Konvergenz von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und
geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an:
I.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} [/mm] |
Guten Abend,
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=510418
Jedoch habe ich keine Antwort bekommen.
Mein Ansatz:
[mm] \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} [/mm] = [mm] \frac{n^2(3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2})}{n^2(-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2})} [/mm] = [mm] \frac{3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2}}{-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2}}{-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2}} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{9} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
Für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] n_0 \in \mathbb [/mm] N mit
| [mm] a_n [/mm] - a| = | [mm] \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} [/mm] + [mm] \frac{1}{3} [/mm] |< [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \geq n_0
[/mm]
| [mm] \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} [/mm] + [mm] \frac{1}{3} [/mm] | = | [mm] \frac{3(3n^2-5n+7)}{3(-9n^2+6n-3)} [/mm] + [mm] \frac{-9n^2+6n-3}{3(-9n^2+6n-3)} [/mm] |
= [mm] |\frac{9n^2-15n+21}{-27n^2+18n-9} [/mm] + [mm] \frac{-9n^2+6n-3}{-27n^2+18n-9} [/mm] |= [mm] |\frac{-9n+18}{-27n^2+18n-9}| [/mm]
[mm] |\frac{-9n+18}{-27n^2+18n-9}| [/mm] < [mm] \frac{-9n}{-27n^2}= \frac{1}{3n}
[/mm]
Damit gilt
| [mm] a_n [/mm] - a| = | [mm] \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} [/mm] + [mm] \frac{1}{3} [/mm] | < [mm] \frac{1}{3n} \leq \frac{1}{3n_0} [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \geq n_0
[/mm]
q.e.d.
Ist das alles so richtig?
Also kann man das genau so in einer Prüfung schreiben, um alle Punkte zu erreichen?
Vor allem bei der Abschätzung bin ich mir nicht sicher, da ich das noch nie gemacht habe.
Vielen Dank für jede Hilfe.
mfg Lisa :)
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Hallo schachuzipus und vielen lieben Dank für deine Hilfe :)
> Wunderbar. Damit bist du fertig! Aufgabe gelöst und
> vollst. bearbeitet!
Super, das freut mich :)
> [mm] |\frac{-9n+18}{-27n^2+18n-9}|
[/mm]
>
> Hier kannst du noch 3 kürzen
[mm]|\frac{-9n+18}{-27n^2+18n-9}| [/mm] = [mm] |\frac{-3n+6}{-9n^2+6n-3}|
[/mm]
> [mm] |\frac{-9n+18}{-27n^2+18n-9}| [/mm] < [mm] |\bruch{-9n}{-27n^2}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{3n} [/mm]
> Begründe mal die Abschätzung!
Ich merke, dass das blöd war. Ich habe den Zähler verkleinert und den Nenner auch, oder?
> Es ist doch
> [mm]\left|\frac{-9n+18}{-27n^2+18n-9}\right|=\left|\frac{9n-18}{27n^2-18n+9}\right|[/mm]
>
> Für welche [mm]n[/mm] ist der Zähler [mm]>0[/mm], für welche der Nenner?
Der Zähler ist > 0 für n > 2.
Der Nenner ist für jedes beliebige n > 0.
Kannst du mir bitte erklären, warum uns das interessiert?
> Dann kannst du die Beträge weglassen und weiter
> abschätzen, indem du den Zähler vergrößerst und den
> Nenner verkleinerst ...
>
> Damit wird der Bruch insgesamt größer.
[mm]|\frac{3n-6}{9n^2-6n+3}| = \frac{3n-6}{9n^2-6n+3} < \bruch{3n}{-6n} = -\bruch{1}{3}[/mm]
Bei dem Zähler bin ich mir sicher, wenn ich -6 weglasse wird der Zähler größer.
Beim Nenner bin ich mir nicht mehr ganz sicher. Wenn ich +3 weglasse wird er kleiner, aber wenn ich -6n weglassen würde, würde er wieder größer werden, und wenn ich [mm]9n^2[/mm] weglasse, müsste er doch auch kleiner werden, oder?
