Konvergenz in metr. Raum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Fr 07.05.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Eine Menge $X [mm] \not= \emptyset$ [/mm] sei mit einer diskreten Metrik
$$
[mm] d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = y \\
1, & \mbox{für } x \not= y
\end{cases}
[/mm]
$$
versehen.
a) Zeigen Sie, dass eine Folge [mm] $(x_n)_{n \ge 1}$ [/mm] in $(X,d)$ genau dann konvergiert, wenn es einen Index $N$ gibt, so dass [mm] $x_n [/mm] = [mm] x_N$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.
b) Charakterisieren Sie analog zu a) den Begriff einer Cauchy-Folge und entscheiden Sie, ob $(X,d)$ vollständig ist. |
Hallo,
zuerst einmal hab ich Problem mir vorzustellen wie eine solche Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN} [/mm] überhaupt aussieht. Handelt es sich bei den Folgengliedern nur um Nullen und Eisen?
Ich habe versucht mir das folgendermaßen an einem konstruierten Beispiel klarzumachen:
Sei $X = [mm] \IN$ [/mm] und [mm] $(a_n) [/mm] := n$ eine Folge in $X$.
Kann ich mir eine Folge in $(X,d)$ dann etwa so vorstellen?
$ [mm] (x_n) [/mm] := [mm] d(a_n, [/mm] y) $ wobei $y [mm] \in [/mm] X$ fest ist?
Diese Folge wäre dann z.B. für $y = 4$ konvergent nach a), da ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] (hier $N = 5$) existiert, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt: [mm] $x_n [/mm] = [mm] x_N [/mm] = 1$
Kann ich mir das so vorstellen oder denke ich da zu kompliziert und es ist in Wahrheit viel einfacher? 
Meine darauf aufbauenden Überlegungen zu der Aufgabenstellung sehen nun so aus:
zu a) Hier muss eine Äquivalenz gezeigt werden, also gilt es zwei Richtungen zu zeigen.
i) z.z. [mm] $(x_n)_{n \ge 1}$ [/mm] in $(X,d)$ konvergent [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es existiert ein Index $N$, so dass [mm] $x_n [/mm] = [mm] x_N$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.
Sei also [mm] $(x_n)_{n \ge 1} \subset [/mm] (X,d)$ eine konvergente Folge.
[mm] $\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} x_n [/mm] = [mm] x_0 \in [/mm] (X,d) $ existiert.
[mm] $\Rightarrow \forall \epsilon \ge [/mm] 0 : [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] d(x_n, x_0) [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} d(x_n, x_0) \rightarrow [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow x_n [/mm] = [mm] x_0$ [/mm] (da d Metrik auf X)
Ich bin mir nicht sicher ob ich hier richtig argumentiert habe.
ii) z.z. [mm] $(x_n)_{n \ge 1}$ [/mm] Folge in $(X,d)$ und es gibt ein $N$ , so dass [mm] $x_n [/mm] = [mm] x_N$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N [mm] \Rightarrow (x_n)_{n \ge 1}$ [/mm] konvergent.
Sei also [mm] $(x_n)_{n \in \IN} \subset [/mm] (X,d)$ eine Folge.
Angenommen es existiert ein $N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] x_n [/mm] = [mm] x_N \\
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} (x_n) [/mm] = [mm] x_N \\
[/mm]
[mm] \Rightarrow (x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist konvergent
zu b) Ich würde den Begriff der Cauchy-Folge wie folgt charakterisieren:
[mm] $(x_n)_{n \in \IN} \subset [/mm] (X,d)$ ist Cauchy-Folge genau dann, wenn ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] existiert, so dass [mm] $\forall [/mm] n, m [mm] \ge [/mm] N$ gilt, dass [mm] $x_n [/mm] = [mm] x_m$ [/mm] ist.
Das sieht doch ganz gut aus oder? 
Eigentlich sagt diese Charakterisierung einer Cauchy-Folge auf dem gegebenem metrischen Raum ja genau das gleich aus wie die Charakterisierung der Konvergenz in der Aufgabenstellung. So wie ich das sehe sind dann die Begriffe konvergente Folge und Cauchy-Folge in diesem Raum äquivalent.
Ich würde daher sagen, dass $(X,d)$ vollständig ist, da der Limes einer jeden Cauchy-Folge über $(X,d)$ in $(X,d)$ liegt.
Was haltet ihr davon?
Ich freue mich auf eure Antworten!
Gruss
jboss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Fr 07.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Eine Menge [mm]X \not= \emptyset[/mm] sei mit einer diskreten
> Metrik
> [mm][/mm]
> [mm]d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = y \\
1, & \mbox{für } x \not= y
\end{cases}[/mm]
> [mm][/mm]
>
> versehen.
