Konvergenz nach Satz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Aus welchen folgenden Bedinungen folgt die Konvergenz der Folge [mm]a_j[/mm] gegen r?
1. Zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es nur endlich viele j mit [mm]\left|a_j - r\right| > \epsilon[/mm]
2. Zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es unendlich viele j mit [mm]\left|a_j - r\right|\le \epsilon[/mm]
3. Zu jedem [mm] 1 > \epsilon > 0[/mm] gibt es ein n so dass [mm]\left|a_j - r\right|\le \epsilon[/mm] für alle [mm]j\ge n[/mm]
4. Zu jedem n gibt es ein [mm] \epsilon > 0[/mm] so dass [mm]\left|a_j - r\right|\le \epsilon[/mm] für [mm]j\ge n[/mm]
5. Zu jedem [mm] \epsilon > 0[/mm] gibt es ein n so dass [mm]\left|a_n - r\right|\le \epsilon[/mm] |
Hallo Ihr Lieben!
Bei dieser Aufgabe muss ich ja folgenden Satz verwenden: Zu jedem [mm]\epsilon > 0 \in \IR[/mm] gibt es ein [mm] n \in \IN [/mm], so dass [mm]\left| a_k -r \right| \le \epsilon [/mm] für alle [mm] A \in I, k \ge n[/mm]
So danach wäre für mich 1 und 2 definitv falsch 3 ebenfalls und 4 und 5 richtig.
Nun habe ich das aber mit jem besprochen und der Übungsleiter meint 4 und 5 sind falsch und 1,2,3 richtig! Er will mir aber nicht erklären warum. Nun brauche ich eure Hilfe!
Wieso sind 1,2,3 richtig und 4 und 5 falsch?
Vielen Dank schon mal!
Mary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Mi 24.03.2010 | | Autor: | fred97 |
1. ist richtig, denn zu [mm] \varepsilon [/mm] >0 ex. [mm] j_0 [/mm] mit [mm] |a_j-r| \le \varepsilon [/mm] für j [mm] \ge j_0
[/mm]
2. ist falsch (auch wenn Dein Übungsleiter was anderes sagt). Beispiel: [mm] a_n=(-1)^n. (a_n) [/mm] ist divergent, [mm] |a_n-1|=0 [/mm] für alle geraden n.
3. ist richtig. Die Einschränkung [mm] \varepsilon<1 [/mm] tut nichts zur Sache
4.ist falsch. Beispiel: [mm] a_n=(-1)^n.. [/mm] Zu n [mm] \in \IN [/mm] wähle [mm] \varepsilon=4711. [/mm] Dann:
$ [mm] |a_n-4710| \le \varepsilon$
[/mm]
5. ist falsch. Beispiel wie bei 2.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Mary1986 |
Hey FRED
Dank dir, jetzt habe ich es auch verstanden 
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