Konvergenz v. Funktionenfolgen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Di 01.05.2012 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Untersuche die folgende Funktionenfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz (n [mm] \in \IN):
[/mm]
[mm] f_{n}: [/mm] [0,2012] [mm] \to \IR, f_{n}:=sin(\bruch{x}{n}). [/mm] |
Ok, eigentlich komme ich mit den beiden Begriffen gut klar, nur ich weiß nicht ob die Art und Weise wie ich es zeige korrekt ist.
Also: Punktweise Konvergenz: Hier ist mein x fest und mein n variabel. Ich schaue mir also eine Funktion an die so definiert ist ist:
f(x) := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)
[/mm]
In meinem Fall ist [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] sin(\bruch{x}{n})
[/mm]
Somit: f(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{n}*x)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] = 0 für n [mm] \to \infty [/mm] und da x konstant gilt:
f(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{n}*x) [/mm] = 0
Somit ist die punktweise Konvergenz gezeigt.
Jetzt die glm. Konvergenz. Hierbei muss gelten, dass
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 gilt: [mm] |f(x)-f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Also:
[mm] |0-sin(\bruch{x}{n})| [/mm] = [mm] sin(\bruch{x}{n})
[/mm]
Für x=0 gilt offensichtlich:
[mm] sin(\bruch{0}{n}) [/mm] = 0
Und für alle anderen x [mm] \in [/mm] (0,2012] gilt [mm] sin(\bruch{0}{n}) [/mm] = 0 für ausreichend große n.
Somit ist auch glm. Konvergenz gezeigt.
Kann man das so machen? Oder ist es falsch oder zu unsauber?
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Di 01.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche die folgende Funktionenfolge auf punktweise und
> gleichmäßige Konvergenz (n [mm]\in \IN):[/mm]
>
> [mm]f_{n}:[/mm] [0,2012] [mm]\to \IR, f_{n}:=sin(\bruch{x}{n}).[/mm]
> Ok,
> eigentlich komme ich mit den beiden Begriffen gut klar, nur
> ich weiß nicht ob die Art und Weise wie ich es zeige
> korrekt ist.
>
> Also: Punktweise Konvergenz: Hier ist mein x fest und mein
> n variabel. Ich schaue mir also eine Funktion an die so
> definiert ist ist:
>
> f(x) := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm]
>
> In meinem Fall ist [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]sin(\bruch{x}{n})[/mm]
>
> Somit: f(x)= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{n}*x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] = 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
So kannst Du das nicht schreiben ! Sondern:
[mm]\bruch{1}{n}[/mm] [mm] \to [/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
> und da x konstant gilt:
>
> f(x)= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{n}*x)[/mm] = 0
>
> Somit ist die punktweise Konvergenz gezeigt.
O.K.
>
> Jetzt die glm. Konvergenz. Hierbei muss gelten, dass
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 gilt: [mm]|f(x)-f_{n}(x)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
Für welche n ? und welche x ?
>
> Also:
> [mm]|0-sin(\bruch{x}{n})|[/mm] = [mm]sin(\bruch{x}{n})[/mm]
>
> Für x=0 gilt offensichtlich:
> [mm]sin(\bruch{0}{n})[/mm] = 0
> Und für alle anderen x [mm]\in[/mm] (0,2012] gilt
> [mm]sin(\bruch{0}{n})[/mm] = 0 für ausreichend große n.
Das ist doch Unsinn !
>
> Somit ist auch glm. Konvergenz gezeigt.
Nein.
>
>
> Kann man das so machen?
Nein.
> Oder ist es falsch oder zu
> unsauber?
Beides.
Es gilt: |sin(t)| [mm] \le [/mm] |t| für alle t, also:
$ |sin(x/n) [mm] \le [/mm] |x/n| [mm] \le [/mm] 2012/n$ für x [mm] \in [/mm] [0,2012]
FRED
>
> Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:17 Di 01.05.2012 | | Autor: | Calculu |
> > Untersuche die folgende Funktionenfolge auf punktweise und
> > gleichmäßige Konvergenz (n [mm]\in \IN):[/mm]
> >
> > [mm]f_{n}:[/mm] [0,2012] [mm]\to \IR, f_{n}:=sin(\bruch{x}{n}).[/mm]
> >
> Ok,
> > eigentlich komme ich mit den beiden Begriffen gut klar, nur
> > ich weiß nicht ob die Art und Weise wie ich es zeige
> > korrekt ist.
> >
> > Also: Punktweise Konvergenz: Hier ist mein x fest und mein
> > n variabel. Ich schaue mir also eine Funktion an die so
> > definiert ist ist:
> >
> > f(x) := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)[/mm]
> >
> > In meinem Fall ist [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]sin(\bruch{x}{n})[/mm]
> >
> > Somit: f(x)= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{n}*x)[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] = 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> So kannst Du das nicht schreiben ! Sondern:
>
>
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] [mm]\to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty[/mm]
>
Ok.
> > und da x konstant gilt:
> >
> > f(x)= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{n}*x)[/mm] = 0
> >
> > Somit ist die punktweise Konvergenz gezeigt.
>
> O.K.
>
>
> >
> > Jetzt die glm. Konvergenz. Hierbei muss gelten, dass
> > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 gilt: [mm]|f(x)-f_{n}(x)|[/mm] <
> > [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> Für welche n ? und welche x ?
Für x [mm] \in [/mm] [0,2012] und n [mm] \in [/mm] IN
>
>
> >
> > Also:
> > [mm]|0-sin(\bruch{x}{n})|[/mm] = [mm]sin(\bruch{x}{n})[/mm]
> >
> > Für x=0 gilt offensichtlich:
> > [mm]sin(\bruch{0}{n})[/mm] = 0
> > Und für alle anderen x [mm]\in[/mm] (0,2012] gilt
> > [mm]sin(\bruch{0}{n})[/mm] = 0 für ausreichend große n.
>
> Das ist doch Unsinn !
Natürlich ist das Unsinn. Dan hat sich der Copy and Paste Fehler eingeschlichen.
Es sollte heißen:
Und für alle anderen x [mm] \in [/mm] (0,2012] gilt [mm] sin(\bruch{x}{n}) [/mm] = 0 für ausreichend große n.
>
> >
> > Somit ist auch glm. Konvergenz gezeigt.
>
> Nein.
>
>
> >
> >
> > Kann man das so machen?
>
>
> Nein.
>
> > Oder ist es falsch oder zu
> > unsauber?
>
> Beides.
>
>
> Es gilt: |sin(t)| [mm]\le[/mm] |t| für alle t, also:
>
> [mm]|sin(x/n) \le |x/n| \le 2012/n[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0,2012]
Ok, das kann ich nachvollziehen. Und wenn x [mm] \to \infty [/mm] exist. offensichtlich ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit |sin(x/n) [mm] \le [/mm] |x/n| [mm] \le [/mm] 2012/n [mm] \le \varepsilon
[/mm]
Reicht das dann?
>
>
> FRED
>
>
> >
> > Viele Grüße
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 03.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
