Konvergenz hier, Geradengl. da < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Di 24.03.2009 | | Autor: | Komodo |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo erstmal.
Als Mathe- Niete wollte ich euch mal fragen, ob ich die folgenden Ergebnisse für die erste Aufgabe richtig sind:
(6)
a) [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
b) [mm] \bruch{cos3}{5} [/mm] = 1
c) ebenso wie b)
d) [mm] \bruch{3}{cos5}
[/mm]
(Alle konvergieren gegen den angegebenen Wert)
Also ist das so richtig?
Wenn nicht würde ich mich über eine Erklärung mit Beispielen freuen.
Habe mich mit dem Thema erst ca. 2 Tage befasst (früher auch noch nie), und hab sonst noch eine Menge Stoff durchzukauen - die Klausur naht.
Also würde niemanden belästigen wenn es nicht wichtig wäre  .
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zu der Aufgabe mit der Geradengleichung habe ich nun aber gar keinen Plan.
Ich weiß, dass das doch nicht so schwer sein kann, aber meine Bücher bringen mich da gar nicht weiter.
(Ja, ich kanns auch nicht glauben)
Ich bin ganz ehrlich, stehe absolut auf dem Schlauch..
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Komodo,
hier nur mal zum ersten Teil:
> [img1]
> Hallo erstmal.
>
> Als Mathe- Niete wollte ich euch mal fragen, ob ich die
> folgenden Ergebnisse für die erste Aufgabe richtig sind:
>
> (6)
> a) [mm]\bruch{3}{5}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) [mm]\bruch{cos3}{5}[/mm] = 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Bruch strebt nach (a) gegen [mm] $\frac{3}{5}$ [/mm] und der Cosinus ist stetig, also strebt das ganze Biest gegen [mm] $\cos\left(\frac{3}{5}\right)$
[/mm]
> c) ebenso wie b)
Nein, bedenke, dass der Cosinus beschränkt ist, also [mm] $|\cos(z)|\le [/mm] 1$
Also ist der Zähler beschränkt zwischen -1 und +1, was macht der Nenner?
Also insgesamt ... ?
> d) [mm]\bruch{3}{cos5}[/mm]
Selbes Argument wie in (c), nur Zähler und Nenner vertauscht, was passiert also hier?
> (Alle konvergieren gegen den angegebenen Wert)
>
> Also ist das so richtig?
> Wenn nicht würde ich mich über eine Erklärung mit
> Beispielen freuen.
> Habe mich mit dem Thema erst ca. 2 Tage befasst (früher
> auch noch nie), und hab sonst noch eine Menge Stoff
> durchzukauen - die Klausur naht.
> Also würde niemanden belästigen wenn es nicht wichtig wäre
> .
>
Soweit von mir
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Hmm, Deine Denkanstöße haben mich irgendwie nicht
> weitergebracht.
Schade
> Bei b) hatte ich auch das raus was Du geschrieben hast,
> allerdings habe ich es falsch aufgeschrieben. Wenn du das
> jedoch ausrechnest konvergiert das ganze doch gegen 1, oder
> doch nicht (wegen der Beschränktheit)?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein, nochmal, der Klammerausdruck strebt für [mm] n\to\infty [/mm] gegen [mm] \frac{3}{5}, [/mm] die gesamte Folge damit gegen [mm] \cos\left(\frac{3}{5}\right)
[/mm]
Es gilt [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\cos\left(\frac{1-2n+3n^2}{4+5n^2}\right)\underbrace{=}_{\text{da cos stetig}}\cos\left[\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1-2n+3n^2}{4+5n^2}\right)\right]=\cos\left(\frac{3}{5}\right)$
[/mm]
>
> Bei den anderen Aufgabenteilen bin ich noch verwirrter als
> vorher..
> Der cos und der sin sind beschränkt zwischen -1 und 1 -
> soweit so gut.
> Laut Buch sehen die Werte dann so aus: [mm](-1)^{n}[/mm] aus.
Was ist denn das für'n Buch? Ein Kochbuch?
> Das geht gegen 1.
Nä! [mm] $(-1)^n$ [/mm] divergiert immer schön zwischen den Werten -1 und +1 hin- und her
> Wenn ich das jedoch in die Klammer reinmultipliziere habe
> ich u.a. [mm]2n^{n}[/mm] da stehen.
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]") , vllt. schreibst du doch besser mal den Rechenschritt auf ...
> Und mit solchen Gebilden kann ich bis jetzt nichts anfangen.
> Ich schreibe Dir meinen Zwischenschritt lieber nicht auf,
> weil das garantiert falsch, außerdem falsch und nebenbei
> noch sicher falsch ist.
Besser wär's, damit man versteht, was du meinst ...
