Konvergenz einer Reihe 2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Heyho
ich habe die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{a^2}{(1+a^2)^{n}} [/mm] für a [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \not= [/mm] 0 vorgegeben. nun soll ich entscheiden ob sie konvergiert
Ich dachte als erstes an der Quotientenkriterium also:
| [mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] | = [mm] \frac{a^2 * (1+a)^{n}}{(1+a^2)^{n} * (1+a^2) * a^2} [/mm]
und wegen [mm] a^2 [/mm] * [mm] (1+a)^{n} \le (1+a^2)^{n} [/mm] * [mm] (1+a^2) [/mm] * [mm] a^2
[/mm]
da [mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le (1+a^2) [/mm]
gilt | [mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] | < 1 daher konvergiert die gesamte Reihe
stimmt dies?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Do 12.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Heyho
> ich habe die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\frac{a^2}{(1+a^2)^{n}}[/mm] für a [mm]\in \IR[/mm]
> und [mm]\not=[/mm] 0 vorgegeben. nun soll ich entscheiden ob sie
> konvergiert
> Ich dachte als erstes an der Quotientenkriterium also:
> | [mm]a_{n+1}[/mm] / [mm]a_{n}[/mm] | = [mm]\frac{a^2 * (1+a)^{n}}{(1+a^2)^{n} * (1+a^2) * a^2}[/mm]
>
> und wegen [mm]a^2[/mm] * [mm](1+a)^{n} \le (1+a^2)^{n}[/mm] * [mm](1+a^2)[/mm] * [mm]a^2[/mm]
> da [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\le (1+a^2)[/mm]
>
> gilt | [mm]a_{n+1}[/mm] / [mm]a_{n}[/mm] | < 1 daher konvergiert die gesamte
> Reihe
>
> stimmt dies?
Hallo,
das geht sogar noch einfacher.
Zunächst kann man [mm] $a^2$ [/mm] als konstanten Faktor vor die Wurzel ziehen. Übrig bleibt eine geometrische Reihe, bei der [mm] $q=\frac{1}{1+a^2}$ [/mm] gilt und q<1 ist.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
stimmt du hast recht. dann habe ich ja
[mm] \frac{a^2}{a^2} [/mm] * q
= 1 * q <1
richtig?
stimmt denn mein Beweisweg auch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> stimmt du hast recht. dann habe ich ja
> [mm]\frac{a^2}{a^2}[/mm] * q
> = 1 * q <1
> richtig?
???
[mm] $\sum ...=a^2*\sum_{n=0}^\infty q^n=a^2*\frac{1}{1-q}\,,$
[/mm]
da musst Du nur
[mm] $q=\frac{1}{1+a^2}$
[/mm]
einsetzen und hast dann sogar den Grenzwert der Reihe berechnet. Wenn
ich mich nicht verrechnet habe, kommt raus:
[mm] $1+a^2\,.$
[/mm]
> stimmt denn mein Beweisweg auch?
Im Wesentlichen ja, Du hast irgendwo ein "hoch 2" verloren. Aber
ansonsten passt's!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
aabbber
ich habe ja den Bruch:
[mm] \frac{a^2 * (1+a^2)^{n}}{(1+a^2)^{n} * (1+a^2) * a^2}
[/mm]
soo [mm] (1+a^2)^{n} [/mm] kürze ich raus und erhalte dann im Nenner sowie im Zähler ein [mm] a^2 [/mm] wei kommt es das abakus [mm] a^2 [/mm] als Faktor raussieht und [mm] a^2 [/mm] im Nenner verschwindet?
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Hallo,
> aabbber
> ich habe ja den Bruch:
> [mm]\frac{a^2 * (1+a^2)^{n}}{(1+a^2)^{n} * (1+a^2) * a^2}[/mm]
> soo
> [mm](1+a^2)^{n}[/mm] kürze ich raus und erhalte dann im Nenner
> sowie im Zähler ein [mm]a^2[/mm] wei kommt es das abakus [mm]a^2[/mm] als
> Faktor raussieht und [mm]a^2[/mm] im Nenner verschwindet?
