Konvergenz, gleichmäßig < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | man zeige, dass die Reihe
[mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)*x}}
[/mm]
Im Intervall 0<= x < [mm] \infty [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Man gebe ein n an, so dass für den Reihenrest gilt: [mm] |R_n [/mm] (x)| < 1/100 |
Gleichmäßige konvergenz:
Falls die Reihe [mm] \sum_{k=0}^\infty ||f_k||_\infty [/mm] konvergiert so ist die Reihe [mm] \sum_{k=0}^\infty f_k [/mm] gleichmäßig konvergent für n-> [mm] \infty [/mm] .
[mm] \sum_{k=0}^\infty ||\frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)*x}} ||_\infty =\sum_{k=0}^\infty sup_{0<=x<\infty} \frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)*x}} =\sum_{k=0}^\infty {(\frac{1}{\wurzel{2}})}^{2k}
[/mm]
STmmts?
> Man gebe ein n an, so dass für den Reihenrest gilt: [mm] |R_n [/mm] (x)| < 1/100
Wie ist der Reihenrest gegeben?
Wie kann ich da vorgehen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Sa 21.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Reihenrest ist sicher für x=0 am größten, da hast du eine geometrische Reihe.
im Rest hab ich keinen Fehler gefunden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo leduart.
Unter dem Restglied einer konvergenten Reihe versteht man die Differenz zwischen ihrer Summe und der Partialsumme .
[mm] R_n [/mm] = S - [mm] S_n [/mm] =$ [mm] \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)\cdot{}x}} [/mm] $ < 1/100
[mm] \sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)\cdot{}x}} [/mm] < [mm] \sum_{k=n+1}^\infty{(\frac{1}{\wurzel{2}})}^{2k}
[/mm]
WIe gehts nun weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich hatte einen Fehler im ersten Post!
[mm] \sum_{k=0}^\infty ||\frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)*x}} ||_\infty =\sum_{k=0}^\infty sup_{0<=x<\infty} \frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)*x}} =\sum_{k=0}^\infty {(\frac{1}{\wurzel{2}})}^{2k}
[/mm]
Wie weiß ich nun ob das konvergiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hatte einen Fehler im ersten Post!
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty ||\frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)*x}} ||_\infty =\sum_{k=0}^\infty sup_{0<=x<\infty} \frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)*x}} =\sum_{k=0}^\infty {(\frac{1}{\wurzel{2}})}^{2k}[/mm]
>
> Wie weiß ich nun ob das konvergiert?
ich nehme einfach mal an, dass Du da was richtig korrigiert hast.
Und das "das" - womit Du sicher die Reihe rechterhand meinst - ist doch offensichtlich konvergent - das bekommst Du zum einen direkt aus dem Wurzelkriterium heraus, oder Du schreibst die Reihe mal um, so dass es sogar noch offensichtlicher wird (bea.: [mm] $(1/\sqrt{2})^2=1/(\sqrt{2})^2=1/2$):
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty {(\frac{1}{\wurzel{2}})}^{2k}=\sum_{k=0}^\infty {(1/2)}^{k}\,.$$
[/mm]
Mit geometrischen Reihen solltest Du Dich auskennen (hoffe ich)...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke Marcel, ist nun klar.
Nur das mit dem Reihenrest versteh ich nicht ganz.
> Man gebe ein n an, so dass für den Reihenrest gilt: $ [mm] |R_n [/mm] $ (x)| < 1/100
$ [mm] R_n [/mm] $ = S - $ [mm] S_n [/mm] $ =$ [mm] \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)\cdot{}x}} [/mm] $ < 1/100
Tipp von leduart:
$ [mm] \sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)\cdot{}x}} [/mm] $ < $ [mm] \sum_{k=n+1}^\infty{(\frac{1}{2})}^{k} [/mm] $=2
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke Marcel, ist nun klar.
>
> Nur das mit dem Reihenrest versteh ich nicht ganz.