Ich bin mir aber noch immer nicht im Klaren darüber, was mein Ziel bei dem ganzen ist. Will ich soweit abschätzen, dass noch ein n übrig bleibt? Was hier bei mir ([mm]-\bruch{1}{3}[/mm] ) nicht mehr der Fall ist. Was ist eigentlich das Ziel?
> > Damit gilt
> >
> > | [mm]a_n[/mm] - a| = | [mm]\frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3}[/mm] + [mm]\frac{1}{3}[/mm] | < [mm]\frac{1}{3n} \leq \frac{1}{3n_0}[/mm] < [mm]\epsilon \forall[/mm] n [mm]\geq n_0[/mm]
> >
> > q.e.d.
>
> 1) Wozu das mit dem [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium noch? Du hast
> doch im ersten Ansatz die Grenzwertsätze verwendet. Dafür
> sind die ja da, dass man nicht immer wieder bei Adam und
> Eva anfangen muss.
Ich habe das so gemacht, weil es in dem Buch Tutorium Analysis I und Lineare Algebra I(S.119 + 120) so gemacht wurde. Also da wurde der gleiche Aufgabentyp genau so gelöst, nur das da anstatt "Damit gilt"
"Nach der obigen Abschätzung
gilt dann:" steht.
> 2) Du musst schon ein passendes [mm]n_0[/mm] konkret angeben (dieses
> wird von dem bel., aber festem [mm]\varepsilon[/mm] abhängen)
Und wie mach ich das? Ich dachte ich schreibe da einfach das hin, was bei der Abschätzung rausgekommen ist.
Noch einmal vielen Dank für deine Hilfe schachuzipus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Sa 05.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm]|\frac{3n-6}{9n^2-6n+3}| = \frac{3n-6}{9n^2-6n+3} < \bruch{3n}{-6n} = -\bruch{1}{3}[/mm]
Die Abschätzung bringt Dich nicht weiter. Beweise doch Deinen ersten Ansatz und schätze den Term [mm] \left|\frac{3n-6}{9n^2-6n+3}\right| [/mm] durch [mm] \bruch{1}{3n} [/mm] ab.
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Hallo ullim :)
> Die Abschätzung bringt Dich nicht weiter.
> > [mm]|\frac{3n-6}{9n^2-6n+3}| = \frac{3n-6}{9n^2-6n+3} < \bruch{3n}{-6n} = -\bruch{1}{3}[/mm]
>
Warum nicht?
>Beweise doch deinen ersten Ansatz und schätze den Term
> [mm]\left|\frac{3n-6}{9n^2-6n+3}\right|[/mm] durch [mm]\bruch{1}{3n}[/mm] ab.
Wie beweise ich das denn? Soll ich das wörtlich begründen, dass der Zähler dadurch größer wird und der Nenner kleiner?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
>
> Hallo ullim :)
>
>
> > Die Abschätzung bringt Dich nicht weiter.
>
> > > [mm]|\frac{3n-6}{9n^2-6n+3}| = \frac{3n-6}{9n^2-6n+3} < \bruch{3n}{-6n} = -\bruch{1}{3}[/mm]
> >
>
>
> Warum nicht?
1. weil es falsch ist, vorne steht was positives fuer n>2 das soll kleiner was neg, sein?
2.weil du ja kleiner einem beliebigen [mm] \epsilon [/mm] willst und das ist 1/3 nicht.
>
> >Beweise doch deinen ersten Ansatz und schätze den Term
> > [mm]\left|\frac{3n-6}{9n^2-6n+3}\right|[/mm] durch [mm]\bruch{1}{3n}[/mm]
> ab.
vergroessere den Zaehler indem du -6 weglaesst, verkleinere den Nenner indem du -6n+3 durch -n`2 ersetzt fuer n>6
> Wie beweise ich das denn? Soll ich das wörtlich
> begründen, dass der Zähler dadurch größer wird und der
> Nenner kleiner?
ja!
und dann hast du zB [mm] 3/8n,\epsilonfuer [/mm] n>8/3 [mm] \epsilon
[/mm]
Gruss leduart
>
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Hey leduart :)
> > > Die Abschätzung bringt Dich nicht weiter.