>
> a) Zeigen Sie, dass eine Folge [mm](x_n)_{n \ge 1}[/mm] in [mm](X,d)[/mm]
> genau dann konvergiert, wenn es einen Index [mm]N[/mm] gibt, so dass
> [mm]x_n = x_N[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm] gilt.
>
> b) Charakterisieren Sie analog zu a) den Begriff einer
> Cauchy-Folge und entscheiden Sie, ob [mm](X,d)[/mm] vollständig
> ist.
> Hallo,
> zuerst einmal hab ich Problem mir vorzustellen wie eine
> solche Folge [mm]$(x_n)_{n \in \IN}[/mm] überhaupt aussieht.
> Handelt es sich bei den Folgengliedern nur um Nullen und
> Eisen?
Nein, denn der Raum selber ist beliebig, nur die Abstandsfunktion immr nur die Werte 0 und 1 an. Diese Metrik induziert die diskrete Topologie, in der alle Teilmengen von X offen (und damit auch abgeschlossen) sind.
> Ich habe versucht mir das folgendermaßen an einem
> konstruierten Beispiel klarzumachen:
> Sei [mm]X = \IN[/mm] und [mm](a_n) := n[/mm] eine Folge in [mm]X[/mm].
> Kann ich mir eine Folge in [mm](X,d)[/mm] dann etwa so vorstellen?
>
> [mm](x_n) := d(a_n, y)[/mm] wobei [mm]y \in X[/mm] fest ist?
Das ist die Folge der Abstände der Folge [mm] $a_n$ [/mm] vom Punkt y, hat aber nichts direkt damit zu tun.
> Meine darauf aufbauenden Überlegungen zu der
> Aufgabenstellung sehen nun so aus:
> zu a) Hier muss eine Äquivalenz gezeigt werden, also gilt
> es zwei Richtungen zu zeigen.
> i) z.z. [mm](x_n)_{n \ge 1}[/mm] in [mm](X,d)[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow[/mm]
> es existiert ein Index [mm]N[/mm], so dass [mm]x_n = x_N[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm]
> gilt.
>
> Sei also [mm](x_n)_{n \ge 1} \subset (X,d)[/mm] eine konvergente
> Folge.
> [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0 \in (X,d)[/mm]
> existiert.
> [mm]\Rightarrow \forall \epsilon \ge 0 : \exists N \in \IN : \forall n \ge N : d(x_n, x_0) < \epsilon[/mm]
Soweit OK.
> [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} d(x_n, x_0) \rightarrow 0[/mm]
Ja, da die Abstandsfunktion d stetig ist.
> [mm]\Rightarrow x_n = x_0[/mm] (da d Metrik auf X)
Wieso? An welcher Stelle hast du benutzt, dass es sich hier um eine diskrete Metrik handelt? Für eine beliebige Metrik ist die Aussage falsch.
Geh nochmal zur Aussage
[mm]\Rightarrow \forall \epsilon \ge 0 : \exists N \in \IN : \forall n \ge N : d(x_n, x_0) < \epsilon[/mm]
zurück und überlege dir, was es bedeutet, dass d nur die Werte 0 und 1 annehmen kann.
> ii) z.z. [mm](x_n)_{n \ge 1}[/mm] Folge in [mm](X,d)[/mm] und es gibt ein [mm]N[/mm] ,
> so dass [mm]x_n = x_N[/mm] für alle [mm]n \ge N \Rightarrow (x_n)_{n \ge 1}[/mm]
> konvergent.
>
> Sei also [mm](x_n)_{n \in \IN} \subset (X,d)[/mm] eine Folge.
> Angenommen es existiert ein $N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N :
> [mm]x_n[/mm] = [mm]x_N \\[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} (x_n)[/mm]
> = [mm]x_N \\[/mm]
> [mm]\Rightarrow (x_n)_{n \in \IN}$[/mm] ist konvergent
Ist dir klar, dass du hier nichts Neues gezeigt hast, weil diese Richtung per Definition der Konvergenz immer gilt?
> zu b) Ich würde den Begriff der Cauchy-Folge wie folgt
> charakterisieren:
> [mm](x_n)_{n \in \IN} \subset (X,d)[/mm] ist Cauchy-Folge genau
> dann, wenn ein [mm]N \in \IN[/mm] existiert, so dass [mm]\forall n, m \ge N[/mm]
> gilt, dass [mm]x_n = x_m[/mm] ist.
>
> Das sieht doch ganz gut aus oder?
Das ist OK, aber du solltest doch von der Definition der Cauchy-Folge ausgehen. Wenn du die Hinrichtung in a) hast, wird es dir sofort einleuchten.
