieren - die Reihe kann dann gegen was auch immer
> konvergieren.
Ja. Es ist notwendig, dass die Folge zur Reihe eine Nullfolge ist.
Aber, es ist nicht hinreichend (Beispiel harmonische Reihe: 1/n ist Nullfolge, aber die Reihe divergiert)
LG
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