> >
> > > > [mm]|\frac{3n-6}{9n^2-6n+3}| = \frac{3n-6}{9n^2-6n+3} < \bruch{3n}{-6n} = -\bruch{1}{3}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Warum nicht?
> 1. weil es falsch ist, vorne steht was positives fuer n>2
> das soll kleiner was neg, sein?
Da hast du Recht, jetzt sehe ich es auch.
> 2.weil du ja kleiner einem beliebigen [mm]\epsilon[/mm] willst und
> das ist 1/3 nicht.
Das heißt beim Abschätzen muss noch ein n übrig bleiben?
> Beweise doch deinen ersten Ansatz und schätze den Term
> [mm]\left|\frac{3n-6}{9n^2-6n+3}\right|[/mm] durch [mm]\bruch{1}{3n}[/mm] ab.
> vergroessere den Zaehler indem du -6 weglaesst,
Den Schritt verstehe ich.
> verkleinere den Nenner indem du -6n+3 durch -n'2 ersetzt fuer n>6
Aber wenn ich -6n weglasse, wird der Bruch doch größer?
Und warum gerade durch [mm]-n^2[/mm] ersetzen?
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo,
du willst den nenner verkleinern, also laesst du erstmal die 3 weg, statt -6n schreibts du -n`2 weil [mm] n^2>6n [/mm] fuer n>6
du ziehst also mehr ab als 6n. und warum grade [mm] n^2? [/mm] damit ich es mit dem [mm] 9n^2 [/mm] zusammenfassenkann,stuende vorne [mm] 9n^4 [/mm] dann haette ich [mm] n^4 [/mm] statt der 6n abgezogen, die Hauptsache mehr als 6n.
gruss leduart
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> hallo,
> du willst den nenner verkleinern, also laesst du erstmal
> die 3 weg, statt -6n schreibts du -n'2 weil [mm]n^2>6n[/mm] fuer
> n>6
> du ziehst also mehr ab als 6n. und warum grade [mm]n^2?[/mm] damit
> ich es mit dem [mm]9n^2[/mm] zusammenfassenkann,stuende vorne [mm]9n^4[/mm]
> dann haette ich [mm]n^4[/mm] statt der 6n abgezogen, die Hauptsache
> mehr als 6n.
Super, vielen Dank leduart, ich denke das habe ich verstanden :)
Also:
[mm]|\bruch{-9n+18}{-27n^2+18n-9}| = |\bruch{-3n+6}{-9n^2+6n-3}| = |\bruch{3n-6}{9n^2-6n+3}|
[/mm]
für n > 2 gilt [mm] |\bruch{3n-6}{9n^2-6n+3}| = \bruch{3n-6}{9n^2-6n+3}
[/mm]
für n > 6 gilt [mm] \bruch{3n-6}{9n^2-6n+3} < \bruch{3n}{9n^2 -n^2}
[/mm] mit [mm] n^2 [/mm] > -6n + 3
für n > 6 gilt [mm]\bruch{3n}{9n^2 -n^2} = \bruch{3n}{8n^2} = \bruch{3}{8n}[/mm]
Ist es nun richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
perfekt
Gruss leduart
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> perfekt
Hurra, vielen Dank :)
Und was muss ich nun noch ändern?
Also in Bezug auf meine Komplettlösung.
Da sind noch einige Fragen offen aus meinem 2.Post.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
wie gesagt muss man,wenn man den GW richtig ausgerechnet hat, die [mm] \epsilon-n [/mm] Rechnung nicht unbedingt machen. wenn du sie willst um vollstaendig zu sein musst du nur noch [mm] n_0>8/3\epsilon [/mm] hinschreiben.
gruss leduart
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> wie gesagt muss man,wenn man den GW richtig ausgerechnet
> hat, die [mm]\epsilon-n[/mm] Rechnung nicht unbedingt machen. wenn
> du sie willst um vollstaendig zu sein musst du nur noch
> [mm]n_0>8/3\epsilon[/mm] hinschreiben.