Mal genauer:
Die Folge ist diese: [mm] $\left(\frac{\cos(1-2n+3n^2)}{4+5n^2}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Was passiert mit der Klammer im Zähler, also dem Argument vom cos?
Das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$, [/mm] dafür sorgt das [mm] +3n^2
[/mm]
Damit divergiert der Zähler also. Aber der cos nimmt fortlaufend immer nur Werte zwischen -1 und 1 an, schaue dir mal am Graphen vom Kosinus an, was der treibt, wenn du Richtung [mm] \infty [/mm] gehst auf der x-Achse
Obwohl der Zähler also divergiert, ist er beschränkt, er wird nicht kleiner als -1 und nicht größer als 1
Was macht der Nenner?
Der haut gegen [mm] $\infty$ [/mm] ab, klar oder?
Damit hast du also als Grenzwert der gesamten Folge [mm] $\frac{z}{\infty}$ [/mm] mit einem z, das irgendwelche Werte zwischen -1 und 1 annimmt
Was passiert also?
Das Biest geht gegen 0
> (Habe ich schon erwähnt, dass ich ne Mathe-Niete bin?
> )
>
> Ein kleines Beisppiel, oder etwas was mir zeigt worum es
> geht würde schon helfen. Wenn es nnichts ausmacht
Nein, tut es nicht.
Nun überlege du mal, was bei (d) passiert ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Komodo |
Hallo,
das Beispiel war sehr gut!
(Beispiele wirken Wunder, da es jemandem der sich sich mit der Materie auskennt schwer fällt sich in jemanden wie mich hineinzuversetzen)
Bei (d) müsste es dann ja so aussehen:
Der Zähler läuft gegen [mm] \infty
[/mm]
Der Nenner divergiert gegen [mm] \infty [/mm] , ist aber wegen dem cos beschränkt zwischen -1 und 1.
Das heißt, das Gebilde divergiert zwischen [mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty [/mm] .
Ist das annähernd in die richtige Richtung gedacht? Kann man das so schreiben?
Grüße
Komodo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mo 30.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> das Beispiel war sehr gut!
> (Beispiele wirken Wunder, da es jemandem der sich sich mit
> der Materie auskennt schwer fällt sich in jemanden wie mich
> hineinzuversetzen)
>
> Bei (d) müsste es dann ja so aussehen:
>
> Der Zähler läuft gegen [mm]\infty[/mm]
> Der Nenner divergiert gegen [mm]\infty[/mm] , ist aber wegen dem
> cos beschränkt zwischen -1 und 1.
>
> Das heißt, das Gebilde divergiert zwischen [mm]-\infty[/mm] und
> [mm]+\infty[/mm] .
>
> Ist das annähernd in die richtige Richtung gedacht?
Ja
> Kann
> man das so schreiben?
Ich würde es so schreiben:
[mm] |\bruch{1-2n+3n^2}{cos(4+5n^2)}| \to \infty [/mm] für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
>
>
> Grüße
> Komodo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Komodo |
Alles klar, vielen Dank für die Mühe allen!
Grüße
Komodo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Di 24.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bilder kannst du dann mit
[img] Bildnummer [/img]
einfügen! Hab es mal gerichtet. :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:56 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Zu der Aufgabe mit der Geradengleichung habe ich nun aber
> gar keinen Plan.
> Ich weiß, dass das doch nicht so schwer sein kann, aber
> meine Bücher bringen mich da gar nicht weiter.
> (Ja, ich kanns auch nicht glauben)
> Ich bin ganz ehrlich, stehe absolut auf dem Schlauch..
Ist Dir denn klar, dass $x=y$ überhaupt eine Ebene beschreibt? Im [mm] $\IR^2$ [/mm] wäre das eine Gerade mit Steigung [mm] $\,1$ [/mm] durch den Punkt $(0|0)$, und wenn Du so willst, kannst Du Dir nun die Ebene so vorstellen, dass Du entlang dieser Geraden eine (unendlich dünne) Wand hochziehst, senkrecht auf den [mm] $\IR^2$ [/mm] visualisiert durch ein kartesisches Koordinatensystem.
Oder:
$x=y$ ist äquivalent zu [mm] $\blue{1}*x+\green{(-1)}*y+\red{0}*z=0$ [/mm] für alle $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$, [/mm] welches eine Ebenengleichung für eine Ebene im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist (die $(0,0,0) [mm] \in \IR^3$ [/mm] enthält), und (wie Dir hoffentlich bekannt ist) steht der Vektor [mm] $(\blue{1},\,\green{-1},\,\red{0}) \in \IR^3$ [/mm] senkrecht auf diese Ebene.
