Konvergenz und Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 So 21.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, Leute!
Ich hab da ein Problem bei der *-Aufgabe. Solche Aufgaben mit * sind bei uns schwieriger als sonst, das ist auch der Grund, warum ich nicht weiter komme.
Das ist die Aufgabe:
Seien [mm] a_{0}, a_{1} \in \IR. [/mm] Die Folge [mm] a_{n} [/mm] mit [mm] n\in \IN [/mm] sei rekursiv durch [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{5}a_{n-2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{5}a_{n-1} [/mm] für n [mm] \ge2 [/mm] definiert.
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Wie geht man diese Aufgabe ran? Bitte helft mir! Danke!
Destiny
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Hallo destiny,
nimm dir mal zwei beliebige Startwerte für [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] und zeichne dir am Zahlenstrahl die nächsten paar Folgenglieder auf. Vielleicht geht dir dann schon ein kleines Lichtchen auf, wie du die Konvergenz beweisen kannst.
Wenn das nicht klappt, dann setze erst [mm] a_0 [/mm] gleich Null, dann [mm] a_1 [/mm] gleich Null und versuche in diesen beiden Fällen den Grenzwert zu bestimmen.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 22.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, Hugo!
Hier habe ich versucht, nach deiner Anweisung einen Ansatz zu finden.
Also, ich habe zunächst [mm] a_{0}=0 [/mm] gesetzt, und [mm] a_{1}=1.
[/mm]
Für [mm] a_{2}=0,6
[/mm]
[mm] a_{3}= \bruch{19}{25}
[/mm]
[mm] a_{4}= \bruch{87}{215} [/mm] und so weiter.
Dabei stelle ich fest, dass sich die [mm] a_{n} [/mm] dem Grenzwert 0,7 nähern.
Wähle ich aber [mm] a_{0}=1 [/mm] und [mm] a_{1}=0, [/mm] so nähern sich die [mm] a_{n} [/mm] dem Wert 0,29.
Wie soll ich jetzt weiter machen? Ich blick da nicht so ganz durch.
Wenn ich die Konvergenz dieser Folge zeigen will, reicht es dann, wenn ich zeige, dass sich zwei [mm] a_{n} [/mm] untereinander beliebig nahe kommen, oder reicht das nicht, um die Konvergenz zu zeigen? Ich will zeigen, dass diese Folge eine Cauchy Folge ist. Darf ich dafür überhaupt feste Werte für [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] wählen?
Ich versteh nicht ganz, wie ich den Grenzwert bestimmen soll. Bitte hilf mir!
Danke
Destiny
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Hallo destiny,
du kannst sehr leicht zeigen, dass deine Folge eine Cauchy-Folge ist, denn offensichtlich gilt:
[mm]\forall n>N:min(a_{N-1},a_N)
Wenn du noch zeigen kannst, dass dieses Intervall kleiner als jedes Epsilon wird (das dürfte nicht allzu schwer sein), dann konvergiert die Folge ganz offensichtlich.
Zur Berechnung des Grenzwertes hab ich jetzt keine richtig tolle Idee.
Du könntest versuchen, welche Zahl a bewirkt, dass bei [mm]a_{n-2}=a-\epsilon[/mm] und [mm]a_{n-1}=a+\epsilon[/mm] rauskommt, dass [mm] a_n=a [/mm] ist.
Hugo
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Hallo destiny,
ich gebe zu, mein Vorschlag war nicht sooo produktiv. Hier eine mögliche Lösung.
Es seinen
[mm]m_{01}=\frac{a_1+a_0}{2}[/mm]
[mm]r_{01}=\frac{a_1-a_0}{2}[/mm],
so dass
[mm]a_1=m_{01}+r_{01}[/mm] und
[mm]a_0=m_{01}-r_{01}[/mm]
Diese Zerlegung in Mittelpunkt und gerichteten Radius des Intervalls nehmen wir für alle Indices vor, so dass wir erhalten:
[mm]a_n=\frac{2}{5}a_{n-2}+\frac{3}{5}a_{n-1}=[/mm]
[mm]=m_{(n-2),(n-1)}+\frac{1}{5}r_{(n-2),(n-1)}[/mm]
Damit ergibt sich neu berechnet:
[mm]m_{(n-1),n}=m_{(n-2),(n-1)}+\frac{3}{5}r_{(n-2),(n-1)}[/mm]
[mm]r_{(n-1),n}=-\frac{2}{5}r_{(n-2),(n-1)}[/mm]
Da die einzelnen Folgenglieder gegen den selben Grenzwert gehen müssen wie die Intervallmittelpunkte, bestimmen wir deren Grenzwert:
[mm]\lim_{n\rightarrow\infty}m_{(n-1),n}=[/mm]
[mm]=m_{01}+r_{01}\sum_{i=0}^\infty (-\frac{2}{5})^i=[/mm]
[mm]=\frac{2}{7}a_0+\frac{5}{7}a_1[/mm]
Natürlich steckt zwischen den Zeilen ein gewisser Einsetz- und Umformaufwand, aber ich hoffe, ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen.
Hugo
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