Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3} [/mm] soll auf Konvergenz untersucht werden. |
Ich habe bis jetzt immer nur Folgen untersucht und wir hatten auch noch kein Reihenkriterium, wie könnte ich hier vorgehen? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Do 07.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Mir ist aber bekannt, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} [/mm] gegen 1 konvergiert.
Könnte ich damit eine untere Schranke für meine Reihe einführen und damit irgendwas nachweisen? Vielleicht über die dazugehörige Folge? Ich weiß nicht wirklich weiter. :-/
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Hallo mtr-studi,
Du sollst ja nicht den Wert der Reihe bestimmen, sondern nur die Konvergenz nachweisen bzw. ausschließen.
> Die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}[/mm] soll auf
> Konvergenz untersucht werden.
> Ich habe bis jetzt immer nur Folgen untersucht und wir
> hatten auch noch kein Reihenkriterium, wie könnte ich hier
> vorgehen?
Na, ganz ohne gehts nicht, aber Du hast ja schon eine Idee, sogar eine gute.
Verwende die Dir bekannte Reihe, aber nicht um eine untere Schranke zu finden, sondern eine obere.
Das funktioniert ja nur für $k=1$ nicht; das löst man dann eben vorher aus beiden Reihen heraus. Klar?
Grüße
reverend
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Wie man ein Glied herauslöst weiß ich doch irgendwie nicht so genau oder meinst du einfach das k bei 2 beginnen zu lassen?
Vielen Dank!
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Hallo,
im Prinzip hast du Recht. Man beginnt einfach bei k=2.
So ganz vollständig ist die Sache aber nicht. Man sollte sich dann jedenfalls noch klarmachen, dass der weggelassene Summand endlich ist und damit auf das Konvergenzverhalten keinen Einfluss hat. Das mag hier trivial erscheinen; sobald du aber auch den Reihenwert mit so einer Abschätzung berechnen möchtest, dann musst du die Werte der weggelassenen Reihenglieder berücksichtigen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Sa 16.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Ok, das ist gut zu wissen, vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Fr 08.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}[/mm] soll auf
> Konvergenz untersucht werden.
> Ich habe bis jetzt immer nur Folgen untersucht
Eine Reihe ist doch eine Folge !
> und wir
> hatten auch noch kein Reihenkriterium, wie könnte ich hier
> vorgehen?
Setze [mm] s_n:=\summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3}.
[/mm]
Die Frage ist also: ist [mm] (s_n) [/mm] konvergent oder nicht.
Eine Möglichkeit, ganz ohne Konvergenzkriterien für Reihen, diese Frage zu beantworten, wäre die folgende:
Setze [mm] \sigma_n:=\summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}
[/mm]
1. Zeige induktiv:
[mm] \sigma_n \le 2-\bruch{1}{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
2. Zeige:
0 [mm] \le s_n \le \sigma_n \le [/mm] 2 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
3. Zeige: [mm] (s_n) [/mm] ist monoton wachsend.
Was sagt das Monotoniekriterium zur Folge [mm] (s_n) [/mm] ?
FRED
Damit ist die F
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Do 14.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Wir haben keine Induktion gelernt (verwenden wir nicht), aber ich habe es jetzt mit der Abschätzung nach oben hinbekommen, danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wir haben keine Induktion gelernt (verwenden wir nicht),
Tatsächlich ? Was und wo studierst Du ? Du besuchst doch sicher eine Vorlsung mit dem Titel
"Höhere Mathematik für blabla blubber "
Und da macht Ihr keine Induktion ?? Kaum zu glauben.
FRED
> aber ich habe es jetzt mit der Abschätzung nach oben
> hinbekommen, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Sa 16.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Ich studiere an einer technischen Universität (möchte jetzt lieber nicht den Namen nennen, würde man nicht glauben) und Induktion wurde in "Mathe für Ingenieure" bewusst aus dem Lehrplan gestrichen (Begründung: nicht notwendig) und es wird auch bewusst in der Vorlesung auf Beweise verzichtet.
Mir gefällt das persönlich recht gut, denn so ist es verständlich und das für einen Ingenieur Notwendige lernt man zumindestens.
Die tiefen Einsichten und Erkenntnisse in der Mathematik können dann die Mathematiker haben, für uns ist es laut Angaben der Profs nur "Handwerkszeug".
Soweit also von mir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Sa 16.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo mtr-studi,
> Ich studiere an einer technischen Universität (möchte
> jetzt lieber nicht den Namen nennen, würde man nicht
> glauben)
Schade. Das Curriculum ist ja nicht Deine Schuld.
