Konvergenz rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche die Folge (an), die wie folgt rekursiv defiert ist, auf Konvergenz.
[mm] a_1 [/mm] := 0,5 und [mm] a_{n+1} [/mm] = an - [mm] a_n^{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Wieder ein wenig Wiederholung..
Habe mir jetzt eine leichtere Folge rausgesucht, denn es geht mir nur um das Schema des Beweises:
Behauptung: 1) [mm] (a_n) [/mm] monoton fallend 2) [mm] (a_n) [/mm] nach unten beschränkt durch 0
Beweis:
1) betrachte [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] - [mm] a_n^{2} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] -a_n^{2} \le [/mm] 0
[mm] \Rightarrow (a_n) [/mm] monoton fallend (oder muss man hier noch mit Induktion ran?)
2) da [mm] (a_n) [/mm] monoton fallend, ist [mm] (a_n) \le [/mm] 0,5 für alle n.
Daher ist [mm] a_n^{2} [/mm] < [mm] a_n [/mm] also [mm] a_{n+1}= a_n [/mm] - [mm] a_n^{2} \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 ist untere Schranke von [mm] (a_n)
[/mm]
(hier auch ohne Induktion? Und es reicht doch eine untere Schranken zu nennen, dass es sich um ein Infimum handelt muss doch nicht gezeigt werden oder?)
1) + 2) [mm] \Rightarrow (a_n) [/mm] konvergent.
Liebe Grüße, kullinarisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mo 02.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man untersuche die Folge (an), die wie folgt rekursiv
> defiert ist, auf Konvergenz.
>
> [mm]a_1[/mm] := 0,5 und [mm]a_{n+1}[/mm] = an - [mm]a_n^{2}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Wieder ein wenig Wiederholung..
>
> Habe mir jetzt eine leichtere Folge rausgesucht, denn es
> geht mir nur um das Schema des Beweises:
>
> Behauptung: 1) [mm](a_n)[/mm] monoton fallend 2) [mm](a_n)[/mm] nach unten
> beschränkt durch 0
>
> Beweis:
>
> 1) betrachte [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm] = [mm]a_n[/mm] - [mm]a_n^{2}[/mm] - [mm]a_n[/mm] = [mm]-a_n^{2} \le[/mm]
> 0
> [mm]\Rightarrow (a_n)[/mm] monoton fallend (oder muss man hier noch
> mit Induktion ran?)
O.K. Induktion ist nicht nötig
>
> 2) da [mm](a_n)[/mm] monoton fallend, ist [mm](a_n) \le[/mm] 0,5 für alle
> n.
> Daher ist [mm]a_n^{2}[/mm] < [mm]a_n[/mm] also [mm]a_{n+1}= a_n[/mm] - [mm]a_n^{2} \ge[/mm] 0
Für all das benötigst Du noch: [mm] a_n \ge [/mm] 0 für alle n.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 ist untere Schranke von [mm](a_n)[/mm]
> (hier auch ohne Induktion?
Ja
FRED
> Und es reicht doch eine untere
> Schranken zu nennen, dass es sich um ein Infimum handelt
> muss doch nicht gezeigt werden oder?)
>
> 1) + 2) [mm]\Rightarrow (a_n)[/mm] konvergent.
>
> Liebe Grüße, kullinarisch
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Das verstehe ich nicht. Das [mm] a_n \ge [/mm] 0 geht doch hervor aus: [mm] a_n^{2} [/mm] < [mm] a_n [/mm] weil [mm] a_n^{2} [/mm] ja immer größer als null ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:06 Di 03.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das verstehe ich nicht. Das [mm]a_n \ge[/mm] 0 geht doch hervor aus:
> [mm]a_n^{2}[/mm] < [mm]a_n[/mm] weil [mm]a_n^{2}[/mm] ja immer größer als null ist.
Du schreibst:
"da $ [mm] (a_n) [/mm] $ monoton fallend, ist $ [mm] (a_n) \le [/mm] $ 0,5 für alle n.
Daher ist $ [mm] a_n^{2} [/mm] $ < $ [mm] a_n [/mm] $"
Du folgerst also aus $ [mm] a_n \le [/mm] $ 0,5 die Ungl. $ [mm] a_n^{2} [/mm] $ < $ [mm] a_n [/mm] $
Nur wenn Du weißt, dass [mm] a_n \ge [/mm] 0 ist, ist die Folgerung O.K.
FRED
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