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| Aufgabe | | Konvergiert die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{\wurzel{i+1}}) [/mm] |
Moin, also ich habe eher ein generelles Problem mit den unendlichen Reihen, bzw. mit derren Konvergenz. Hier mal meine Idee.
Die Reihe besitzt nur nicht-negative Terme. Ich möchte nun zeigen, dass die Folge der Partialsummen nach oben beschränkt ist.
Dazu zeige ich, dass [mm] \bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{\wurzel{i+1}} \rightarrow [/mm] 0 für [mm] i\rightarrow\infty.
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{\wurzel{i+1}} [/mm] = 1- [mm] \bruch{\wurzel(i)}{\wurzel(i+1)}
[/mm]
Und nun komme ich nicht weiter. Ich weiss nicht wie ich zeigen soll, dass der Bruch gegen 1 strebt.
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Hallo carlosfritz!
Erweitere Deinen Bruchterm mit [mm] $\left( \ \wurzel{i+1} \ \red{+} \ \wurzel{i} \ \right)$ [/mm] und fasse zusammen.
Anschließend kann man gegen die harmonische Reihe abschätzen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
wie du die Divergenz deiner Reihe zeigen kannst, hat Roadrunner dir gesagt, aber zu deiner Frage noch eine Anmerkung:
> Konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{\wurzel{i+1}})[/mm]
> Moin, also ich habe eher ein generelles Problem mit den
> unendlichen Reihen, bzw. mit derren Konvergenz. Hier mal
> meine Idee.
>
> Die Reihe besitzt nur nicht-negative Terme. Ich möchte nun
> zeigen, dass die Folge der Partialsummen nach oben
> beschränkt ist.
>
> Dazu zeige ich, dass
> [mm]\bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{\wurzel{i+1}} \rightarrow[/mm] 0
> für [mm]i\rightarrow\infty.[/mm]
>
> [mm]\bruch{\wurzel{i+1}-\wurzel{i}}{\wurzel{i+1}}[/mm] = 1-
> [mm]\bruch{\wurzel(i)}{\wurzel(i+1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Und nun komme ich nicht weiter. Ich weiss nicht wie ich
> zeigen soll, dass der Bruch gegen 1 strebt.
Klammere im Nenner unter der Wurzel i aus:
$=1-\frac{\sqrt{i}}{\sqrt{i\cdot{}\left(1+\frac{1}{i}\right)}}=1-\frac{\sqrt{i}}{\sqrt{i}\cdot{}\sqrt{1+\frac{1}{i}}}=1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{i}}$
Und das strebt nun für $i\to\infty$ gegen $1-\frac{1}{\sqrt{1-0}}=1-1=0$
Damit ist aber lediglich das Trivialkriterium erfüllt, die Folge der Reihenglieder bildet eine Nullfolge.
Damit kann die Reihe konvergieren, muss es aber noch lange nicht, wie Roadrunners Hinweis zeigt.
Gruß
schachuzipus
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Zunächst mal Danke ihr Beiden.
Aber ich fürchte ich verstehe nicht ganz wie ich das mit der harmonischen Reihe machen soll.
Ich bin nun wie folgt vorgegangen.
(Grundloserweise habe ich i gegen n ausgetauscht)
[mm] \bruch{1}{n+1+\wurzel(n(n+1))} \ge \bruch{1}{2n+2} \ge \bruch{1}{2n+2+n-1} \ge \bruch{1}{3n+1} [/mm] [für [mm] n\ge1]
[/mm]
Und dann kann ich mit [mm] \summe_{k=3n+1}^{4n}\bruch{1}{k} [/mm] = 0.25 [für [mm] n\ge [/mm] 1] zeigen, dass es [mm] \epsilon [/mm] nicht kleiner als 0.25 gewählt werden kann...
so ähnlich haben wir es im Skript zur harmonischen Reihe, aber warum ist dadurch das Cauchy Kriterium nicht erfüllt? Weil es für [für [mm] n\ge [/mm] 1] gilt?!
Müsste ich in die Abschätzung oben noch immer ein [mm] \summe_{k=3n+1}^{4n} [/mm] einfügen?
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Hallo nochmal,
das sieht mir reichlich umständlich aus, mal ganz abgesehen von der obskuren Einführung der neuen Laufvariablen k ...
Schätze doch großzügig nach unten ab: (den Nenner vergrößern)
[mm] $\frac{1}{n+\blue{1}+\sqrt{n^2+n}}\ge\frac{1}{n+\blue{n}+\sqrt{n^2+\red{n}}}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm] $>\frac{1}{2n+\sqrt{n^2+\red{3n^2}}}$ [/mm] ebenfalls für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4n}$
[/mm]
Wenn du's nun ganz genau haben willst und den Index $i=0$ berücksichtigen möchtest, ziehe diesen Summanden aus der Summe und mache dann die Abschätzung:
Die Herausnahme oder das Hinzufügen von endlich vielen Summanden aus einer (unendlichen) Reihe ändert ja am Konvergenzverhalten nichts, denn diese endliche Summe hat ja einen endlichen Wert ...
(Es verändert wohl aber den Reihenwert)
Also [mm] $\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{\sqrt{i+1}-\sqrt{i}}{\sqrt{i+1}}=1+\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{\sqrt{i+1}-\sqrt{i}}{\sqrt{i}} [/mm] \ > \ [mm] 1+\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{4i}$ [/mm] nach der obigen Abschätzung
[mm] $=1+\frac{1}{4}\cdot{}\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}$
[/mm]
Damit hast du deine divergente Minorante und deine Ausgangsreihe ist als größere Reihe dann natürlich auch divergent
Gruß
schachuzipus
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Okay, das mit der Minorante hatten wir zwar noch nicht, aber ich hab mir das mal zu Recht gelegt. Ich danke
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