Konvergenz sin x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo 6p,
> Ist der sin x konvergent?
das ist ein bisschen kraus gefragt. Der [mm] \sin{x} [/mm] ist für [mm] x\to\infty [/mm] natürlich nicht konvergent.
Hier geht es aber um die Reihenentwicklung des Sinus, und die ist für jedes x für [mm] \blue{n}\to\infty [/mm] konvergent.
> Hi, das ist keine Aufgabe sondern eine Frage, die ich mir
> selbst gestellt habe. Laut Skript und laut diverser
> Internetseiten ist der sin x konvergent.
Nein, das ist so falsch. Siehe oben.
> Da aber sin x zwar beschränkt, aber nicht monoton ist, ist
> er also genauso eindeutig divergent wie diese
> Schlussfolgerung falsch ist.
Was untersuchst Du denn nun, die Funktion [mm] \sin{x} [/mm] oder die Reihenentwicklung der Funktion an einer beliebigen, aber festen Stelle [mm] x_0 [/mm] ?
> Aber wieso? Kann ich das
> (beschränkt + monoton -> konvergent)-Kriterium zwar bei
> Folgen, aber nicht bei Reihen verwenden?
Hmm. Ist Dir der Unterschied zwischen Folgen und Reihen klar? Eine Reihe ist nur dann konvergent, wenn die summierte Folge eine Nullfolge ist (das Trivialkriterium). Allerdings ist sie nicht etwa "genau dann" konvergent, sondern es gibt noch eine Reihe weiterer Kriterien.
Wenn Du allerdings Deine Reihe umwandeln kannst in eine Partialsummenfolge, dann kannst Du Dein Kriterium durchaus anwenden.
> Mit dem Quotientenkriterium konnte ich danach dann selbst
> die Konvergenz beweisen. 
>
> [mm]sin x = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> ergo
>
> [mm]q = |\bruch{\bruch{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}}{\bruch{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}}|[/mm]
>
>
> [mm]q =| \bruch{\bruch{\red{x^{2n+1}}x^2}{\green{(2n+1)!}(2n+2)(2n+3)}}{\bruch{\red{x^{2n+1}}}{\green{(2n+1)!}}}|[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |q| = \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{x^2}{(2n+2)(2n+3)}|= 0[/mm][mm]<1[/mm]
> -> absolut konvergent
Nu guck. Jetzt berücksichtigst Du sogar (mit den Betragsstrichen), dass es sich um eine alternierende Reihe handelt.
> PS: ein allgemeines Danke für all die schnellen Antworten
> auf meine anderen Fragen ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
Wie nett. Ernst gemeint.
Grüße
reverend
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