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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Konvergenz komplexer Reihe
Konvergenz komplexer Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz komplexer Reihe: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Mi 20.01.2010
Autor: TUDarmstadt

Aufgabe
Welche der folgenden Reihen konvergierren?

(i) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{i^n}{n} [/mm]

(ii)  [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1-i}{1+i})^n [/mm]

(iii)  [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{1}{log(n)})*(\bruch{1-i}{1+i})^n [/mm]

Ich bin zum Schluss gekommen, dass alle Reihen divergieren - ist das richtig?

(i) die Reihe springt im zyklus von 4 auf:
n1 = i/n; n2 =-1/n; n3 = -i/n; n4 = 1/n

(ii) [mm] (\bruch{1-i}{1+i})^n [/mm] = [mm] (\bruch{(1-i)*(1-i)}{(1+i)*(1-i)})^n [/mm] = [mm] (\bruch{-2i}{2})^n [/mm] = [mm] (-i)^n [/mm]
hier springt i immer auf folgenden zyklus:
n1=i; n2=-1; n3=-i; n4=1

daher divergent.

(ii) nach Aufgabe (ii):
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{1}{log(n)})*(-i)^n [/mm]

daher ebenfalls divergent...

        
Bezug
Konvergenz komplexer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mi 20.01.2010
Autor: pelzig


> Ich bin zum Schluss gekommen, dass alle Reihen divergieren - ist das richtig?

Falsch, alle außer (ii) konvergieren. Schau dir bei allen Reihen den Real- und Imaginärteil der Partialsummenfolge an. Bei (i) und (iii) benutze das Leibnizkriterium um Konvergenz zu zeigen und bei (ii) benutzt du, dass die alternierende Reihe [mm] \sum_k(-1)^k [/mm] divergent ist.

Gruß, Robert

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