In Parameterform könnte man die Ebene übrigens z.B. dann schreiben als (ich schreibe nun mal Spaltenvektoren anstatt Zeilenvektoren):
$$E: [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}+r*\vektor{1\\1\\0}+s*\vektor{0\\0\\1}\;\;(s,t \in \IR\,.)$$
[/mm]
Und nun schreiben wir mal die Geradengleichung als Parameterform. Du hast die beiden Gleichungen
$$x=8+5y$$
und
[mm] $$y=-2z\,.$$
[/mm]
Das sind zwei Gleichungen in [mm] $3\,$ [/mm] Variablen, also kannst Du eine Variable als Parameter wählen, z.B. schreibe [mm] $z=r\,$ ($r\in \IR$).
[/mm]
Dann erhältst Du
[mm] $$z=r\,,$$
[/mm]
[mm] $$y=-2r\, \text{ und somit auch }$$
[/mm]
[mm] $$x=8+5*(-2r)=8-10r\,.$$
[/mm]
Somit ist
$$g: [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{8-10r\\-2r\\r}=\vektor{8\\0\\0}+r*\vektor{-10\\-2\\1}\;\;(r \in \IR)\,.$$
[/mm]
Und jetzt mache Dir mal eine Skizze:
Wenn Du eine Ebene [mm] $E\,$ [/mm] und eine Gerade [mm] $g\,$ [/mm] des [mm] $\IR^3$ [/mm] kennst, so wirst Du feststellen, dass es nur Sinn macht, den Winkel zwischen [mm] $E\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] so zu definieren, dass man den Winkel zwischen dem (besser: einem) Richtungsvektor der Geraden und dem (besser: einem) Vektor, der senkrecht auf die Ebene steht, berechnet und diesen Wert von 90° abzieht; zu beachten ist dabei, dass der betrachtete Richtungsvektor der Geraden und der betrachtete Normalenvektor der Ebene in den gleichen Teilbereich des [mm] $\IR^3$ [/mm] zeigen (die Ebene 'teilt den [mm] $\IR^3$ [/mm] ja sozusagen in zwei Teilbereiche auf'), es sollten also der gewählte Richtungsvektor der Geraden und der gewählte auf die Ebene senkrecht stehende Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] so gewählt sein, dass der Winkel zwischen diesen beiden [mm] $\le$ [/mm] 90° ist. Andernfalls ersetze man beispielsweise den Normalenvektor der Ebenen durch den Normalenvektor mit der Skalaren Zahl [mm] $-1\,$ [/mm] multipliziert.
(Du findest ![[]](/images/popup.gif) hier auch eine kleine Datei bzgl. Winkeln zwischen Geraden und Ebenen; Du kannst aber gerne auch nochmal selber ein wenig mit google danach suchen. Die Formel in der Datei mit [mm] $\sin(.)$ [/mm] ist übrigens aber nicht die, die ihr benutzen sollt, sondern ihr sollt anstatt [mm] $\sin(\alpha)$ [/mm] dort [mm] $\cos(90°-\alpha)$ [/mm] stehen lassen und das dann danach mit dem [mm] $\arccos(.)$ [/mm] entsprechend umformen. Übrigens siehst Du in der Datei auch, dass die beiden Vektoren [mm] $\vec{n}$ [/mm] und [mm] $\vec{r}$ [/mm] bzgl. der dortigen Ebene 'in den gleichen Teilbereich des [mm] $\IR^3$ [/mm] zeigen': Beide 'zeigen bzgl. der Ebene nach oben', es ist nicht so, dass [mm] '$\vec{n}$ [/mm] nach oben' und [mm] '$\vec{r}$ [/mm] nach unten' zeigt!)
Bei Deiner Aufgabe:
[mm] $$\vec{n}:=\vektor{\blue{1}\\\green{-1}\\\red{0}} \perp E\,,$$
[/mm]
und der Vektor
[mm] $$\vec{r}:=\vektor{-10\\-2\\1}$$
[/mm]
ist ein Richtungsvektor der Geraden [mm] $g\,.$ [/mm]
Mit der Formel [mm] $\vec{n}*\vec{r}=|\vec{n}|\,|\vec{r}|\,\cos(\sphericalangle (\vec{n},\vec{r}))$ [/mm] kommst Du nun weiter, wobei [mm] $*\,$ [/mm] hier das euklidische Skalarprodukt des [mm] $\IR^3$ [/mm] meint und [mm] $\sphericalangle(\vec{n},\vec{r})$ [/mm] als 'Winkel zwischen den Vektoren [mm] $\vec{n}$ [/mm] und [mm] $\vec{r}$' [/mm] zu lesen ist. Ich schreibe mal, in Übereinstimmung mit der Skizze der obigen Datei:
[mm] $$90°-\tilde{\alpha}:=\sphericalangle(\vec{n},\vec{r})\,,$$ [/mm]
wobei [mm] $\tilde{\alpha}$ [/mm] hoffentlich der gesuchte Winkel zwischen der Ebene und der Geraden ist.
