Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 So 11.12.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man untersuche die Reihe
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k!)^2}{(2k)!} [/mm] auf Konvergenz. |
Ich hab das erste Bsp mit einer Reihe, sonst habe ich immer nur die Konvergenz von folgen nachgewiesen.
Ich hab leider absolut keine Ahnung, wie man dass bei einer Reihe macht. Kann mir wer sagen, wie man da bei einer Reihe herangeht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 So 11.12.2011 | | Autor: | sandp |
Du kennst bestimmt die Konvergenzkriterien für Reihen.
Leibniskriterium, Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Wurzelkriterium und Quotientenkriterium, du musst versuchen eines dieser Kriterien anzuwenden.
Welches Kriterium nimmt man in deinem Fall mit Fakultät bevorzugt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 11.12.2011 | | Autor: | sissile |
Das ist die erste Reihe bei der ich Konvergenz untersuchen soll. Ich hab nicht wirklich eine Ahnung welches Kriterium da am besten zu verwenden ist.
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> Das ist die erste Reihe bei der ich Konvergenz untersuchen
> soll. Ich hab nicht wirklich eine Ahnung welches Kriterium
> da am besten zu verwenden ist.
Dann versuch dich mal an dem Quotientenkriterium, also
[mm] $|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|
Schreib dir deinen Doppelbruch also mal hin und versuche sinnvoll, die einzelnen Fakultätsterme so umzuschreiben, dass du kürzen kannst. Z.B. hast du dann im Zähler mal 2k! stehen und im Nenner (2k+1)!. Das kannst du umschreiben zu (2k)!*(2k+1) und danach kürzen. Damit kommst du am Ende auf einen Bruch, dem man ansehen sollte, dass er kleiner 1 ist. DU bekommst sogar ein genaues Ergebnis ;)
Nachtrag: Zur Bestätigung auch gerne Wolframalpha benutzen:
Als Bestätigung, dass der Bruch kleiner 1 ist, bzw. gegen 0 konv.
![[]](/images/popup.gif) Wolfram Alpha
Und als Beweis, dass die Reihe konvergiert:
Wolfram Alpha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 11.12.2011 | | Autor: | sissile |
Doppelbruch auflösen:
= [mm] \frac{(2k)!*((k+1)!)^2}{(2k+2)!*(k!)^2}
[/mm]
= [mm] \frac{(2k)!*((k+1)!)^2}{(2k)!*(2k+1)*(2k+2)*(k!)^2}
[/mm]
= [mm] \frac{((k+1)!)^2}{(2k+1)*(2k+2)*(k!)^2}
[/mm]
= [mm] \frac{((k)!)^2 * (k+1)^2}{(2k+1)*(2k+2)*(k!)^2}
[/mm]
= [mm] \frac{(k+1)^2}{(2k+1)*(2k+2)}
[/mm]
[mm] =\frac{k^2+2k+1}{4k^2+6k+2}
[/mm]
Oder darf man dass nicht machen!? Ich bin da bissal verwirrt !!
LG
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> Doppelbruch auflösen:
> = [mm]\frac{(2k)!*((k+1)!)^2}{(2k+2)!*(k!)^2}[/mm]
>
> = [mm]\frac{(2k)!*((k+1)!)^2}{(2k)!*(2k+1)*(2k+2)*(k!)^2}[/mm]
>
> = [mm]\frac{((k+1)!)^2}{(2k+1)*(2k+2)*(k!)^2}[/mm]
>
> = [mm]\frac{((k)!)^2 * (k+1)^2}{(2k+1)*(2k+2)*(k!)^2}[/mm]
>
>
> = [mm]\frac{(k+1)^2}{(2k+1)*(2k+2)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{k^2+2k+1}{4k^2+6k+2}[/mm]
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> Oder darf man dass nicht machen!? Ich bin da bissal
> verwirrt !!
> LG
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich hoffe doch, denn das ist auch meine Lösung, woraus sofort für ein k gegen [mm] \infty [/mm] als Grenzwert des Bruches 1/4 folgt, was kleiner als 1 ist. Du hast ja nichts anderes gemacht, als Rechengesetze für Fakultäten angewandt, also natürlich darfst du gleiche Zahlen im Bruch kürzen, das hat ja in dem Sinne nichts mit Grenzwertbetrachtungen usw. zu tun. Du musst nur die versch. Kriterien für Reihenkonvergenz kennen, das Ausrechnen dieser Kriterien wiederrum geht nach altbekannten Regeln, und für den Bruch gilt da nichts spezielles, daher dürfen wir auch durch k natürlich kürzen, zumal die Reihe ja bei k=1 beginnt und uns sowieso nur der Grenzübergang $k [mm] \to \infty$ [/mm] interessiert. Mein Kriterium oben war auch lapidar angegeben, richtig müsste immer ein
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}$ [/mm] vor das Kriterium und damit hast du alles richtig gemacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 So 11.12.2011 | | Autor: | sissile |
Vielen lieben Dank, dass du dir die Zeit genommen hast!!
Schönen Sonntag noch.
LG
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