Konvergenz gegen Lösung < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:07 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Wurstbrot |
Hallo
zur Lösung des LGS Ax =b sei ist ein Iterationsverfahren der Form [mm] x^{n+1} [/mm] = [mm] Mx^{n} [/mm] + b gegeben. Frage: Konvergiert das Verfahren gegen die Lösung des LGS?
Zur Antwort habe ich den Spektralradius von M berechnet, der kleiner als 1 war. Da somit Konvergenz gegen x' mit x' = Mx' + s vorliegt und x' = Mx' + s <=> Ax' = b gilt, dachte ich, dass x' die Lösung des LGS wäre und damit Konvergenz gegen die Lösung bewiesen wäre.
Angeblich ist das aber falsch, weil man die Lösung von Ax = b noch berechnen und überprüfen muss, ob die Lösung des LGS auch wirklich der Fixpunkt ist. Verstehe nicht warum. Beim Fixpunktsatz, z.B. beim Newton-Verfahren prüft man das ja auch nicht extra und das ist ja dasselbe Prinzip, dachte ich.
Wo liegt der Denkfehler?
Viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Di 07.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> zur Lösung des LGS Ax =b sei ist ein Iterationsverfahren
> der Form [mm]x^{n+1}[/mm] = [mm]Mx^{n}[/mm] + b gegeben. Frage: Konvergiert
> das Verfahren gegen die Lösung des LGS?
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> Zur Antwort habe ich den Spektralradius von M berechnet,
> der kleiner als 1 war. Da somit Konvergenz gegen x' mit x'
> = Mx' + s vorliegt und x' = Mx' + s <=> Ax' = b gilt,
> dachte ich, dass x' die Lösung des LGS wäre und damit
> Konvergenz gegen die Lösung bewiesen wäre.
> Angeblich ist das aber falsch, weil man die Lösung von Ax
> = b noch berechnen und überprüfen muss, ob die Lösung des
> LGS auch wirklich der Fixpunkt ist. Verstehe nicht warum.
> Beim Fixpunktsatz, z.B. beim Newton-Verfahren prüft man das
> ja auch nicht extra und das ist ja dasselbe Prinzip, dachte
> ich.
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> Wo liegt der Denkfehler?
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> Viele Grüße!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Wenn Du mir verrätst, wie M und A zusammenhängen, kann ich Dir Deine Frage vielleicht beantworten
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Di 07.10.2008 | | Autor: | Wurstbrot |
Hallo
M ist die Iterationsmatrix für das Verfahren. Beim Jacobi-Verfahren wäre dann z.B. [mm] m_{ij} [/mm] = [mm] \bruch{-a_{ij}}{a_{ii}} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j und [mm] m_{ii} [/mm] = 0. [mm] s_{i} [/mm] ergibt sich ähnlich. Beim Jacobi Verfahren s = [mm] \bruch{b_{i}}{a_{ii}}
[/mm]
Es gilt Ax = b <=> x = Mx + s
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Di 07.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich bin der Meinung, dass Du alles richtig gemacht hast.
Wenn der Spektralradius von M tatsächlich < 1 ist, dann ist 1 kein Eigenwert von M und somit ist I-M ( I = Einheitsmatrix) invertierbar, folglich gibt es genau ein x' mit
(I-M)x' = s, also x' = Mx' +s. Das bedeutet: die Gleichung Ax=b hat die eindeutig bestimmte Lösung x'
FRED
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Ok Danke. Dann gehe ich mal davon aus, dass es in der Aufgabe nicht klar war, dass Ax = b <=> x = Mx + s. Es hat sich nämlich nicht ums Jacobi-Verfahren gehandelt sondern um ein vom Professor selbst erfundenes ;) Dachte bisher nur, dass für alle Iterationsverfahren immer diese Äquivalenz gelten müsste. Wenn das nicht klar ist, müsste es ja reichen Konvergenz zu zeigen, und das die Lösung des LGS auch wirklich der Fixpunkt ist, richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Di 07.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ok Danke. Dann gehe ich mal davon aus, dass es in der
> Aufgabe nicht klar war, dass Ax = b <=> x = Mx + s. Es hat
> sich nämlich nicht ums Jacobi-Verfahren gehandelt sondern
> um ein vom Professor selbst erfundenes ;) Dachte bisher
> nur, dass für alle Iterationsverfahren immer diese
> Äquivalenz gelten müsste. Wenn das nicht klar ist, müsste
> es ja reichen Konvergenz zu zeigen, und das die Lösung des
> LGS auch wirklich der Fixpunkt ist, richtig?
Nein , umgekehrt: der Fixpunkt ist Lösung des LGS
FRED
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