Du rechnest nun nach:
[mm] $$\cos(90°-\tilde{\alpha})=\frac{\vec{n}*\vec{r}}{|\vec{n}|\,|\vec{r}|}=\frac{-10+2+0}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}\,\sqrt{(-10)^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{-8}{\sqrt{210}}\,$$
[/mm]
und schon wirst Du sehen, dass [mm] $\sphericalangle(\vec{n},\vec{r}) [/mm] > 90°$ ist.
Wir haben also bspw. oben anstatt [mm] $\vec{n}$ [/mm] nun [mm] $\vec{n}_2:=-\vec{n}$ [/mm] zu nehmen, damit wir in Übereinstimmung mit den oben geführten Überlegungen sind, und erhalten so:
Ist [mm] $\alpha$ [/mm] nun wirklich der gesuchte Winkel zwischen der Ebenen [mm] $E\,$ [/mm] und der Geraden [mm] $g\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $$\cos(90°-\alpha)=\cos(\sphericalangle(\vec{n}_2,\vec{r}))=\frac{8}{\sqrt{210}}\,.$$
[/mm]
Wende nun den [mm] $\arccos(.)$ [/mm] an und löse danach nach [mm] $\alpha$ [/mm] auf (lasse das ruhig alles erst mal mit dem Term [mm] $\frac{8}{\sqrt{210}}$ [/mm] stehen).
Ich erhalte somit [mm] $\alpha \approx 90°-56,49°=33,51°\,.$ [/mm]
P.S.:
Eine kurze Überlegung zeigt, dass man sich auch die obigen Überlegungen, ob die beiden betrachteten Vektoren, also [mm] $\vec{n}$ [/mm] und [mm] $\vec{r}$, [/mm] 'in den gleichen Teilbereich bzgl. der Ebene des [mm] $\IR^3$ [/mm] zeigen' sparen kann. Die Formel aus der ersten Datei ist, wenn nun [mm] $\vec{r}$ [/mm] irgendein Richtungsvektor der Geraden [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $\vec{n}$ [/mm] irgendein auf die Ebene [mm] $E\,$ [/mm] senkrecht stehender Vektor ist, dann zu korrigieren zu:
[mm] $$\Big(\sin(\alpha)=\cos(\sphericalangle(\vec{n},\vec{r}))=\Big)\;\;\;\;\;\cos(90°-\alpha)=\frac{\blue{|}\vec{n}*\vec{r}\blue{|}}{|\vec{n}|\,|\vec{r}|}\,,$$
[/mm]
Damit erhältst Du dann auch für [mm] $\vec{n}=\vektor{\blue{1}\\\green{-1}\\\red{0}}$ [/mm] und [mm] $\vec{r}=\vektor{-10\\-2\\1}$, [/mm] dass
[mm] $$\cos(90°-\alpha)=\frac{\blue{|}-8\blue{|}}{\sqrt{210}}\,,$$
[/mm]
(vgl. auch Wiki, Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene (anstelle von [mm] $\alpha$ [/mm] steht dort [mm] $\epsilon$)),
[/mm]
und die Formel (in der letztstehenden Form) sollst Du nun laut der Aufgabenstellung (mithilfe von [mm] $\arccos(.)$) [/mm] nach [mm] $\alpha$ [/mm] auflösen.
P.S.:
In der Aufgabenstellung heißt der gesuchte Winkel [mm] $\varphi$, [/mm] in der obigen Rechnung habe ich in (wegen der verlinkten Datei mit der Skizze) [mm] $\alpha$ [/mm] genannt und bei Wikipedia heißt der gesuchte Winkel [mm] $\epsilon\,.$ [/mm] In dem ganzen Artikel hier kannst Du also [mm] $\alpha=\epsilon=\varphi$ [/mm] setzen, die unterschiedlichen Bezeichnungen resultieren nur vom jeweiligen Bezug zur Verlinkung bzw. verlinkten Datei.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Komodo |
Bin mal alles durchgegangen, und da bleiben eigentlich keine Fragen offen!!
Vielen Dank für die Mühe 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Komodo |
VIELEN Dank euch beiden!!
Da ich gleich noch arbeiten muss, kann ich das Ganze nnicht sofort durchrechnen und nachvollziehen.
Werde es mir ausdrucken und morgen ansehen, sieht alles auf jeden Fall sehr ausführlich aus..
Also Danke, und eine Antwort folgt :-P
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