Konvergenz einer rekursiven Fo < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo!
ich habe folgende aufgabe, zu dessen lösung ich immer noch nicht drauf gekommen bin :(
Gegeben sei die Folge [mm] x_{n} [/mm] mit a,b [mm] \in \IR, [/mm] wobei gilt:
[mm] x_{0} [/mm] = a, [mm] x_{1} [/mm] = b und [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (x_{n - 1}+x_{n - 2}) [/mm] sind
gesucht ist der Grenzwert dieser Folge und es soll außerdem die konvergenz bewiesen werden.
Meine Frage ist nun, wie sich der Grenzwert ermitteln lässt. ich habe es bereits mit testwerten probiert, komme aber auf keine anständige lösung!
lg chrissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Sa 29.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo chrissi
> ich habe folgende aufgabe, zu dessen lösung ich immer noch
> nicht drauf gekommen bin :(
> Gegeben sei die Folge [mm]x_{n}[/mm] mit a,b [mm]\in \IR,[/mm] wobei gilt:
> [mm]x_{0}[/mm] = a, [mm]x_{1}[/mm] = b und [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (x_{n - 1}+x_{n - 2})[/mm]
> sind
>
> gesucht ist der Grenzwert dieser Folge und es soll außerdem
> die konvergenz bewiesen werden.
Zur Konvergenz: ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest, so gilt fuer alle $m [mm] \ge [/mm] n$, dass [mm] $\min\{ x_n, x_{n+1} \} \le x_m \le \max\{ x_n, x_{n+1} \}$ [/mm] liegt. Damit kannst du zeigen, dass [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist, womit du wiederum die Konvergenz bekommst.
> Meine Frage ist nun, wie sich der Grenzwert ermitteln
> lässt. ich habe es bereits mit testwerten probiert, komme
> aber auf keine anständige lösung!
Waehlst du $a = 0$ und $b = 1$, so bekommst du [mm] $\lambda$ [/mm] raus, sagen wir mal. Wenn du $a$ und $b$ allgemein hast, bekommst du dann $a + (b - a) [mm] \lambda$ [/mm] heraus; das kannst du dir leicht ueberlegen. Es reicht also aus, sich das fuer $a = 0$ und $b = 1$ zu ueberlegen.
Die ersten Folgenglieder sind nun $0, 1, [mm] \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{11}{16}, \dots$. [/mm] Wenn du sie zur Basis 2 aufschreibst, bekommst du $0, 1, 0.1, 0.11, 0.101, 0.1011, 0.10101, [mm] \dots$. [/mm] Daraus ergeben sich zwei Behauptungen (Vermutungen):
Behauptung 1: der Grenzwert ist $0.10101010101010101...$ (mit Periode), also [mm] $\sum_{i=0}^\infty 2^{-2 i - 1}$.
[/mm]
Behauptung 2: es ist [mm] $x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n [/mm] = [mm] (-1)^n 2^{-n}$, [/mm] $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Die zweite laesst sich bei allgemeinem $a$ und $b$ wohl als [mm] $x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n [/mm] = [mm] (-1)^n 2^{-n} [/mm] (b - a)$ schreiben. Dies kannst du ja mal versuchen zu beweisen, und damit [mm] $x_n$ [/mm] als Summe hinschreiben (Teleskopsumme mit [mm] $x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n$), [/mm] und den Grenzwert gegen [mm] $\infty$ [/mm] betrachten.
LG Felix
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