Konvergenz uneig. Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 15.04.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende uneigentlichen Integrale auf Konvergenz:
a) $ [mm] \integral_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} [/mm] (k [mm] \in \[0,1\[)$
[/mm]
b) $ [mm] \integral_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x^2)^s} \mbox{für} [/mm] s > 0$
c) $ [mm] \integral_{0}^{1} \ln(\sin(x)) [/mm] dx $
d) $ [mm] \integral_{0}^{1} \sin(x^2) [/mm] dx $
e) $ [mm] \integral_{0}^{1} \frac{dx}{ln(x)} [/mm] $
f) $ [mm] \integral_{0}^{1} \sin(\frac{1}{x}) [/mm] dx $
g) $ [mm] \integral_{0}^{1} \frac{1}{\arcsin(x)} [/mm] dx $ |
Hallo,
komme hier nicht so richtig weiter. Ich habe versucht mit dem Majorantenkriterium und dem Grenzwertkriterium zu arbeiten, welche wir diese Woche in der Vorlesung kennengelernt haben. Gelungen ist mir das jedoch nur bei Teilaufgabe e)
e) $ [mm] \integral_{0}^{1} \frac{dx}{ln(x)} [/mm] $
Es gilt [mm] $\frac{1}{\ln(x)} \leq \frac{1}{x}$ [/mm] und [mm] $\integral_{0}^{1} \frac{1}{x} [/mm] dx$ ist divergent [mm] $\Rightarrow$ \integral_{0}^{1} \frac{dx}{\ln(x)} [/mm] ist divergent.
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich an die anderen Integrale herangehen kann?
Gruss
jboss
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Hallo,
> Untersuchen Sie folgende uneigentlichen Integrale auf
> Konvergenz:
>
> a) [mm]\integral_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}} (k \in \[0,1\[)[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x^2)^s} \mbox{für} s > 0[/mm]
>
> c) [mm]\integral_{0}^{1} \ln(\sin(x)) dx[/mm]
> d) [mm]\integral_{0}^{1} \sin(x^2) dx[/mm]
>
> e) [mm]\integral_{0}^{1} \frac{dx}{ln(x)}[/mm]
> f) [mm]\integral_{0}^{1} \sin(\frac{1}{x}) dx[/mm]
>
> g) [mm]\integral_{0}^{1} \frac{1}{\arcsin(x)} dx[/mm]
> Hallo,
> komme hier nicht so richtig weiter. Ich habe versucht mit
> dem Majorantenkriterium und dem Grenzwertkriterium zu
> arbeiten, welche wir diese Woche in der Vorlesung
> kennengelernt haben. Gelungen ist mir das jedoch nur bei
> Teilaufgabe e)
>
> e) [mm]\integral_{0}^{1} \frac{dx}{ln(x)}[/mm]
>
> Es gilt [mm]\frac{1}{\ln(x)} \leq \frac{1}{x}[/mm] und
> [mm]\integral_{0}^{1} \frac{1}{x} dx[/mm] ist divergent [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{1} \frac{dx}{\ln(x)}[/mm] ist divergent.
Das ist doch schonmal nicht schlecht. In der Tat divergiert das integral. Du kannst den logarithmus nicht an die null heran integrieren.
> Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich an die anderen
> Integrale herangehen kann?
Wie sehen denn deine Überlegungen zu den anderen Integralen aus ?
> Gruss
> jboss
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Fr 16.04.2010 | | Autor: | jboss |
Hi eXeQteR,
zu den anderen Integralen finde ich einfach keine gescheiten Ansätze. Setze ich bei b) z.B. den Paramter [mm] $s=\bruch{1}{2}$, [/mm] so erhalte ich [mm] $\integral_{0}^{1} \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}dx [/mm] = [mm] \limes_{c \rightarrow 1} \integral_{0}^{c} \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}dx= \limes_{c \rightarrow 1} \left[\arcsin(x)\right]_0^c [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}$
[/mm]
Wie treffe ich aber eine Aussage für $s [mm] \not= \bruch{1}{2}$
[/mm]
Kannst du mit ein paar Tipps zu den anderen Integralen geben?