Beachte, dass abakus den durchaus wichtigen Hinweis erwähnte, dass das ganze viel einfacher geht. Sprich: er hat das Quotientenkriterium überhaupt nicht angesetzt, sondern gezeigt, wie man durch Vorziehen des Faktors [mm] a^2 [/mm] auf eine geometrische Reihe kommt, deren Konvergenz man voraussetzen darf und somit nicht mehr überprüfen muss.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
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> > aabbber
> > ich habe ja den Bruch:
> > [mm]\frac{a^2 * (1+a^2)^{n}}{(1+a^2)^{n} * (1+a^2) * a^2}[/mm]
> >
> soo
> > [mm](1+a^2)^{n}[/mm] kürze ich raus und erhalte dann im Nenner
> > sowie im Zähler ein [mm]a^2[/mm] wei kommt es das abakus [mm]a^2[/mm]
> als
> > Faktor raussieht und [mm]a^2[/mm] im Nenner verschwindet?
>
> Beachte, dass abakus den durchaus wichtigen Hinweis
> erwähnte, dass das ganze viel einfacher geht. Sprich: er
> hat das Quotientenkriterium überhaupt nicht angesetzt,
> sondern gezeigt, wie man durch Vorziehen des Faktors [mm]a^2[/mm]
> auf eine geometrische Reihe kommt, deren Konvergenz man
> voraussetzen darf und somit nicht mehr überprüfen muss.
ähm: Jein. Man darf sie nicht voraussetzen, sondern sie folgt für $a [mm] \not=0\,,$
[/mm]
weil dann $0 [mm] \le 1/(1+a^2) [/mm] < [mm] 1\,$ [/mm] gilt.
Für [mm] $a=0\,$ [/mm] rechnet man aber am Besten gar nicht so - da bekommt man
Probleme (oder jedenfalls verwirrt man sich selbst), wenn man es machen
würde. Aber dass die Reihe für [mm] $a=0\,$ [/mm] offensichtlich konvergiert und wogegen,
dafür genügt ein Blick - da braucht's keiner Tricks...
Daher sagte ich auch in der Mitteilung: Der Hinweis, dass $a [mm] \not=0$ [/mm] sein soll,
ist überflüssig.
(Man würde besser einen Hinweis der Art geben: Betrachten Sie zunächst
den Fall [mm] $a=0\,$ [/mm] und dann gehen Sie den Fall $a [mm] \not=0$ [/mm] durch, der etwas komplizierter
wird...)!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Do 12.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> ähm: Jein. Man darf sie nicht voraussetzen, sondern sie
> folgt für [mm]a \not=0\,,[/mm]
> weil dann [mm]0 \le 1/(1+a^2) < 1\,[/mm]
> gilt.
>
> Für [mm]a=0\,[/mm] rechnet man aber am Besten gar nicht so - da
> bekommt man
> Probleme (oder jedenfalls verwirrt man sich selbst), wenn
> man es machen
> würde. Aber dass die Reihe für [mm]a=0\,[/mm] offensichtlich
> konvergiert und wogegen,
> dafür genügt ein Blick - da braucht's keiner Tricks...
> Daher sagte ich auch in der Mitteilung: Der Hinweis, dass
> [mm]a \not=0[/mm] sein soll,
> ist überflüssig.
> (Man würde besser einen Hinweis der Art geben: Betrachten
> Sie zunächst
> den Fall [mm]a=0\,[/mm] und dann gehen Sie den Fall [mm]a \not=0[/mm] durch,
> der etwas komplizierter
> wird...)!
Ja, es kann sein, dass ich die Reihenfolge der Beiträge beim Überfliegen durcheinander gebracht habe. Ich war jetzt m,al davon ausgegangen, dass das bereits geklärt ist (hätte es aber sicherlich besser nochmals erwähnt).
