Konvergenz in einer Metrik < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 So 22.06.2008 | | Autor: | xxxx |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IR\times\IR\to\IR [/mm] und folgende Metrik gegeben:
1) d(x,y) := |x-y|
Betrachte die Folge [mm] (a_n)_{n \in\IN} [/mm] mit [mm] a_n:=1/n [/mm] und zeige das sie bzgl der Metrik konvergiert.
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Also ich weiss mal wieder nicht so genau, wie man das zeigen soll. Und zwar muesste man das doch eigentlich nach folgender Definition beweisen können:
sei x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_{\varepsilon} [/mm] so dass [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{\varepsilon}:|x_n-x|<\varepsilon
[/mm]
so und damit muesste man doch sicher was anfangen können, nur leider habe ich keinen schimmer was ich genau machen muss, oder ob ich viell doch wieder so was ähnlich wie bei der gleichmässigen Konvergenz machen muss... wäre echt lieb wenn mir jemand helfen könnte.
lg xxxx
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Hallo,
> Also ich weiss mal wieder nicht so genau, wie man das
> zeigen soll.
Am besten über die Definition 
Und zwar muesste man das doch eigentlich nach
> folgender Definition beweisen können:
>
> sei x [mm]\in \IR[/mm] : [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_{\varepsilon}[/mm]
> so dass [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_{\varepsilon}[/mm] : [mm]|x_n[/mm] - x| <
> [mm]\varepsilon[/mm]
Wo kommt dein x her? Soll das der Grenzwert sein? Dann stimmts soweit.
Was ist der Grenzwert der obigen Folge?
Hattet ihr schon Kovergenz ohne den Grenzwert zu kennen?
(Wenn ja, welches Kriterium wäre das und was müsstest du zeigen?)
Bist du sicher, dass die Metrik richtig ist?
MfG,
Gono.
> so und damit muesste man doch sicher was anfangen können,
> nur leider habe ich keinen schimmer was ich genau machen
> muss, oder ob ich viell doch wieder so was ähnlich wie bei
> der gleichmässigen Konvergenz machen muss... wäre echt lieb
> wenn mir jemand helfen könnte.
>
> lg xxxx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mo 23.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Also meine Metrik ist auf jedenfall richtig....
mein Grenzwert von [mm] a_n [/mm] ist 0. Und wenn ich den Grenzwert nicht kenne, macht man das normalerweise mit einem Limes superior.....
Aber ich weiss leider nicht so genau auf welches Kriterium du anspielst... wir hatten so viele....
lg xxxx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
wähle doch mit Deiner Definition mal [mm] n_{\varepsilon} [/mm] größer als [mm] \bruch{1}{\varepsilon}, [/mm] dann kannst Du mit 0 als (zunächst) vermutetem Grenzwert Deine Folge gegen [mm] \varepsilon [/mm] abschätzen.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mo 23.06.2008 | | Autor: | xxxx |
hm... also könnte ich nicht einfach sowas in der Art machen wie:
| 1/n - 0| < [mm] \varepsilon [/mm]
und dann könnte ich doch diese Ungleichung benutzen und umformen, so dass
n = 1/ [mm] \varepsilon
[/mm]
ist, aber das ist ja quasi das was du gesagt hast.... und ich mein mein n kann ja immer groesser als [mm] \varepsilon [/mm] sein oder....
lg xxxx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> hm... also könnte ich nicht einfach sowas in der Art machen
> wie:
>
> | 1/n - 0| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
genau das gilt es für vorgegebenes Epsilon zu zeigen.
> und dann könnte ich doch diese Ungleichung benutzen und
> umformen, so dass
>
> n = 1/ [mm]\varepsilon[/mm]
>
nein, das bringt Dir nichts. Du musst für vorgegebenes [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] n_{\varepsilon} [/mm] finden, so dass [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{\varepsilon} [/mm] die Ungleichung
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
erfüllt ist. Es geht also darum, zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] das [mm] n_{\varepsilon} [/mm] zu finden. Dieses findest Du, indem Du [mm] n_{\varepsilon} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] wählst, denn damit kannst Du [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen [mm] \varepsilon [/mm] abschätzen.
> ist, aber das ist ja quasi das was du gesagt hast.... und
> ich mein mein n kann ja immer groesser als [mm]\varepsilon[/mm] sein
> oder....
natürlich kann es das. Wie gesagt, es geht nicht darum, n zu finden oder zu berechnen.
>
> lg xxxx
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 24.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Hey,
also mir ist noch eine Frage eingefallen, und zwar hast du ja gesagt, dass ich mein
[mm] n_{\varepsilon} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] wählen muss. Auf Diese Sache bin ich ja gekommen, weil ich ja quais [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] \bruch{1}{n_{\varepsilon}} [/mm] nach
[mm] n_{\varepsilon} [/mm] aufgelöst habe, nur wie weit muss ich das jetzt abschätzen oder wie geht man da am besten ran... ich bin da immer ein bisschen ratlos... weil ich mein je kleiner mein [mm] \varepsilon [/mm] ist, desto grösser wird ja der ganze term, also sobald [mm] \varepsilon [/mm] < 1 ist. Wie genau kann ich mir das dann vorstellen....
lg xxxx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Do 26.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> Hey,
Hallo!
> also mir ist noch eine Frage eingefallen, und zwar hast du
> ja gesagt, dass ich mein
> [mm]n_{\varepsilon}[/mm] > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] wählen muss. Auf
> Diese Sache bin ich ja gekommen, weil ich ja quais
> [mm]\varepsilon[/mm] > [mm]\bruch{1}{n_{\varepsilon}}[/mm] nach
> [mm]n_{\varepsilon}[/mm] aufgelöst habe, nur wie weit muss ich das
> jetzt abschätzen oder wie geht man da am besten ran...
Einfach Deine Definition von Kovergenz benutzen und einsetzen...
> ich
> bin da immer ein bisschen ratlos... weil ich mein je
> kleiner mein [mm]\varepsilon[/mm] ist, desto grösser wird ja der
> ganze term,
Meinst Du mit "Term" jetzt das [mm] \varepsilon [/mm] ? Das macht ja nix, dass es größer wird. Das Konvergenzkriterium besagt ja nur, dass es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] n_{\varepsilon} [/mm] geben muss. Wie groß dieses ist, ist wurst.
> also sobald [mm]\varepsilon[/mm] < 1 ist. Wie genau kann
> ich mir das dann vorstellen....
Naja wie gesagt, Du musst Deine Folge gegen [mm] \varepsilon [/mm] abschätzen:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] gegeben. Wähle [mm] n_{\varepsilon} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}. [/mm] Dann gilt [mm] \forall [/mm] n > [mm] n_{\varepsilon}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n_\varepsilon} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Fertich!
>
> lg xxxx
>
LG djmatey
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