Und warum gibt es die [mm]\epsilon-n[/mm] Rechnung dann?
Denn für die Konvergenz brauche ich doch immer den Grenzwert?
Ich probiere mich mal an einem Fazit.
Ansatz:
[mm]\frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} = \frac{n^2(3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2})}{n^2(-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2})} = \frac{3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2}}{-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2}}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2}}{-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2}} = -\bruch{3}{9} = -\bruch{1}{3}[/mm]
Für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] existiert ein [mm]n_0[/mm] [mm]\in \mathbb N[/mm] mit
[mm]| a_n - a| = | \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} + \frac{1}{3} |< \epsilon \forall n \geq n_0[/mm]
[mm]| \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} + \frac{1}{3} | = | \frac{3(3n^2-5n+7)}{3(-9n^2+6n-3)} + \frac{-9n^2+6n-3}{3(-9n^2+6n-3)} | [/mm]
[mm]= |\frac{9n^2-15n+21}{-27n^2+18n-9} + \frac{-9n^2+6n-3}{-27n^2+18n-9} |= |\frac{-9n+18}{-27n^2+18n-9}| [/mm]
[mm]|\bruch{-9n+18}{-27n^2+18n-9}| = |\bruch{-3n+6}{-9n^2+6n-3}| = |\bruch{3n-6}{9n^2-6n+3}|
[/mm]
für n > 2 gilt [mm] |\bruch{3n-6}{9n^2-6n+3}| = \bruch{3n-6}{9n^2-6n+3}[/mm]
für n > 6 gilt [mm] \bruch{3n-6}{9n^2-6n+3} < \bruch{3n}{9n^2 - n^2} [/mm] = [mm]\bruch{3n}{8n^2} = \bruch{3}{8n}[/mm] mit [mm]n^2 > 6n + 3[/mm]
Und was soll ich nun hinschreiben?
Nach der obigen Abschätzung gibt es ein [mm]n_0 \in \IN[/mm], sodass [mm]n_0 > 3/8\epsilon[/mm].
Oder soll ich lieber hinschreiben:
Nach der obigen Abschätzung gilt:
[mm]| a_n - a| = | \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} + \frac{1}{3} | < \frac{3}{8n} \leq \frac{3}{8n_0} < \epsilon \forall n \geq n_0[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:49 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
>
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> > wie gesagt muss man,wenn man den GW richtig ausgerechnet
> > hat, die [mm]\epsilon-n[/mm] Rechnung nicht unbedingt machen. wenn
> > du sie willst um vollstaendig zu sein musst du nur noch
> > [mm]n_0>8/3\epsilon[/mm] hinschreiben.
>
> Und warum gibt es die [mm]\epsilon-n[/mm] Rechnung dann?
> Denn für die Konvergenz brauche ich doch immer den
> Grenzwert?
na pass' auf: Du kennst die [mm] $\varepsilon$-$N_\varepsilon$-Definition [/mm] der
Konvergenz einer Folge. Und jetzt kann es sein, dass Du noch nicht sowas
wie ![[]](/images/popup.gif) Satz 5.5 (klick!) benutzen darfst, und auch noch nicht benutzen darfst,
dass [mm] $1/n^k \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] für jedes $k > [mm] 0\,$ [/mm] gilt.
Bei den vorgeschlagenen Lösungswegen trickst man dann: Einerseits formt
man genau so um, wie man es machen würde, wenn man den genannten
Satz 5.5 benutzen dürfte, um ihn anwenden zu können. Danach geht man
dann hin und schreibt dann zu dem [mm] $\varepsilon$-$N_\varepsilon$-Kriterium [/mm] passendes
hin: Das sollte ja gehen, wenn die Regeln des Satzes 5.5 gelten.
