Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein Problemchen bei der folgenden Aufgaben:
< [mm] (-1)^n [/mm] + 1/n >
Ich soll Begründen, warum diese Folge nicht konvegiert.
Mein Zweites Problem ist, dass ich bei der nächsten Folge prüfen soll, ob diese konvegiert und gegebenfalls den Grenzwert angeben soll.
< 4 /(n+3) >
Ich habe mich in den letzten Tagen viel mit Folgen etc. beschäftig, aber ich komm einfach auf keinen Lösungsansatz.
Ich weis garnicht wie ich anfangen soll die Aufgaben zu lösen.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Danke im Voraus für die Hilfe.
Liebe Grüße,
Kiara
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kiara,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Untersuche doch mal die beiden Teilfolgen für gerade $n_$ bzw. ungerade $n_$ separat.
Was ergibt sich dann jeweils aus dem Term [mm] $(-1)^n$ [/mm] ?
Haben beide Teilfolgen denselben Grenzwert?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kiara!
Du hast einen Bruch mit konstantem Zähler und einem Nenner, der immer größer wird.
Was passiert dann mit dem Gesamtbruch? Gegen welchen Wert strebt dann der Term?
(Stelle Dir vor, wieviel Cent Dir bleiben, wenn Du 4 € mit unendlich vielen Leuten teilen sollst).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Sa 03.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich habe ein Problemchen bei der folgenden Aufgaben:
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> < [mm](-1)^n[/mm] + 1/n >
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> Ich soll Begründen, warum diese Folge nicht konvegiert.
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> Mein Zweites Problem ist, dass ich bei der nächsten Folge
> prüfen soll, ob diese konvegiert und gegebenfalls den
> Grenzwert angeben soll.
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> < 4 /(n+3) >
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> Ich habe mich in den letzten Tagen viel mit Folgen etc.
> beschäftig, aber ich komm einfach auf keinen
> Lösungsansatz.
> Ich weis garnicht wie ich anfangen soll die Aufgaben zu
> lösen.
Hallo,
anfangen ist ein gutes Stichwort. Das Mindeste, was man verlangen kann ist, dass man sich einen Überblick über den Verlauf der Folge verschafft. Deshalb:
Rechne die ersten 5 Folgenglieder aus (können auch einige mehr sein.)
Erkennt man schon was? Werden die Zahlen immer kleiner, immer größer, nichts von beidem?
Rechne dann ein paar Folgenglieder mit richtig großem Index (mit einer richtig großen Nummer) aus, z.B. [mm] a_{1000} [/mm] , [mm] a_{1 000 000}, [/mm] ...
Bei der letzten Aufgabe schlage ich allerdings vor, lieber [mm] a_{997} [/mm] , [mm] a_{ 999 997} [/mm] , ...zu nehmen (das ist leichter zu berechnen...)
Gruß Abakus
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> Ich hoffe mir kann jemand helfen.
> Danke im Voraus für die Hilfe.
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> Liebe Grüße,
> Kiara
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>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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Hallo, danke für die zahlreichen und schnellen Antworten.
Das man verschiedene Zahlen einsetzen soll habe ich jetzt verstanden, dass manche dann gegen unentlich gehen oder gegen null gehen habe ich jetzt auch feststellen können.
DOCH ich frage mich, wenn eine Funktion gegen unendlich geht ist der Grenzwert dann unendlich?
Allerdings wie erkenne ich durch das einsetzen von Zshlen das eine Funktion nicht konvergenz ist????
Vielen Dank im Voraus ihr habt mir echt weitergeholfen!
Gruß Kiara
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Hallo,
Eine Funktion selbst wird nicht unendlich, ihr Grenzwert kan höchstens unendlich sein. WICHTIG: Verwechsliche nich Folge und Funktion!
Durch einsetzen von Zahlen kannst du es nicht immer, aber oft erkennen. Ausserdem gibt es noch elativ effizieten Methoden, wie die von Loddar, um zu testen ob eine Folge konvergent ist oder nicht. Sie lautet wie folgt:
Eine Folge konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert l, wenn alle Teilfolgen gegen den selben Grenzwert konvergieren.
Eine Teilfolge wäre bei deinem ersten Beispiel [mm] (-1)^{n} [/mm] für n=2k+1 , also n ungerade.
Dann gibt es noch verschiedene andere Möglichkeiten, z.B. dass jede oben/unten beschränkte, monoton steigende / fallende Folge konvergent ist usw. usf. aber darum soll es ja hier gar nicht gehen.
Kennst du die Definition von Konvergenz ? Sie lautet wie folgt:
$ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] \Rightarrow |a_{n}-l|<\epsilon [/mm] $
Was bedeutet das anschaulich ?
