Konvergenz von Folgen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Fr 06.05.2016 | | Autor: | nali |
| Aufgabe | Zu betrachten ist die Menge [mm]C([0,2\pi],\IR)[/mm] aller stetigen Funktionen [mm]f : [0,2\pi]\rightarrow \IR[/mm] mit der Metrik [mm]d_{max}(f,g):=max(|f(x)-g(x)|:x\in[a,b])[/mm]. Sind die folgenden Folgen in diesem Raum konvergent? Berechnen sie ggf. den Grenzwert.
[mm]f(x) : sin(x)^k[/mm]
[mm]g(x) : sin(kx)[/mm]
[mm]h(x) : x-\frac{1}{k}sin(kx)[/mm] |
Ich bin mir nicht sicher wie die richtige Vorgehensweise ist und benötige ein wenig Unterstütztung. Hier meine Gedanken.
Eine Folge im metrischen Raum [mm](X,d)[/mm] heißt konvergent, falls es ein [mm]x\inX[/mm] mit folgender Eigenschaft gibt:
[mm]\forall \epsilon \in \IR^{>0} \quad \exists n \n \IN \quad \forall k>n \quad d(x_k,x)< \epsilon[/mm].
Für [mm] x=0,\pi,2\pi [/mm] ist der Sinus 0. Hier konvergiert die Folge mit dem Grenzwert 0 sobald [mm] k\rightarrow \infty.
[/mm]
Für [mm] x=\pi/2 [/mm] ist der Sinus 1. Die Folge konvergiert, der Grenzwert ist 1.
Für [mm] x=3/2\pi [/mm] ist der Sinus -1. Hier entsteht eine alternierende Folge und es konvergiert mMn nicht.
In allen Werten dazwischen konvergiert die Folge für k [mm] \rightarrow \infty [/mm] gegen 0, da der Sinus immer < 0 ist.
Die Funktion g konvergiert für x=0, für alle anderen x nicht.
Die funktion h konvergiert gegen den Grenzwert x.
Frage: Es kommt mir vor als ob ich die Punktweise Konvergenz betrachte und nicht den ganzen Raum? Wie bewerte ich es bezüglich der Metrik?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:52 Sa 07.05.2016 | | Autor: | fred97 |
die Konvergenz bezüglich obiger Metrik ist gerade die gleichmäßige Konvergenz auf [0,2 [mm] \pi]
[/mm]
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mo 09.05.2016 | | Autor: | nali |
ist>
> die Konvergenz bezüglich obiger Metrik ist gerade die
> gleichmäßige Konvergenz auf 0,2 [mm]\pi][/mm]
>
> fred
Ist die Aufgabe richtig gelöst?
Wenn ich mit Metriken arbeite, dann habe ich doch immer mit [mm]d(x,x')<\epsilon[/mm] Bedinungen. Wenn ich Epsilon beliebig groß wähle, dann konvergiert doch alles bezüglich einer Metrik? Oder ist es anders definiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Mo 09.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> ist>
> > die Konvergenz bezüglich obiger Metrik ist gerade die
> > gleichmäßige Konvergenz auf 0,2 [mm]\pi][/mm]
> >
> > fred
>
> Ist die Aufgabe richtig gelöst?
Nein. Du hast nur punktweise Konvergenz betrachtet.
>
> Wenn ich mit Metriken arbeite, dann habe ich doch immer mit
> [mm]d(x,x')<\epsilon[/mm] Bedinungen. Wenn ich Epsilon beliebig
> groß wähle, dann konvergiert doch alles bezüglich einer
> Metrik? Oder ist es anders definiert?
Unsinn.
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in einem metrischen Raum (M,d) und x [mm] \in [/mm] M
[mm] (x_n) [/mm] konv. gegen x
[mm] \gdw
[/mm]
zu jedem(!) [mm] \varepsilon [/mm] >0 ex. ein [mm] k=k(\varepsilon) \in \IN [/mm] mit [mm] d(x_n,x)< \varepsilon [/mm] für alle n>k.
Die Betonung liegt auf "zu jedem(!) [mm] \varepsilon [/mm] >0 "
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Di 10.05.2016 | | Autor: | nali |
> > Wenn ich mit Metriken arbeite, dann habe ich doch immer mit
> > [mm]d(x,x')<\epsilon[/mm] Bedinungen. Wenn ich Epsilon beliebig
> > groß wähle, dann konvergiert doch alles bezüglich einer
> > Metrik? Oder ist es anders definiert?
>
> Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in einem metrischen Raum (M,d) und x
> [mm]\in[/mm] M
>
> [mm](x_n)[/mm] konv. gegen x
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> zu jedem(!) [mm]\varepsilon[/mm] >0 ex. ein [mm]k=k(\varepsilon) \in \IN[/mm]
> mit [mm]d(x_n,x)< \varepsilon[/mm] für alle n>k.
>
> Die Betonung liegt auf "zu jedem(!) [mm]\varepsilon[/mm] >0 "
>
> FRED
>
Okay, verständlich.
Wenn eine Funktion schon punktweise im Definitionsbereich nicht konvergiert, kann sie überhaupt noch gleichmäßig konvergieren? Oder genügt es einen Punkt im Definitionsbereich zu finden indem sie nicht konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Di 10.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > Wenn ich mit Metriken arbeite, dann habe ich doch immer mit
> > > [mm]d(x,x')<\epsilon[/mm] Bedinungen. Wenn ich Epsilon beliebig
> > > groß wähle, dann konvergiert doch alles bezüglich einer
> > > Metrik? Oder ist es anders definiert?
> >
> > Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in einem metrischen Raum (M,d) und x
> > [mm]\in[/mm] M
> >
> > [mm](x_n)[/mm] konv. gegen x
> >
> > [mm]\gdw[/mm]
> >
> > zu jedem(!) [mm]\varepsilon[/mm] >0 ex. ein [mm]k=k(\varepsilon) \in \IN[/mm]
> > mit [mm]d(x_n,x)< \varepsilon[/mm] für alle n>k.
> >
> > Die Betonung liegt auf "zu jedem(!) [mm]\varepsilon[/mm] >0 "
> >
> > FRED
> >
>
> Okay, verständlich.
>
> Wenn eine Funktion
Du meinst sicher "eine Funktionenfolge..."
> schon punktweise im Definitionsbereich
> nicht konvergiert, kann sie überhaupt noch gleichmäßig
> konvergieren?
Nein, das kann sie nicht, denn aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz.
FRED
> Oder genügt es einen Punkt im
> Definitionsbereich zu finden indem sie nicht konvergiert?
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