Konvergenz und Grenzwerte < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. die Grenzwerte.
a) [mm] a_n [/mm] := [mm] sin\bruch{n\pi}{10}
[/mm]
b) [mm] b_n [/mm] := [mm] n^{-2}\summe_{k=1}^{n}k
[/mm]
c) [mm] c_n [/mm] := [mm] \wurzel{n^4+n^2+1}-n-1 [/mm] |
Hallo, ich hab leider keine Ahnung von diesen ganzen Konvergenz-Sachen und bräuchte mal eure Hilfen bei dieser Aufgabe.
Also bei der a) denke ich mal, dass das nicht konvergiert, weil sin nicht konvergiert, aber wie zeige ich das?
Bei der b) hab ich folgendes gemacht:
[mm] n^{-2}\summe_{k=1}^{n}k [/mm] = [mm] n^{-2}*\left(\bruch{n(n+1)}{2}\right) [/mm] = [mm] n^{-2}*\left(\bruch{n^2+n}{2}\right) [/mm] = [mm] \bruch{n^{-2}*(n^2+n)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n^{0}+n^{-1}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1+\bruch{1}{n}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1+0}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
reicht das so, oder muss man noch da noch mehr zu schreiben? bzw. stimmt das überhaupt?
Zu c)
[mm] \wurzel{n^4+n^2+1}-n-1 [/mm] multipliziert mit [mm] \bruch{\wurzel{n^4+n^2+1}+n+1}{\wurzel{n^4+n^2+1}+n+1} [/mm] ergibt
[mm] \bruch{(n^4+n^2+1)-n^4-2n^2-1}{\wurzel{n^4+n^2+1}+n+1} [/mm] = [mm] -\bruch{n^2}{\wurzel{n^4+n^2+1}+n+1} [/mm] jetzt durch [mm] n^2 [/mm] kürzen ergibt
- [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n^4}}+1+\bruch{1}{n^2}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{1+0+0}+1+0} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{1}+1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Auch hier wieder die gleichen Fragen wie bei b)
Ich sag schon mal besten Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) was soll das heissen sin konvergiert nicht die Folge sin(x/n) konvergiert!
die Folge [mm] sin(2n*\pi) [/mm] auch.
Du musst schon genauer sagen für n gerade, für durch 10 teilbar , für n nicht durch 10 aber durch 5 teilbar usw.
zu b) im Prinzip richtig, aber deine = Zeichen sind falsch!
$ [mm] \bruch{1+\bruch{1}{n}}{2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1+0}{2} [/mm] $ kann man nicht schreiben wenn nicht [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] davor steht.
in c) hast du nen Rechenfehler, [mm] (n+1)^2=n^2+2n+1 [/mm] keinerlei [mm] n^4!
[/mm]
Da die wurzel > als [mm] n^2 [/mm] ist ist auch einfach zu sehen, dass das divergiert, weil [mm] n^2-n-1 [/mm] divergiert!
Gruss leduart
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Hallo, danke für die Antwort und entschuldige mein Unwissen, hab quasi grad erst angefangen mit diesen ganzen Konvergenz-Geschichten. Also bei a) versteh ich leider immernoch nicht wie ich sowas aufschreiben soll, also für gerade n würde das konvergieren und für ungerade n nicht. Aber was mach ich mit der 10?
Bei der c) ist mir ein schwerwiegender Fehler unterlaufen, ich hab bei der Aufgabe ein [mm] n^2 [/mm] vergessen, richtig müsste es heissen:
[mm] c_n:= \wurzel{n^4+n^2+1}-n^2-1, [/mm] dann das ganze multipliziert mit [mm] \bruch{\wurzel{n^4+n^2+1}+n^2+1}{\wurzel{n^4+n^2+1}+n^2+1}
[/mm]
ergibt [mm] \bruch{n^4+n^2+1-n^4-2n^2-1}{\wurzel{n^4+n^2+1}+n^2+1} [/mm] = [mm] -\bruch{n^2}{\wurzel{n^4+n^2+1}+n^2+1} [/mm] dann kürzen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n^4}}+1+\bruch{1}{n^2}} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{1+0+0}+1+0} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Ich hoffe jetzt stimmts, sorry
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
c) ist damit richtig.
zu a: für jedes durch 10 teilbare n ist sin..=0 für jedes ungerade ,durch 5 teilbare n ist es 1 oder -1, für andere Werte dazwischen wieder andere Werte. d.h. die Folge alterniert zwischen mehreren Werten auch für beliebig große n, d,h, sie konvergiert nicht.
(dafür reicht auch dass sie sicher immer wieder 0 und 1 erreicht!)
Gruss leduart
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