Gruss Jakob
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Fr 16.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jakob!
> Hi eXeQteR,
> zu den anderen Integralen finde ich einfach keine
> gescheiten Ansätze. Setze ich bei b) z.B. den Paramter
> [mm]s=\bruch{1}{2}[/mm], so erhalte ich [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}dx = \limes_{c \rightarrow 1} \integral_{0}^{c} \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}dx= \limes_{c \rightarrow 1} \left[\arcsin(x)\right]_0^c = \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Wie treffe ich aber eine Aussage für [mm]s \not= \bruch{1}{2}[/mm]
Für $0<s < [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] kannst du den Integranden durch den des gerade berechneten Integrals nach oben abschätzen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo jboss,
> Untersuchen Sie folgende uneigentlichen Integrale auf
> Konvergenz:
>
> d) [mm]\integral_{0}^{1} \sin(x^2) dx[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist doch kein uneigentliches Integral, Sinus ist beschränkt, das Argument $x^2$ verhält sich auf $[0,1]$ auch nett, also ...
Meintest du vllt. $\int\limits_{0}^{1}{\sin\left(\frac{1}{x^2\right) \ dx}$ ?
Eine Idee zu f) (auch auf die Gefahr hin, daneben zu liegen)
$\int\limits_{0}^{1}{\sin\left(\frac{1}{x}\right) \ dx}$
Substituiere $z=\frac{1}{x}$
Damit $dx=-\frac{1}{z^2} \ dz$
$x=0\Rightarrow z=\infty$ und $x=1\Rightarrow z=1$
Also $\int\limits_{\infty}^{1}{-\frac{\sin(z)}{z^2} \ dz}$
Betrachte mal das vorzeichenfreie Integral $\int\limits_{\infty}^{1}{\frac{\sin(z)}{z^2} \ dz}$
Nun ist wegen der Grenzen $z\ge 1$, also auch $z^2\ge 1$
Also $\frac{1}{z^2}\le 1$
Damit $\int\limits_{\infty}^{1}{\frac{\sin(z)}{z^2} \ dz} \ \le \ \int\limits_{\infty}^{1}{\sin(z) \ dz}$
Was ergibt sich für das Integral? Endlich oder nicht?
Ohne Gewähr 
LG
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:13 So 18.04.2010 | | Autor: | jboss |
Hallo schachuzipus,
> Hallo jboss,
>
> > Untersuchen Sie folgende uneigentlichen Integrale auf
> > Konvergenz:
> >
> > d) [mm]\integral_{0}^{1} \sin(x^2) dx[/mm]
>
> Das ist doch kein uneigentliches Integral, Sinus ist
> beschränkt, das Argument [mm]x^2[/mm] verhält sich auf [mm][0,1][/mm] auch
> nett, also ...
>
> Meintest du vllt.
> [mm]\int\limits_{0}^{1}{\sin\left(\frac{1}{x^2\right) \ dx}[/mm] ?
Oh ja, mein Fehler. Gemeint ist [mm]\integral_{0}^{\infty} \sin(x^2) dx[/mm]
> Eine Idee zu f) (auch auf die Gefahr hin, daneben zu
> liegen)
>
> [mm]\int\limits_{0}^{1}{\sin\left(\frac{1}{x}\right) \ dx}[/mm]
>
> Substituiere [mm]z=\frac{1}{x}[/mm]
>
> Damit [mm]dx=-\frac{1}{z^2} \ dz[/mm]
>
> [mm]x=0\Rightarrow z=\infty[/mm] und [mm]x=1\Rightarrow z=1[/mm]
>
> Also [mm]\int\limits_{\infty}^{1}{-\frac{\sin(z)}{z^2} \ dz}[/mm]
Danke schachuzipus. Auf diese Substitution hätte ich auch selber kommen müssen.