Ich mache jetzt einfach mal ein ganz einfaches Beispiel: Wir betrachten
[mm] $$a_n=\frac{n^4}{4n^4+5n^2}\,.$$
[/mm]
Wenden wir Satz 5.5 an, dann gilt
[mm] $$\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{4n^4+5n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4+\frac{5}{n^2}}\stackrel{(1)}{=} \frac{1}{\lim_{n \to \infty}\Big(4+\frac{5}{n^2}\Big)}$$
[/mm]
[mm] $$\stackrel{(2)}{=}\frac{1}{(\lim_{n \to \infty}4)+(\lim_{n \to \infty}5)*\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}}\stackrel{(3)}{=}\frac{1}{4+5*0}=\frac{1}{4}\,,$$
[/mm]
wobei wir strenggenommen das ganze besser begründen, indem wir diese
Gleichungskette von rechts nach links lesen und sagen, warum die
jeweilige Gleichheit gilt. Entsprechend werden die Begründungen nun auch
"abwärts zählend" erfolgen.
Zu [mm] $(3)\,:$ [/mm] Die Folge [mm] ${(5)}_n$ [/mm] ist konvergent und zwar gegen [mm] $5\,,$ [/mm] und die
Folge [mm] ${(1/n^2)}_n$ [/mm] ist konvergent gegen [mm] $0\,.$ [/mm] Ebenso ist die Folge
[mm] ${(4)}_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $4\,.$ [/mm] Hier passiert also nicht viel, außer,
dass wir [mm] $0=\lim_{n \to \infty} (1/n^2)$ [/mm] benutzen.
zu [mm] $(2)\,:$ [/mm] Wende Satz 5.5 1. und 2. auf den Nenner des Terms der
rechten Seite von [mm] $\stackrel{(2)}{=}$ [/mm] an.
zu [mm] $(1)\,:$ [/mm] Beachte, dass [mm] ${(1)}_n$ [/mm] gegen [mm] $1\,$ [/mm] konvergiert, schreibe
daher [mm] $1=\lim_{n \to \infty}1$ [/mm] im Zähler der rechten Seite von [mm] $\stackrel{(1)}{=}$ [/mm]
und wende nun Satz 5.5 3. auf die rechte Seite von [mm] $\stackrel{(1)}{=}$ [/mm]
an.
Soweit - so gut. Die Aufgabe haben wir gelöst, und dabei haben wir den
Satz 5.5 verwendet. Eventuell dürft ihr das aber noch nicht, weil ihr diese
Rechenregeln für konvergente Folgen noch nicht formuliert - geschweige
denn bewiesen - habt, sondern ihr sollt Euch mit der [mm] $\varepsilon$-$N_\varepsilon$-Definition
[/mm]
bei der Aufgabe beschäftigen.
Dann geht man meinetwegen her, rechnet erstmal so wie oben, um den
Grenzwert zu bestimmen. Nun hat man das Problem, dass man so aber
nur etwas aufgeschrieben hat, was gemäß dem Vorlesungsstand für die
Tonne ist, denn man hat (heimlich) Werkzeug benutzt, was einem eigentlich
noch gar nicht zur Verfügung gestellt worden ist. Und wenn man die
Aufgabe dann so abgeben würde, sollte der/die Korrektor(in) drunter
schreiben: "Alles richtig, leider dennoch 0 Punkte, weil Du Rechenregeln
verwendest, die noch nicht formuliert bzw. bewiesen worden sind."
(Würdest Du diese Regeln zuvor beweisen, müßte der/die Korrektorin
Deinen Beweis prüfen, und wenn das dann alles richtig wäre, müßte man
Dir dann volle Punktzahl geben.)
