Konvergenz in l unendlich < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Do 02.05.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Sei [mm] (v_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge von Vektoren [mm] v_n [/mm] = [mm] (y_{n,1},y_{n,2},...)\in l_{\infty}(\IR) [/mm] und sei v = [mm] (y_1,y_2,...) [/mm] ein Vektor in [mm] l_{\infty}(\IR). [/mm]
Widerlegen Sie: Für alle [mm] m\in\IN [/mm] gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n,m} [/mm] = [mm] y_m. \Rightarrow [/mm] Für n gegen Unendlich konvergiert die Folge [mm] (v_n) [/mm] gegen den Vektor v bzgl. der Supremumsnorm || . [mm] ||_{\infty} [/mm] auf [mm] l_{\infty}(\IR) [/mm] |
Hallo. Ich komme damit nicht wirklich zurecht. Ich dachte mir sowas:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n,m} [/mm] = [mm] y_m \Rightarrow [/mm] Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] : [mm] |y_{n,m}-y_m|< \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Da ab diesem N alle Abstände der Folgenglieder kleiner epsilon sind, kann dies ja dann für alle n [mm] \ge [/mm] N auch [mm] max_{i\in\IN}|y_{n,i}-y_i| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gelten, denn es ist zwar der größte Wert, aber ab diesem N sind nunmal alle Abstände kleiner als epsilon.
Man kann daraus aber ja nicht folgern, dass [mm] sup\{|y_{n,i}-y_i|:i\in\IN\} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gilt, da das Supremum ja nicht unbedingt in dieser Menge enthalten sein muss, oder irre ich mich da? Man könnte diese Folgerung ja höchstens für die MAximumsnorm machen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:12 Fr 03.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Ich übersetze:
Zeige: aus der koordinatenweisen Konvergenz von [mm] (v_n) [/mm] gegen v folgt i.a. nicht, dass [mm] (v_n) [/mm] bezüglich $||* [mm] ||_{\infty} [/mm] $ gegen v konvergiert.
Also her mit einem Gegenbeispiel.
FRED
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