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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 So 28.11.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
[mm] s_{n}= \bruch{1}{n+1} \summe_{k=0}^{n}b_{k}
[/mm]
wobei [mm] b_{k} [/mm] eine konvergente Folge ist mit b= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} b_{k}
[/mm]
zu zeigen: [mm] s_{n} [/mm] ist konvergent und b= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n}
[/mm]
Ich hatte hier folgenden Ansatz:
[mm] s_{n} [/mm] besteht ja aus Teilfolgen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}=0.
[/mm]
(müßte sogar absolut konvergent sein)
Da [mm] b_{k} [/mm] eine konvergente Folge ist, müss die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n}b_{k} [/mm] aber doch eigentlich nicht unbedingt konvergieren ?????
1/n konvergiert ja auch, aber die geometrische Reihe nicht !
Dennoch: [mm] s_{n} [/mm] besteht aus zwei Teilfolgen !
Aber der limes von einer Teilfolge ist 0 !
Da Multiplikation ist der limes [mm] s_{n}=0.
[/mm]
Dann müßte ich doch jetzt beweisen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}b_{k} [/mm] = 0 ist, oder ?
Oder seh ich da alles falsch ?
Bringt es was die Folge 1/(n+1) in eine Reihe umzuwandeln (mit Teleskop).
Das wäre ja dann
[mm] \bruch{1}{n+1}=1+ \summe_{k=1}^{n} \bruch{-1}{k(k+1)}
[/mm]
Bringt mir das was ? Oder das Cauchy Produkt ?
Danke
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 28.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Faenôl!
Dass die eine Teilfolge gegen 0 konvergiert, ist noch kein hinreichendes Kriterium dafür, dass [mm] s_{n} [/mm] gegen 0 geht. Denn in Allgemeinheit divergiert ja die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{n}b_{n} [/mm] ziemlich heftig (Wenn b [mm] \not= [/mm] 0 sowieso und bei b = 0 kann die Reihe konvergieren oder divergieren). Daher kann man nicht in Allgemeinheit sagen, dass s := lim [mm] s_{n} [/mm] = 0 ist.
Ich würde folgendermaßen an die Aufgabe rangehen:
Idee:
Für große n ist [mm] \summe_{i=0}^{n}b_{n} [/mm] "ungefähr" (n+1)*b (d.h. nicht, dass die Differenz zwischen [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] und (n+1)*b gegen 0 geht). Daher vermuten wir, dass [mm] s_{n} [/mm] den Grenzwert b hat.
Durchführung
Sei [mm] \varepsilon \in \IR^{+}. [/mm] Es gibt ein [mm] N_{0} [/mm] aus [mm] \IN [/mm] derart, dass für alle n > [mm] N_{0} [/mm] die Ungleichung [mm] b_{n} [/mm] > b - [mm] \bruch{ \varepsilon}{2} [/mm] gilt. Sei A := [mm] \summe_{i=0}^{N_{0}}(b_{i} [/mm] - b). Sei [mm] B_{n} [/mm] := [mm] \summe_{i=N_{0} + 1}^{n}(b_{i} [/mm] - b) mit n > [mm] N_{0}. [/mm] Es gilt offensichtlich [mm] B_{n} [/mm] > -(n - [mm] N_{0})* \bruch{ \varepsilon}{2}. [/mm] Dann gilt für die Werte von [mm] s_{n} [/mm] mit n > [mm] N_{0} [/mm] die folgende Beziehung:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} \summe_{i=0}^{n}b_{i}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1}( \summe_{i=0}^{N_{0}}b_{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=N_{0}+1}^{n}b_{i})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1}( [/mm] A + [mm] (N_{0} [/mm] + 1)b) + [mm] B_{n} [/mm] + (n - [mm] N_{0})*b)
[/mm]
= b + [mm] \bruch{A}{n + 1} [/mm] + [mm] \bruch{B_{n}}{n+1}
[/mm]
> b + [mm] \bruch{A}{n + 1} [/mm] - [mm] \bruch{n - N_{0}}{n + 1}*0.5* \varepsilon
[/mm]
und das konvergiert gegen b - [mm] \varepsilon*0.5, [/mm] womit gezeigt ist, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein n existiert, so dass [mm] s_{n} [/mm] > b - [mm] \varepsilon. [/mm] Jetzt musst du noch [mm] s_{n} [/mm] < b + [mm] \varepsilon [/mm] zeigen.
Gruß
Clemens
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