Was machst Du nun? Nunja: Du hast den Grenzwert berechnet - aber
dabei bist Du einen Weg gegangen, der Dir eigentlich noch nicht gezeigt
wurde und den Du eigentlich auch nicht hättest betreten sollen. Also
"verschleierst" Du das ganze nun. Da gibt's verschiedene Möglichkeiten,
eine wäre es, quasi so umzuformen wie oben und dann nach und nach
alles abzuschätzen. Ich würde es hier etwa anders machen, zum Beispiel
so (woher ich den Grenzwert eigentlich habe, sage ich gar nicht, ich
beweise(!) "nur", dass er passt - eigentlich ziemlich fies, dass ich meine
"Zaubertricks" hier nicht preisgebe  ):
Es gilt [mm] $a_n \to 1/4\,.$ [/mm] Denn: Zunächst gilt für jedes $n [mm] \in \IN\,:$:
[/mm]
[mm] $$\left|a_n-\frac{1}{4}\right|=\left|\frac{n^4}{4n^4+5n^2}-\frac{1}{4}\right|=\left|\frac{\red{4}n^4}{\red{4}*(4n^4+5n^2)}-\frac{4n^4+5n^2}{4*(4n^4+5n^2)}\right|=\left|\frac{\;-\;5n^2}{16n^4+20n^2}\right|$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{5n^2}{16n^4+20n^2} \le \frac{5n^2}{16n^4}=\frac{5}{16}*\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben, so existiert nach Satz 3.19 (Archimedisches
Axiom, Wiki (klick!)) ein [mm] $N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $$N_\varepsilon [/mm] > [mm] 1/\varepsilon\,.$$
[/mm]
Also folgt für alle $n [mm] \ge N_\varepsilon$...
[/mm]
P.S. Was man Dir vermutlich eigentlich die ganze Zeit nur sagen will: Wenn
ihr die Rechenregeln für konvergente Folgen (Satz 5.5) benutzen dürft, benutze
sie und schreibe das Ergebnis hin und fertig. Wenn ihr sie NICHT benutzen
dürft, benutze sie - aber das nur auf einem Schmierzettel - und schreibe
dann aber Deine Lösung passend zu dem auf, was ihr benutzen dürft.
Das macht das ganze zwar umständlich - vor allem wirst Du oft einfach
behaupten, dass eine Zahl wirklich der Grenzwert der genannten Folge
ist und das "nur" beweisen, ohne mit anzugeben, wie Du eigentlich zu
dieser Zahl gekommen bist, aber in Deinem Beweis gehst Du dann ja nur
rein per Definitionem bzw. nur mit bisher bekannten Mitteln vor. (Das gute
ist aber: Man bekommt so auch Übung im Umgang mit der [mm] $\varepsilon$-$N_\varepsilon$-Definition,
[/mm]
und schon alleine deswegen halte ich das für gar nicht so unsinnig, wie es
vielleicht auf jmd. wirken kann!)
Gruß,
Marcel
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Guten Morgen, Marcel :)
Und vielen lieben lieben lieben Dank für deine ausführliche Antwort :)
Wir haben in der Vorlesung erst den [mm]\epsilon-n[/mm] Beweis eingeführt und danach die Grenzwertsätze. Ob wir diese für die Aufgaben verwenden dürfen, frage ich dann nächste Woche am besten nach.
Das heißt also, dass wenn ich die Grenzwertsätze verwenden darf einfach den Grenzwert bestimmen muss und damit die Aufgabe "Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an:" gelöst habe?
Ansatz:
-----------------------------------------------------------------
[mm] \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} [/mm] = [mm] \frac{n^2(3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2})}{n^2(-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2})} [/mm] = [mm] \frac{3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2}}{-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2}}{-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2}} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{9} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
Die Folge [mm] \frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3} [/mm] konvergiert gegen [mm] -\bruch{1}{3}.
[/mm]
-----------------------------------------------------------------------
Und damit wäre die gesamte Aufgabe mit voller Punktzahl gelöst?
Nochmal vielen Dank :)
mfg Lisa
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> Das heißt also, dass wenn ich die Grenzwertsätze
> verwenden darf
Hallo,
wenn sie dran waren, darfst und sollst Du sie verwenden, wo immer sie passen.
Wenn die Chefs das hier nicht wollten, würden sie ausdrücklich dazuschreiben: "Zeige mithilfe der [mm] \varepsilon-Def. [/mm] für den Grenzwert, daß die Folge konvergiert".