Wie wäre es wenn ich wie folgt weitermache:
[mm] $\integral_{\infty}^{1} [/mm] - [mm] \bruch{\sin(z)}{z^2} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\infty} \bruch{\sin(z)}{z^2}$
[/mm]
Nun ist [mm] $\left|\sin(z)\right| \leq [/mm] 1$ und damit [mm] $\left| \bruch{\sin(z)}{z^2} \right| \leq \bruch{1}{z^2} \right$. [/mm] Somit ist [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] eine Majorante.
Viele Grüsse und besten Dank für deine Hilfe
jboss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Di 20.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo jboss,
> Untersuchen Sie folgende uneigentlichen Integrale auf
> Konvergenz:
> c) [mm]\integral_{0}^{1} \ln(\sin(x)) dx[/mm]
Für [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] ist [mm] $\sin(x)\le [/mm] x$
Außerdem ist [mm] $\ln$ [/mm] eine (streng) monoton steigende Fkt. also
[mm] $\int\limits_{0}^{1}{\ln(\sin(x)) \ dx} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \int\limits_{0}^{1}{\ln(x) \ dx}$
[/mm]
Das Integral [mm] $\int{\ln(x) \ dx}$ [/mm] kannst du explizit ausrechnen.
Dann setze als untere Grenze ein festes $0<M<1$ und mache anschließend den Grenzübergang [mm] $M\to [/mm] 0$
De l'Hôpital hilft da weiter ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 18.04.2010 | | Autor: | jboss |
Hallo schachuzipus,
also es ist dann mit deinem Ansatz:
[mm] $\integral_{0}^{1} [/mm] ln(sin(x)) dx [mm] \leq \integral_{0}^{1} [/mm] ln(x) dx = [mm] \limes_{c \rightarrow 0} \integral_c^{1} [/mm] ln(x) dx = [mm] \limes_{c \rightarrow 0} \left[ ln(x)*x - x \right]^{1}_{c} [/mm] = -1 - [mm] \limes_{c \rightarrow 0} [/mm] ln(c)*c - c [mm] \longrightarrow [/mm] -1$
Das sieht doch ganz gut aus oder?
> Dann setze als untere Grenze ein festes [mm]0
> anschließend den Grenzübergang [mm]M\to 0[/mm]
>
> De l'Hôpital hilft da weiter ...
Wo soll ich denn da mit De l'Hôpital ansetzen? Etwa bei der Grenzwertbestimmung von $ln(c)*c$ für $c [mm] \rightarrow [/mm] 0$
[mm] $\limes_{c \rightarrow 0} [/mm] ln(c)*c = [mm] \limes_{c \rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{c}}{-\bruch{1}{c^2}} [/mm] = [mm] \limes_{c \rightarrow 0} [/mm] -c [mm] \longrightarrow [/mm] 0$
Gruss
Jakob
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Hallo Jakob!
> also es ist dann mit deinem Ansatz:
> [mm]\integral_{0}^{1} ln(sin(x)) dx \leq \integral_{0}^{1} ln(x) dx = \limes_{c \rightarrow 0} \integral_c^{1} ln(x) dx = \limes_{c \rightarrow 0} \left[ ln(x)*x - x \right]^{1}_{c} = -1 - \limes_{c \rightarrow 0} ln(c)*c - c \longrightarrow -1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wo soll ich denn da mit De l'Hôpital ansetzen? Etwa bei
> der Grenzwertbestimmung von [mm]ln(c)*c[/mm] für [mm]c \rightarrow 0[/mm]
>
> [mm]\limes_{c \rightarrow 0} ln(c)*c = \limes_{c \rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{c}}{-\bruch{1}{c^2}} = \limes_{c \rightarrow 0} -c \longrightarrow 0[/mm]
Genau so!
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Chrispp |
Deine Abschätzung für das Integral über 1/ln x bei e) müsste doch 1/ln x >= 1/x lauten, wenn du Divergenz nachweisen möchtest.
Das meines Wissens aber auch nicht so ohne weiteres , weil das Minorantenkriterium nur für positive Funktionen f(x) und g(x) gilt.
Und das ist bei ln x zwischen 0 uns 1 ja nicht der Fall.
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