Du legst eine Zahl fest, die sehr sehr nahe (de facto unendlich nah) an null herangeht, nämlich [mm] \epsilon. [/mm] Du kannst für jedes [mm] \epsilon [/mm] ein n finden, so dass [mm] a_{n}-l, [/mm] also der wert der folge an der stelle n - l (der grenzwert) kleiner als epsilon geht. Dies bedeutet nichts anderes als dass Folge und Grenzwert "quasi" übereinstimmen.
Die Folge liegt dann nämlich im Intervall [mm] [l-\epsilon,l+\epsilon]. [/mm] Nun ist [mm] \epsilon [/mm] aber sehr sehr nahe an null, ergo ist [mm] a_{n} [/mm] sehr nahe an l.
Nimm Dir doch [mm] a_{n}=\bruch{1}{n}
[/mm]
Du möchtest zeigen, dass [mm] a_{n} [/mm] konvergiert. Der Grenzwert ist vermutlich 0. Also möchtest du, dass:
[mm] |a_{n}-0|<\epsilon \Rightarrow \left|\bruch{1}{n}\right|<\epsilon \Rightarrow \bruch{1}{N}=\epsilon \Rightarrow N=\bruch{1}{\epsilon} [/mm] (ich wähle hier N, da es in der Definition erwähnt wird).
So nun wähle $ n [mm] \ge [/mm] N $ . Dann
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] und [mm] n>\bruch{1}{\epsilon} [/mm] (da $ n [mm] \ge [/mm] N $ gefordert ist) [mm] \Rightarrow \bruch{1}{n}<\bruch{1}{N}=\epsilon [/mm] (da $ n [mm] \ge [/mm] N $) .
Siehst du, was ich hier bewiesen habe ?
Ich habe nichts anderes gezeigt, als dass ich für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] ein N finden kann (nämlich [mm] N=\bruch{1}{\epsilon}) [/mm] so dass $ n [mm] \ge [/mm] N $ [mm] \Rightarrow |a_{n}-l|=|a_{n}|<\epsilon.
[/mm]
Das mag jetzt alles viel und verwirrend sein, aber lies es dir genau durch und lass es auf dich wirken. Du musst ein Verständnis dafür entwickeln, nur so kannst du sowas alleine hinbekommen.
Lg
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Guten Tag,
ich bedanke mich herzlich bei dir für deine schnelle und ausfühliche Antwort.
Du schreibst:
Eine Folge konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert l, wenn alle Teilfolgen gegen den selben Grenzwert konvergieren.
Eine Teilfolge wäre bei deinem ersten Beispiel für n=2k+1 , also n ungerade.
--> Was folgt jetzt daraus? Heißt es die Folge konvergiert nicht, wenn eine Teilfolge positiv ist und die andere Teilfolge negative ist?
Ich habe versucht die Theorie die dahinter steht zu verstehen aber so ganz hat es noch nicht geklappt, ich wäre dir echt dankbar, wenn du mir eine Aufgabe mal ausführlich vorrechnest! Damit ich die anderen Aufgaben dann auch nach dem Schema rechnen kann.
Vielen vielen Dank dir im Voraus.
Gruß,
Kiara
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> Guten Tag,
>
> ich bedanke mich herzlich bei dir für deine schnelle und
> ausfühliche Antwort.
>
> Du schreibst:
>
> Eine Folge konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert l,
> wenn alle Teilfolgen gegen den selben Grenzwert
> konvergieren.
>
> Eine Teilfolge wäre bei deinem ersten Beispiel für
> n=2k+1 , also n ungerade.
>
> --> Was folgt jetzt daraus? Heißt es die Folge konvergiert
> nicht, wenn eine Teilfolge positiv ist und die andere
> Teilfolge negative ist?
Hallo,
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Nein, nicht unbedingt:
Die Folge [mm] ((-1)^n\bruch{1}{n}) [/mm] konvergiert gegen 0.
Die Folgenglieder der geraden Teilfolge sind positiv und die der ungeraden negativ - aber beide Teilfogen konvergieren (wei jede andere Teilfolge, die man sich ausdenken kann) gegen 0.
Bei der Folge ($ [mm] (-1)^n [/mm] $ + 1/n), die Du untersuchen sollst, ist die Situation anders:
für gerade n hat man (1+1/n) [mm] \to [/mm] 1,
für ungerade n hat man (-1 + 1/n) [mm] \to [/mm] -1.
Hier habe ich also zwei Teilfolgen gefunden, die einen unterschiedlichen Grenzwert haben.
Also konvergiert die Folge nicht.
Gruß v. Angela
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