> einfach den Grenzwert bestimmen muss und
> damit die Aufgabe "Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen
> auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert
> an:" gelöst habe?
Ja.
>
> Ansatz:
>
> -----------------------------------------------------------------
> [mm]\frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3}[/mm] =
> [mm]\frac{n^2(3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2})}{n^2(-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2})}[/mm]
> =
> [mm]\frac{3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2}}{-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2}}[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}$\frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3}$ [/mm] =
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3-\bruch{5}{n}+\bruch{7}{n^2}}{-9+\bruch{6}{n}-\bruch{3}{n^2}}[/mm]
> = [mm]-\bruch{3}{9}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Die Folge [mm]\frac{3n^2-5n+7}{-9n^2+6n-3}[/mm] konvergiert gegen
> [mm]-\bruch{1}{3}.[/mm]
>
> -----------------------------------------------------------------------
>
> Und damit wäre die gesamte Aufgabe mit voller Punktzahl
> gelöst?
Ja.
LG Angela
>
> Nochmal vielen Dank :)
>
> mfg Lisa
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Hallo Lisa,
das habe ich dir doch schon in der ersten Antwort geschrieben ....
Was soll diese Frage also?
Liest du die Antworten nicht?
Unglaublich!
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 So 06.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
> Hallo Lisa,
>
> das habe ich dir doch schon in der ersten Antwort
> geschrieben ....
>
> Was soll diese Frage also?
>
> Liest du die Antworten nicht?
>
> Unglaublich!
Oh, es tut mir Leid, wenn ich dich verärgert habe :(
Ich konnte das irgendwie nicht wahrhaben, weil in dem Buch Tutorium Ana 1 und Lin A. 1 immer wieder die Grenzwerte bestimmt wurden und dann dahinter der [mm]\epsilon-n[/mm] Beweis.
Jetzt merke ich auch, dass deine Antwort perfekt war.
Ich entschuldige mich nochmal bei dir schachuzipus :/
@Angela
Vielen lieben Dank Angela für die Antwort :)
Ich bedanke mich bei allen Helfern und entschuldige mich, dass ich mich so dumm angestellt habe.
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Hallo nochmal, Lisa,
> > Hallo Lisa,
> >
> > das habe ich dir doch schon in der ersten Antwort
> > geschrieben ....
> >
> > Was soll diese Frage also?
> >
> > Liest du die Antworten nicht?
> >
> > Unglaublich!
>
> Oh, es tut mir Leid, wenn ich dich verärgert habe :(
Hast du nicht, ich wollte nur klarmachen, dass du die Antwort auf deine Frage schon hattest ...
Immer aufmerksam lesen!
>
> Ich konnte das irgendwie nicht wahrhaben, weil in dem Buch
> Tutorium Ana 1 und Lin A. 1 immer wieder die Grenzwerte
> bestimmt wurden und dann dahinter der [mm]\epsilon-n[/mm] Beweis.
Naja, die Grenzwertsätze gibt's ja nicht zum Spaß. Mit denen kann man genauso GWe berechnen, man muss nicht immer über die Definition gehen.
Das wäre ja auch sehr mühsam, du kannst dir ja beliebig komplizierte Folgen ausdenken, die kein Mensch mehr vernünftig abschätzen kann
>
> Jetzt merke ich auch, dass deine Antwort perfekt war.
> Ich entschuldige mich nochmal bei dir schachuzipus :/
Nein, dein erster Ansatz mit dem Ausklammern war schon die perfekte und komplette Lösung. Unabhängig davon, wie meine Antwort war
>
> @Angela
>
> Vielen lieben Dank Angela für die Antwort :)
>
> Ich bedanke mich bei allen Helfern und entschuldige mich,
> dass ich mich so dumm angestellt habe.
Brauchst du nicht und hast du auch nicht!
Bis dann!
Liebe Grüße
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 So 06.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
> Hast du nicht
Oh gut, dann bin ich beruhigt :)
> Immer aufmerksam lesen!
Ja, daran werde ich mich nun halten.