Beste Grüße & danke für den Hinweis, Johannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Abakus hat natürlich absolut Recht (und mit seiner Methode kann man auch
den Grenzwert dieser Partialsummenfolge ablesen). Wenn Du [mm] $\sqrt[n]{x} \to [/mm] 1$ für
$x > [mm] 0\,$ [/mm] weißt, geht die Untersuchung des Konvergenzverhaltens der Reihe genauso
schnell (ist auch wenig überraschend, wenn man mal guckt, wo das [mm] $\sqrt{\,}$-Kriterium
[/mm]
seinen Ursprung hat).
> Heyho
> ich habe die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\frac{a^2}{(1+a^2)^{n}}[/mm] für a [mm]\in \IR[/mm]
> und [mm]\not=[/mm] 0 vorgegeben. nun soll ich entscheiden ob sie
> konvergiert
> Ich dachte als erstes an der Quotientenkriterium also:
> | [mm]a_{n+1}[/mm] / [mm]a_{n}[/mm] | = [mm]\frac{a^2 * (1+a)^{n}}{(1+a^2)^{n} * (1+a^2) * a^2}[/mm]
also bei mir wird
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{a^2}{(1+a^2)^{n+1}}}{\frac{a^2}{(1+a^2)^n}}=\frac{(1+a^\red{2})^n}{(1+a^2)^{n+1}}$
[/mm]
Du hast da also einen Verschreiber oder Vertipper drin. Aber ansonsten
funktioniert das natürlich schon!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
> Heyho
> ich habe die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\frac{a^2}{(1+a^2)^{n}}[/mm] für a [mm]\in \IR[/mm]
> und [mm]\not=[/mm] 0 vorgegeben.
Auf die Forderung $a [mm] \not=0$ [/mm] kann man verzichten!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
da ich nicht so ganz sicher war, worauf sich Deine Rückfrage bezog:
> Heyho
> ich habe die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\frac{a^2}{(1+a^2)^{n}}[/mm] für a [mm]\in \IR[/mm]
> und [mm]\not=[/mm] 0 vorgegeben. nun soll ich entscheiden ob sie
> konvergiert
> Ich dachte als erstes an der Quotientenkriterium also:
> | [mm]a_{n+1}[/mm] / [mm]a_{n}[/mm] | = [mm]\frac{a^2 * (1+a)^{n}}{(1+a^2)^{n} * (1+a^2) * a^2}[/mm]
kleine Korrektur:
[mm]\frac{a^2 * (1+a^\red{2})^{n}}{(1+a^2)^{n} * (1+a^2) * a^2}[/mm]
>
> und wegen [mm]a^2[/mm] * [mm](1+a)^{n} \le (1+a^2)^{n}[/mm] * [mm](1+a^2)[/mm] * [mm]a^2[/mm]
> da [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\le (1+a^2)[/mm]
>
> gilt | [mm]a_{n+1}[/mm] / [mm]a_{n}[/mm] | < 1 daher konvergiert die gesamte
> Reihe
Da würde ich die Argumentationskette vervollständigen: Du hast
nachgerechnet:
[mm] $|a_{n+1}/a_n|=\frac{1}{1+a^2}\,.$
[/mm]
Jetzt gilt erstens nicht
$1 [mm] \le 1+a^2$ $\iff$ $\frac{1}{1+a^2}\;<\;1\,,$
[/mm]
sondern
[mm] ($\*$) [/mm] $1 [mm] \red{<\,} 1+a^2$ $\iff$ $\frac{1}{1+a^2}\;<\;1\,.$
[/mm]
Wegen $a [mm] \not=0$ [/mm] hast Du bei [mm] ($\*$) [/mm] die linke Seite gegeben, also gilt in der
Tat
[mm] $1/(1+a^2)\;<\;1\,.$
[/mm]
Und damit folgt
[mm] $\limsup |a_{n+1}/a_n|=\limsup 1/(1+a^2)=1/(1+a^2)\;<\;1$ [/mm] (das [mm] $<\,$ [/mm] ist wichtig!!!),
und daraus dann mit dem QK die Konvergenz der Reihe!
Gruß,
Marcel
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