> und Induktion wurde in "Mathe für Ingenieure"
> bewusst aus dem Lehrplan gestrichen (Begründung: nicht
> notwendig)
Die Induktion selbst mag nicht nötig sein, aber für das Verständnis von Zusammenhängen, von Vollständigkeit und Exaktheit ist sie ziemlich unerlässlich.
> und es wird auch bewusst in der Vorlesung auf
> Beweise verzichtet.
Da krieg ich einen Schreikrampf, und das als Nichtmathematiker!
> Mir gefällt das persönlich recht gut, denn so ist es
> verständlich und das für einen Ingenieur Notwendige lernt
> man zumindestens.
Ja, Rechnen ohne Nachdenken. Die größte Gefahr aller Ingenieurwissenschaften. Hauptsache, der Rechner funktioniert, alles andere ist ja nebensächlich. So produziert man nicht einmal Fachidioten, sondern reine. Meiner Meinung nach. Und wohlgemerkt: das geht nicht gegen Dich, denn Du kannst den Lehrplan nicht ändern.
> Die tiefen Einsichten und Erkenntnisse in der Mathematik
> können dann die Mathematiker haben, für uns ist es laut
> Angaben der Profs nur "Handwerkszeug".
Ohne diese Einsichten sind z.B. Thermodynamik und Strömungsmechanik nicht möglich, von Bindungseffekten in der Werkstoffkunde, Tensorrechnung in statischen Systemen, Schwingungsmodellen in der Dynamik (z.B. bei Gleit- oder Rolllagern) mal ganz abgesehen. Und das waren jetzt nur ein paar Disziplinen des Maschinenbaus. In anderen Ingenieurswissenschaften gibt es da noch viel mehr zu bedenken.
> Soweit also von mir.
Tja, jetzt wäre es interessant, Deine Profs zu hören? Was sind das denn für eigenartige Leute? Mit der Einführung von Bachelor und Master sollte vorwiegend ein "kleiner" Abschluss geschaffen werden, aber die Qualität der Ausbildung nicht leiden. Das scheint ja dann auch aufgegeben worden zu sein. Peinlich, ehrlich.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Sa 16.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
> Ja, Rechnen ohne Nachdenken. Die größte Gefahr aller
> Ingenieurwissenschaften. Hauptsache, der Rechner
> funktioniert, alles andere ist ja nebensächlich. So
> produziert man nicht einmal Fachidioten, sondern reine.
> Meiner Meinung nach. Und wohlgemerkt: das geht nicht gegen
> Dich, denn Du kannst den Lehrplan nicht ändern.
>
Es ist doch heutzutage eher so, dass viele in ihrem Wirkbereich (insbesondere in Konzernen) so eingeschränkt und auf triviale Aufgabe eingestellt sind, dass vielleicht ein geringer Prozentsatz wirklich Kenntnisse aus der höheren Mathematik benötigt (vielleicht in der Forschung).
> Ohne diese Einsichten sind z.B. Thermodynamik und
> Strömungsmechanik nicht möglich, von Bindungseffekten in
> der Werkstoffkunde, Tensorrechnung in statischen Systemen,
> Schwingungsmodellen in der Dynamik (z.B. bei Gleit- oder
> Rolllagern) mal ganz abgesehen. Und das waren jetzt nur ein
> paar Disziplinen des Maschinenbaus. In anderen
> Ingenieurswissenschaften gibt es da noch viel mehr zu
> bedenken.
>
Einerseits betreffen mich die o.g. Fächer nicht, aber ich möchte dennoch dazu Stellung beziehen. Wenn ich mir von Freunden in Studiengängen mit sehr beweislastiger Mathematik (Informatik z.B.) die "Art" zu lernen anschaue und wie gut einige davon durch ihre Prüfungen kommen, dann erschließt sich mir der Sinn vieler Beweise nicht.
In sehr vielen Fällen läuft es oft, ich möchte nicht sagen immer, auf stupides Auswendiglernen von bekannten Beweisen bei denen hinaus mit Wiedergabe in leichter Abwandlung oder Abfrage von einfach nur auswendig-gelernten Definitionen in der Prüfungen.
Es erschließt sich für mich an dieser Stelle nicht, inwiefern mich so etwas weiterbringen könnte.
Ein paar Tage nach der Prüfungen haben sie dann meistens sowieso wieder alles vergessen. Das ist heutzutage leider die Realität an sehr vielen Universität, Bulimielernen.
Ein Grundverständnis für alle notwendigen Teilbereiche und auch ein Handeln nach den festgelegten Regeln braucht es natürlich. Der Nachweis und die Herkunft all dessens bis ins kleinste Detail zu kennen vielleicht nicht unbedingt.
Ich wollte das nicht unkommentiert lassen, wo du so viel Aufwand für die Antwort betrieben hast.
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