> Naja, die Grenzwertsätze gibt's ja nicht zum Spaß. Mit
> denen kann man genauso GWe berechnen, man muss nicht immer
> über die Definition gehen.
Okay. Und nun (glaube ich) kann ich sogar beide Wege :)
> Nein, dein erster Ansatz mit dem Ausklammern war schon die
> perfekte und komplette Lösung. Unabhängig davon, wie
> meine Antwort war
Okay, dennoch vielen Dank nochmal für die erste Antwort, die ich in diesem Forum bekommen habe. Und dann noch so eine gute ;)
Liebe Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
auch von mir: Du hast Dich nicht dumm angestellt, und irgendwie ist der
Kommentar in Schachus erster Antwort wahrscheinlich ein wenig
untergegangen; außerdem gerät sowas auch ein wenig in Vergessenheit.
Ich hatte sie ja auch selbst gelesen und nicht mehr dran gedacht. Aber ist
ja nicht schlimm: Lieber zwei Personen sagen zweimal prinzipiell das
gleiche, und es kommt dann an, als wenn es unbeachtet bleibt.
> > Hast du nicht
>
> Oh gut, dann bin ich beruhigt :)
>
> > Immer aufmerksam lesen!
>
> Ja, daran werde ich mich nun halten.
Ich bin mal ganz ehrlich: Auch ich lese nicht immer alles ganz aufmerksam,
oder ich vergesse etwas, weil es zwar wichtig war, ich es aber nur als
"Randbemerkung" wahrgenommen habe. Das ist menschlich; und das heißt
auch nicht, dass Schachu hier eine wichtige Bemerkung als Randbemerkung
geschrieben hat. Wir "ticken" halt nicht alle komplett gleich. Zum Beispiel
hatte ich zu Studienbeginn in Beweisen so etwas gelesen:
"Es gilt [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0:\,$ [/mm] Aus der Voraussetzung ... folgt nämlich ..."
Mir war da damals nicht klar, dass da eine Behauptung steht, dessen
Beweis nach dem Doppelpunkt kommt (meist schon alleine deswegen, weil
ich den Doppelpunkt nicht deutlich wahrgenommen habe) und das hatte
mich oft verwirrt. Ich schreibe sowas heute zwar auch, bevorzuge es aber,
das dann so zu schreiben:
"Es gilt [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] denn: Aus der Voraussetzung ... folgt nämlich ..."
Und nicht selten merke ich es bei meinen Antworten hier im MR, dass die
erste Variante nicht so gut ankommt wie die zweite, obwohl da nur ein
kleines Wort mehr dabei steht. Natürlich kann man es auch noch deutlicher
schreiben:
"Wir behaupten, dass [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] gilt. Beweis dafür: Aus der Voraussetzung ...
folgt nämlich ..."
> > Naja, die Grenzwertsätze gibt's ja nicht zum Spaß. Mit
> > denen kann man genauso GWe berechnen, man muss nicht immer
> > über die Definition gehen.
>
> Okay. Und nun (glaube ich) kann ich sogar beide Wege :)
Wie gesagt: Wenn man die Grenzwertsätze für konvergente Folgen zur
Verfügung hat, dann macht das insofern Sinn, das ganze nochmal per [mm] $\varepsilon-N_\varepsilon$
[/mm]
-Definition zu beweisen, damit man darin geübt wird. Insofern scheint's ja
so, als wenn das bei Dir gefruchtet hat. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 So 06.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo und guten Abend Marcel :)
Vielen lieben Dank für deine netten Worte und das Beispiel :)
> > Okay. Und nun (glaube ich) kann ich sogar beide Wege :)
>
> Wie gesagt: Wenn man die Grenzwertsätze für konvergente
> Folgen zur
> Verfügung hat, dann macht das insofern Sinn, das ganze
> nochmal per [mm]\varepsilon-N_\varepsilon[/mm]
> -Definition zu beweisen, damit man darin geübt wird.
> Insofern scheint's ja
> so, als wenn das bei Dir gefruchtet hat.
Ja, dank euch :)
Grüße,
Lisa
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