>
> Eigentlich sagt diese Charakterisierung einer Cauchy-Folge
> auf dem gegebenem metrischen Raum ja genau das gleich aus
> wie die Charakterisierung der Konvergenz in der
> Aufgabenstellung. So wie ich das sehe sind dann die
> Begriffe konvergente Folge und Cauchy-Folge in diesem Raum
> äquivalent.
>
> Ich würde daher sagen, dass [mm](X,d)[/mm] vollständig ist, da der
> Limes einer jeden Cauchy-Folge über [mm](X,d)[/mm] in [mm](X,d)[/mm] liegt.
Richtig. Bezüglich dieser Metrik ist der Raum vollständig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Fr 07.05.2010 | | Autor: | jboss |
> Hallo!
>
> > Eine Menge [mm]X \not= \emptyset[/mm] sei mit einer diskreten
> > Metrik
> >[mm][/mm]
> > [mm]d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = y \\
1, & \mbox{für } x \not= y
\end{cases}[/mm]
>
> >[mm][/mm]
> >
> > versehen.
> >
> > a) Zeigen Sie, dass eine Folge [mm](x_n)_{n \ge 1}[/mm] in [mm](X,d)[/mm]
> > genau dann konvergiert, wenn es einen Index [mm]N[/mm] gibt, so dass
> > [mm]x_n = x_N[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm] gilt.
> >
> > b) Charakterisieren Sie analog zu a) den Begriff einer
> > Cauchy-Folge und entscheiden Sie, ob [mm](X,d)[/mm] vollständig
> > ist.
> > Hallo,
> > zuerst einmal hab ich Problem mir vorzustellen wie eine
> > solche Folge [mm]$(x_n)_{n \in \IN}[/mm] überhaupt aussieht.
> > Handelt es sich bei den Folgengliedern nur um Nullen und
> > Eisen?
>
> Nein, denn der Raum selber ist beliebig, nur die
> Abstandsfunktion immr nur die Werte 0 und 1 an. Diese
> Metrik induziert die diskrete Topologie, in der alle
> Teilmengen von X offen (und damit auch abgeschlossen) sind.
Ok, jetzt hat es Klick gemacht.
> Geh nochmal zur Aussage
>
> [mm]\Rightarrow \forall \epsilon \ge 0 : \exists N \in \IN : \forall n \ge N : d(x_n, x_0) < \epsilon[/mm]
>
> zurück und überlege dir, was es bedeutet, dass d nur die
> Werte 0 und 1 annehmen kann.
Ja also die Aussage muss ja für alle infenitisimal kleinen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gelten.
D.h. für [mm] $d(x_n, x_0) [/mm] = 1 [mm] \not$ [/mm] kann die Aussage nicht zutreffen.
Nur für [mm] $d(x_n,x_0) [/mm] = 0$ (also genau dann wenn [mm] $x_n [/mm] = [mm] x_0$) [/mm] gilt die Aussage.
>
> > ii) z.z. [mm](x_n)_{n \ge 1}[/mm] Folge in [mm](X,d)[/mm] und es gibt ein [mm]N[/mm] ,
> > so dass [mm]x_n = x_N[/mm] für alle [mm]n \ge N \Rightarrow (x_n)_{n \ge 1}[/mm]
> > konvergent.
> >
> > Sei also [mm](x_n)_{n \in \IN} \subset (X,d)[/mm] eine Folge.
> > Angenommen es existiert ein $N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> N :
> > [mm]x_n[/mm] = [mm]x_N \\[/mm]
> > [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} (x_n)[/mm]
> > = [mm]x_N \\[/mm]
> > [mm]\Rightarrow (x_n)_{n \in \IN}$[/mm] ist
> konvergent
>
> Ist dir klar, dass du hier nichts Neues gezeigt hast, weil
> diese Richtung per Definition der Konvergenz immer gilt?
Jo, leuchtet ein :-D
> > zu b) Ich würde den Begriff der Cauchy-Folge wie folgt
> > charakterisieren:
> > [mm](x_n)_{n \in \IN} \subset (X,d)[/mm] ist Cauchy-Folge genau
> > dann, wenn ein [mm]N \in \IN[/mm] existiert, so dass [mm]\forall n, m \ge N[/mm]
> > gilt, dass [mm]x_n = x_m[/mm] ist.
> >
> > Das sieht doch ganz gut aus oder?
>
> Das ist OK, aber du solltest doch von der Definition der
> Cauchy-Folge ausgehen.
Hmm, das verstehe ich nicht so ganz? Wie meinst du das?
Ich bin doch von der Definition der Cauchy-Folge ausgegangen [mm] ($(x_n)$ [/mm] Cauchy-Folge genau dann, wenn [mm] $\forall \epslion [/mm] > 0 : [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n, m [mm] \ge [/mm] N : [mm] d(x_n, x_m) [/mm] < [mm] \epsilon$). [/mm] Davon bin ich ausgegangen und habe versucht diese Definition analog zu a) für $(X,d)$ zu charakterisieren.