> > Man gebe ein n an, so dass für den Reihenrest gilt:
> [mm]|R_n[/mm] (x)| < 1/100
>
> [mm]R_n[/mm] = S - [mm]S_n[/mm] =[mm] \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)\cdot{}x}}[/mm]
> < 1/100
>
> Tipp von leduart:
> [mm]\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)\cdot{}x}}[/mm]
> < [mm]\sum_{k=n+1}^\infty{(\frac{1}{2})}^{k} [/mm]=2
> ?
da hat er sich am Ende sicher verschrieben:
Es gilt (die eingeklammerte Ungleichung ist für Dich nicht ganz so wichtig)
[mm] $$(\;\;|\sum_{k=N}^\infty q^k| \le\;\;)\;\;\; \sum_{k=N}^\infty |q|^k=\frac{|q|^{N+1}}{1-|q|}\,,$$
[/mm]
sofern $|q| < [mm] 1\,.$
[/mm]
(Beweis? Du kannst es etwa folgern aus [mm] $\sum_{k=N}^\infty q^k=(\sum_{k=0}^\infty q^k)-\sum_{\ell=0}^N q^\ell\,.$)
[/mm]
Bei Dir ist [mm] $q=|q|=1/2\,.$
[/mm]
Damit reicht es bei Dir, [mm] $(1/2)^{N+1}/(1/2)=(1/2)^N$ [/mm] kleiner als die angegebene Fehlerschranke zu bekommen (beachte auch, dass die Folge [mm] $(\;(1/2)^n/(1/2)\;)_{n \in \IN} \equiv (\;(1/2)^{n-1}\;)_{n \in \IN}$ [/mm] streng fällt - was sich hier auch eigentlich mit der Restreihengliedbetrachtung folgern ließe).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 So 22.04.2012 | | Autor: | Lu- |
ah, okay!!
Unser Fall:
$ [mm] \sum_{k=n+1}^\infty{(\frac{1}{2})}^{k} $=\frac{({\frac{1}{2}})^{n+1+1}}{\frac{1}{2}}= ({\frac{1}{2}})^{n+1}
[/mm]
[mm] ({\frac{1}{2}})^{n+1} [/mm] < [mm] \frac{1}{100}
[/mm]
[mm] 2^{n+1} [/mm] > 100
n > log(100)/log(2) -1
STimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 So 22.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja,fast ausser dass du ja weisst dass [mm] 2^7=128 [/mm] >100 also den log nicht brauchst
> Unser Fall:
> [mm]\sum_{k=n+1}^\infty{(\frac{1}{2})}^{k}[/mm][mm] =\frac{({\frac{1}{2}})^{n+1+1}}{\frac{1}{2}}= ({\frac{1}{2}})^{n+1}[/mm]
ich halte allerdings deine summe noch für falsch, wie kommst du auf
[mm] \frac{({\frac{1}{2}})^{n+1+1}}{\frac{1}{2}}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 So 22.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo leduart.
Wegen:
> $ [mm] (\;\;|\sum_{k=N}^\infty q^k| \le\;\;)\;\;\; \sum_{k=N}^\infty |q|^k=\frac{|q|^{N+1}}{1-|q|}\,, [/mm] $
Die Formel hab ich benutzt.
$ [mm] \sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)\cdot{}x}} [/mm] $ < $ [mm] \sum_{k=n+1}^\infty{(\frac{1}{2})}^{k} [/mm] $
q=1/2
N=n+1
$ [mm] \sum_{k=n+1}^\infty{(\frac{1}{2})}^{k} [/mm] $$ [mm] =\frac{({\frac{1}{2}})^{n+1+1}}{\frac{1}{2}}= ({\frac{1}{2}})^{n+1} [/mm] $
Oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart.
>
> Wegen:
> > [mm](\;\;|\sum_{k=N}^\infty q^k| \le\;\;)\;\;\; \sum_{k=N}^\infty |q|^k=\frac{|q|^{N+1}}{1-|q|}\,,[/mm]
>
> Die Formel hab ich benutzt.
>
> [mm]\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{\wurzel{2^{2k}+(k+1)\cdot{}x}}[/mm]
> < [mm]\sum_{k=n+1}^\infty{(\frac{1}{2})}^{k}[/mm]
> q=1/2
> N=n+1
>
> [mm]\sum_{k=n+1}^\infty{(\frac{1}{2})}^{k}[/mm][mm] =\frac{({\frac{1}{2}})^{n+1+1}}{\frac{1}{2}}= ({\frac{1}{2}})^{n+1}[/mm]
>
> Oder?
Stimmt
FRED
|
|
|
|
