Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 11.01.2009 | | Autor: | borych |
| Aufgabe | | ((6n+5)/(6n-4))^(4n-3) |
Hallo liebes Forum,
Ich muss diese Folge auf Konvergenz untersuchen und ggnfalls den Grenzwert bestimmen. Leider habe ich so eine Folge noch nie gehabt und habe überhaupt keine Ahnung wie ich beginnen soll. Über einen Lösungsansatz wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank im Voraus
MFG
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Hallo borych,
also ich nehme an die Aufgabe sollte so heißen: [mm] (\bruch{6n+5}{6n-4})^{4n-3}
[/mm]
[mm] (\bruch{6n+5}{6n-4})^{4n-3}=\bruch{(6n+5)^{4n-3}}{(6n-4)^{4n-3}}
[/mm]
Du müsstest schon gelernt haben, dass beim Grenzwertprozess nur die Zahlen mit den höhsten Exponenten entscheiden.
Der größte Exponent entsteht, wenn du 6n (4n-3) mal mit sich selbst multipliziertst. Da kommt dann sowohl oben als unten [mm] 6n^{4n-3} [/mm] raus. Nun stell dir vor, du klammerst [mm] n^{4n-3} [/mm] aus, dann kommst du auf?
lg Kai
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Hallo Kai,
> Hallo borych,
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> also ich nehme an die Aufgabe sollte so heißen:
> [mm](\bruch{6n+5}{6n-4})^{4n-3}[/mm]
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> [mm](\bruch{6n+5}{6n-4})^{4n-3}=\bruch{(6n+5)^{4n-3}}{(6n-4)^{4n-3}}[/mm]
>
> Du müsstest schon gelernt haben, dass beim Grenzwertprozess
> nur die Zahlen mit den höhsten Exponenten entscheiden.
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> Der größte Exponent entsteht, wenn du 6n (4n-3) mal mit
> sich selbst multipliziertst. Da kommt dann sowohl oben als
> unten [mm]6n^{4n-3}[/mm] raus. Nun stell dir vor, du klammerst
> [mm]n^{4n-3}[/mm] aus, dann kommst du auf?
>
Das klappt so nicht, bedenke, dass [mm] $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] gegen $e^$ konvergiert für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
> lg Kai
>
LG
schachuzipus
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Ja, das weiß ich auch, und habs auch bedacht, aber da diese Aufgabe aus der Schule kommt (jedenfalls nach Profil) kann man sicher nicht viel damit anfangen, wenn ich schreibe:
[mm] (\bruch{6n-4+9}{6n-4})^{4n-3}=(1+\bruch{9}{6n-4})^{4n-3}=(1+\bruch{9}{6n-4})^{6n-4}*(1+\bruch{9}{6n-4})^{-(2n-1)}=\bruch{(1+\bruch{9}{6n-4})^{6n-4}}{(1+\bruch{9}{6n-4})^{(2n-1)}} \to \bruch{e^{9}}{(***)}, [/mm] ehrlich gesagt weiß ich dann ab hier nicht recht weiter...
zum (***) fällt mir da nur das Quetschlemma ein:
[mm] 1+\bruch{9}{6n-4})^{(2n-1)}<1+\bruch{9}{6n-4})^{(6n-4)} \to e^{9}
[/mm]
[mm] 1+\bruch{9}{6n-4})^{(2n-1)}>??? [/mm]
Ich denke aber, es geht auch gegen [mm] e^{9}, [/mm] und damit insgesammt gegen 1, und damit wäre mein Ansatz auch nicht so falsch gewesen, und eben noch auf Schulniveau...
lg Kai
Ich entschuldige mich, wenn ich was übersehen hab und hier mein Post fehlerhaft war.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo borych,
mir ist hier nicht leichteres eingefallen, als mittels Potenzgesetzen wild umzuformen, um auf die bekannte "e-Folge" hinzukommen
Es ist ja $e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$
Das kann man hier benutzen
$\left(\frac{6n+5}{6n-4}\right)^{4n-3}=\left(\frac{6n-4+9}{6n-4}\right)^{4n-3}=\left(1+\frac{9}{6n-4}\right)^{4n-3}=\left(1+\frac{9}{2(3n-2)}\right)^{4n-3}=\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{3n-2}\right)^{4n-3}$
Nun den Exponenten "anpassen", um auf die obige Form für die e-Funktion zu kommen
$=\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{3n-2}\right)^{4n-3\red{-n+1+n-1}}$
$=\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{3n-2}\right)^{3n-2}\cdot{}\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{3n-2}\right)^{n-1}$
$=\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{3n-2}\right)^{3n-2}\cdot{}\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{3\left(n-\frac{2}{3}\right)}\right)^{n-1}$
$=\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{3n-2}\right)^{3n-2}\cdot{}\left(1+\frac{\frac{1}{3}\cdot{}\frac{9}{2}}{n-\frac{2}{3}}\right)^{n-1}$
$=\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{3n-2}\right)^{3n-2}\cdot{}\left(1+\frac{\frac{3}{2}}{n-\frac{2}{3}}\right)^{n-1\red{+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}$
$=\left(1+\frac{\frac{9}{2}}{3n-2}\right)^{3n-2}\cdot{}\left(1+\frac{\frac{3}{2}}{n-\frac{2}{3}}\right)^{n-\frac{2}{3}}\cdot{}\left(1+\frac{\frac{3}{2}}{n-\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{3}}$
Die ersten beiden Klammern sind nun in der "e-Form", die letze Klammer strebt für $n\to\infty$ gegen 1
Also insgesamt: $\longrightarrow e^{\frac{9}{2}}\cdot{}e^{\frac{3}{2}}\cdot{}1=e^{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}}=e^6$ für $n\to\infty$
Das geht bestimmt auch irgendwie einfacher, aber das war meine spontane Idee 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 So 11.01.2009 | | Autor: | borych |
Hallo ihr beiden,
Erstmal danke ich für die schnelle Hilfe. Ich muss mich entschuldigen, da mein Profil nicht aktuell war, was den Mathe-Background betrifft. Ich bin an einer Fachhochschule, somit sagt mir die e-Form was. Ich habe dass nun auch soweit verstanden. Mir war nur der Ansatz nicht klar, aber nun ist alles gut.
Vielen Dank nochmal
Viele Grüße
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