Kannst du mir das noch ein wenig erläutern?
> >
> > Eigentlich sagt diese Charakterisierung einer Cauchy-Folge
> > auf dem gegebenem metrischen Raum ja genau das gleich aus
> > wie die Charakterisierung der Konvergenz in der
> > Aufgabenstellung. So wie ich das sehe sind dann die
> > Begriffe konvergente Folge und Cauchy-Folge in diesem Raum
> > äquivalent.
Ist diese Argumentation so in Ordnung?
Ich danke dir schonmal vielmals! Du warst mir eine große Hilfe.
Gruss
jboss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Fr 07.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja also die Aussage muss ja für alle infenitisimal kleinen
> [mm]\epsilon > 0[/mm] gelten.
> D.h. für [mm]d(x_n, x_0) = 1 \not[/mm] kann die Aussage nicht
> zutreffen.
> Nur für [mm]d(x_n,x_0) = 0[/mm] (also genau dann wenn [mm]x_n = x_0[/mm])
> gilt die Aussage.
Du brauchst nicht einmal infinitesimal kleine [mm] $\epsilon$, [/mm] denn [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] reicht vollkommen aus: wenn die Folge konvergiert, so gibt es zu [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] ein $N$, sodass [mm] $d(x_n, x_0) [/mm] =0 $ für alle $n>N$, und daher [mm] $x_n=x_0$ [/mm] für alle $n>N$.
>
> >
> > > ii) z.z. [mm](x_n)_{n \ge 1}[/mm] Folge in [mm](X,d)[/mm] und es gibt ein [mm]N[/mm] ,
> > > so dass [mm]x_n = x_N[/mm] für alle [mm]n \ge N \Rightarrow (x_n)_{n \ge 1}[/mm]
> > > konvergent.
> > >
> > > Sei also [mm](x_n)_{n \in \IN} \subset (X,d)[/mm] eine Folge.
> > > Angenommen es existiert ein $N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\forall[/mm] n
> [mm]\ge[/mm]
> > N :
> > > [mm]x_n[/mm] = [mm]x_N \\[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty} (x_n)[/mm]
> > > = [mm]x_N \\[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow (x_n)_{n \in \IN}$[/mm] ist
> > konvergent
> >
> > Ist dir klar, dass du hier nichts Neues gezeigt hast, weil
> > diese Richtung per Definition der Konvergenz immer gilt?
>
> Jo, leuchtet ein :-D
>
> > > zu b) Ich würde den Begriff der Cauchy-Folge wie folgt
> > > charakterisieren:
> > > [mm](x_n)_{n \in \IN} \subset (X,d)[/mm] ist Cauchy-Folge
> genau
> > > dann, wenn ein [mm]N \in \IN[/mm] existiert, so dass [mm]\forall n, m \ge N[/mm]
> > > gilt, dass [mm]x_n = x_m[/mm] ist.
> > >
> > > Das sieht doch ganz gut aus oder?
> >
> > Das ist OK, aber du solltest doch von der Definition der
> > Cauchy-Folge ausgehen.
>
> Hmm, das verstehe ich nicht so ganz? Wie meinst du das?
> Ich bin doch von der Definition der Cauchy-Folge
> ausgegangen ([mm](x_n)[/mm] Cauchy-Folge genau dann, wenn [mm]\forall \epslion > 0 : \exists N \in \IN : \forall n, m \ge N : d(x_n, x_m) < \epsilon[/mm]).
> Davon bin ich ausgegangen und habe versucht diese
> Definition analog zu a) für [mm](X,d)[/mm] zu charakterisieren.
> Kannst du mir das noch ein wenig erläutern?
Genau das, was du eben geschreiben hast. In der ersten Version fiel die Aussage vom Himmel.
>
> > >
> > > Eigentlich sagt diese Charakterisierung einer Cauchy-Folge
> > > auf dem gegebenem metrischen Raum ja genau das gleich aus
> > > wie die Charakterisierung der Konvergenz in der
> > > Aufgabenstellung. So wie ich das sehe sind dann die
> > > Begriffe konvergente Folge und Cauchy-Folge in diesem Raum
> > > äquivalent.
>
> Ist diese Argumentation so in Ordnung?
Ich würde es explizit machen: wenn [mm] $x_n$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist, so gibt es ein $N$, sodass für alle $n,m>N$ gilt: [mm] $x_n=x_m$, [/mm] also alle Folgenglieder gleich einem [mm] $x_0$, [/mm] also offensichtlich konvergent gegen [mm] $x_0$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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