Konvergenz mit Epsilon < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist diese Reihe konvergent? Beweise oder wiederlege
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2n+1} [/mm] |
So, ich möchte diese Aufgabe mit Delta-Epsilon lösen
Angenommen, der Grenzwert sei 0
Sei [mm] \varepsilon>0
[/mm]
[mm] |f(x)-l|<\varepsilon [/mm] l, also der Limes sei 0
[mm] |\bruch{1}{2n+1}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{2n+1}|<\bruch{1}{2n}<\bruch{1}{n}
[/mm]
Wähle [mm] N:=1/\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}=\varepsilon
[/mm]
=>Grenzwert ist 0, Reihe konvergiert!
Ist das soweit richtig?
Wenn nicht, bitte ich um Hilfe und Korrektur
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 So 24.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass der GW sicher nicht 0 ist kannst du doch schon sehen, wenn du nicht bis [mm] \infty, [/mm] sondern nur bis 1 oder 3 oder 100 gehst.
Du hast gezeigt, dass die Summanden ne Nullfolge bilden, das ist ein notwendiges Kriterium für Konv. der Reihe. kein hinreichendes!
Deine Reihe divergiert. vergleich mal mit der harmonischen Reihe, deren Divergenz du sicher kennst.
Gruss leduart
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Verdammt, das hab ich wieder verwechselt.
Ja, ok, wenn man zeigen möchte, dass diese Reihe divergiert, dann wendet man das Minorantenkriterium an
0<(gleich)an<(gleich)bn
an:=$ [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] $
bn:=1/n
[mm] \bruch{1}{2n+1}<\bruch{1}{2n}<\bruch{1}{n} [/mm] =>harmonische Reihe=>Divergenz für an
Richtig so?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 24.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Verdammt, das hab ich wieder verwechselt.
> Ja, ok, wenn man zeigen möchte, dass diese Reihe
> divergiert, dann wendet man das Minorantenkriterium an
> 0<(gleich)an<(gleich)bn
> an:=[mm] \bruch{1}{2n+1}[/mm]
> bn:=1/n
>
> [mm]\bruch{1}{2n+1}<\bruch{1}{2n}<\bruch{1}{n}[/mm] =>harmonische
> Reihe=>Divergenz für an
>
> Richtig so?
Nein,
eine Divergenz beweist man , indem man zeigt, dass die Glieder deiner Reihe GRÖßER sind als die Glieder einer divergenten Reihe.
Allerdings divergiert ja nicht nur 1/n, sondern auch die Hälfte davon , also 1/(2n). Das ist allerdings immer noch einen Tick zu groß, aber 1/(2(n+1)) divergiert ja auch (ist fast die gleiche Reihe wie bei 1/(2n), nur dass der erste Summand 1/2 fehlt).
Gruß Abakus
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Ok, ich versuche es nochmal:
Minorantenkriterium:
0<an<bn(jeweils auch gleich)
[mm] an:=\bruch{1}{2(n+1)}
[/mm]
bn:=$ [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] $
[mm] Zeige:\bruch{1}{2(n+1)}=\bruch{1}{2n+2}<\bruch{1}{2n}<\bruch{1}{n} [/mm] =>harmonische Reihe
=>Minorante divergiert=>Reihe divergiert
So, diesmal alles richtig?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 So 24.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo TheBozz-mismo!
Nein, das ist leider immer noch verkehrt und falsch!
Du musst in Deiner Abschätzung am Ende stehen haben $... \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] bzw. auch $... \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Ich blick da vor kleiner oder größer nicht mehr durch.
[mm] \bruch{1}{2(n+1)}=\bruch{1}{2n+2}>\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{2n}>\bruch{2}{2n}=\bruch{1}{n}
[/mm]
So richtig?
Ich hab echt kein Plan mehr, kann mir einer helfen? Ich seh den Wald vor lauten Abschätzungen nicht mehr...
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
es ist offensichtlich
[mm] \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Setze ein paar Zahlen für n ein und du merkst es.
Lies dir den ganzen Thread nochmal durch, du sollst ja nicht gegen [mm] \sum [/mm] 1/n abschätzen, sondern gegen eine ähnliche divergente Reihe.
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mo 25.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Formulier doch mal das Minorantenkriterium. du musst eine Reihe finden, die KLEINER ist als deine und die divergiert.
Die Reihe mit 1/n ist nicht selbst kleiner!
aber ein Vielfaches , bzw ein Bruchteil der harmonischen Reihe divergiert ja auch!
Beispiel:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/(2i) [/mm] = [mm] 0.5*\summe_{i=1}^{\infty}1/i
[/mm]
Gruss leduart
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