Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (xn) := 1/n für n=>1, dann gilt limes n gegen unendlich (xn) = 0.
Denn sei Epsilon > 0 vorgegeben. Wir wählen N Element N mit N > 1/Epsilon. Dies geht wegen der Archimedischen Eigenschaft von R! Dann folgt für n => N, dass
|xn - 0| = 1/n <= 1/N < Epsilon. |
Hi Leute, ich bin neu in diesem Forum und bitte um Nachsicht bzw Aufforderung, falls der Thread falsch gestellt ist.
Ich muss für mein Informatikstudium zwei Semester Mathematik bestehen und scheitere hauptsächlich an Verständnisfragen und Beweisführungen. Gerade sitze ich am Lernen und stolpere über diesen Satz im Vorlesungsskript.
Ist es möglich, dass mir jemand etwas simpler den oben genannten Sachverhalt erklären kann?
Ich habe Probleme zu verstehen, weshalb hier die Archimedische Eigenschaft verwendet wird, was diese Hierauf angewandt genau bedeutet und und wieso ich nachdem ich ein N gewählt habe festlege, dass N < 1/Epsilon ist. bzw was 1/Epsilon überhaupt bedeutet.
Ihr merkt es scheitert am Grundverständnis und ich hoffe, jemand macht es sich netterweise zur Aufgabe mich ein wenig zu erhellen bzw mir eine solche Folgerung inklusive der Schlussfolgerung etwas zu erklären.....
Vielen Dank schonmal im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Sa 28.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Einen schönen guten Abend,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei (xn) := 1/n für n=>1, dann gilt limes n gegen
> unendlich (xn) = 0.
> Denn sei Epsilon > 0 vorgegeben. Wir wählen N Element N
> mit N > 1/Epsilon. Dies geht wegen der Archimedischen
> Eigenschaft von R! Dann folgt für n => N, dass
> |xn - 0| = 1/n <= 1/N < Epsilon.
> Hi Leute, ich bin neu in diesem Forum und bitte um
> Nachsicht bzw Aufforderung, falls der Thread falsch
> gestellt ist.
Das passt schon so, nötigenfalls wird das umsortiert.
> Ich muss für mein Informatikstudium zwei Semester
Da wäre eine erste Auseinandersetzung mit LaTeX angemessen. Bitte benutze den Formeleditor.
> Mathematik bestehen und scheitere hauptsächlich an
> Verständnisfragen und Beweisführungen. Gerade sitze ich
> am Lernen und stolpere über diesen Satz im
> Vorlesungsskript.
>
> Ist es möglich, dass mir jemand etwas simpler den oben
> genannten Sachverhalt erklären kann?
Vielleicht. Doch nun ist das ein aus dem Zusammenhang gerissenes Stück.
> Ich habe Probleme zu verstehen, weshalb hier die
> Archimedische Eigenschaft verwendet wird, was diese Hierauf
> angewandt genau bedeutet und und wieso ich nachdem ich ein
> N gewählt habe festlege, dass N < 1/Epsilon ist. bzw was
> 1/Epsilon überhaupt bedeutet.
Da musst Du Dir die Definition des Grenzwerts ansehen.
>
Dann will ich mal versuchen zu sortieren:
Behauptung:
Sei [mm] $x_n [/mm] := [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] für $n [mm] \ge [/mm] 1$, dann gilt [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = 0$.
Also muss nun gezeigt werden, dass für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ es ein N gibt, so dass für alle n größer als N gilt dass [mm] $|x_n [/mm] - 0| [mm] \le \epsilon$ [/mm] Das macht der
Beweis:
Sei Epsilon > 0 vorgegeben. (also: egal, wie klein auch das [mm] $\epsilon$ [/mm] ist, das Folgende muss richtig bleiben)
Wir wählen $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit $N > [mm] \bruch{1}{\epsilon}$.
[/mm]
(Durch Ausprobieren und Nachdenken kommt man auf diese Wahl für N. Oft genug rechnet man "rückwärts" und findet so ein geeignetes N)
Dies geht wegen der Archimedischen Eigenschaft von R!
(Da hängt es eben völlig davon ab, was vorher passiert ist. Wenn die natürlichen Zahlen und die reellen Zahlen unabhängig voneinander definiert wurden, dann muss eine Beziehung zwischen beiden hergestellt werden. [mm] $\bruch{1}{\epsilon}$ [/mm] ist aus R und dann garantiert die Archimedische Eigenschaft, dass es auch so ein N gibt. Es reicht nicht zu sagen: "ist doch klar, dass es so ein N gibt." Das liegt daran, dass die Schulmathematik noch so fest drin sitzt, dass man übersieht, dass nun alles von Grund auf neu aufgebaut wird.)
> und wieso ich nachdem ich ein
> N gewählt habe festlege, dass N < 1/Epsilon ist. bzw was
> 1/Epsilon überhaupt bedeutet.
Es ist anders herum. Das Epsilon wird dir von einem Gegenspieler gegeben. Der versucht Dich auszutricksen, indem er sich ein Epsilon aussucht, das Dir das Leben schwer macht. Du musst damit klarkommen, egal, wie klein er das Epsilon wählt. Dein Trick:
je kleiner das Epsilon, desto größer wählst Du Dein N. Das geht ganz praktisch mit dem Kehrwert.
Und so gelingt der Beweis:
> Dann folgt für n => N, dass
> |xn - 0| = 1/n <= 1/N < Epsilon.
damit also |xn - 0| < Epsilon
Und das musste ja gezeigt werden:
dass für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ es ein N gibt, so dass für alle n größer als N gilt dass [mm] $|x_n -0|\le \epsilon$ [/mm]
> Ihr merkt es scheitert am Grundverständnis und ich hoffe,
> jemand macht es sich netterweise zur Aufgabe mich ein wenig
> zu erhellen bzw mir eine solche Folgerung inklusive der
> Schlussfolgerung etwas zu erklären.....
>
> Vielen Dank schonmal im Vorraus!
ein r reicht
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
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Vielen vielen Dank für deine schnelle, und vor allem so ausführliche Antwort!
So ist es für mich gleich viel verständlicher!
Allerdings tut sich mir noch eine Frage beim darüber Nachdenken auf. Wie kann mein "Gegenspieler" denn als N einfach [mm] \bruch{1}{\epsilon} [/mm] . Mein Problem ist wahrscheinlich wirklich die verfestigte Schulmathematik, aber was hat [mm] \bruch{1}{\epsilon} [/mm] denn für einen Wert?
Wenn ich ein [mm] \epsilon [/mm] wähle gehe ich davon aus, dass es eine relle Zahl, wie 0,1 oder ähnliches ist. Wieso ist das N dann in diesem Fall so definiert?
Ist wahrscheinlich offensichtlich, doch ich stolpere immer wieder drüber..
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Hallo,
> Vielen vielen Dank für deine schnelle, und vor allem so
> ausführliche Antwort!
> So ist es für mich gleich viel verständlicher!
>
> Allerdings tut sich mir noch eine Frage beim darüber
> Nachdenken auf. Wie kann mein "Gegenspieler" denn als N
> einfach [mm]\bruch{1}{\epsilon}[/mm] . Mein Problem ist
> wahrscheinlich wirklich die verfestigte Schulmathematik,
> aber was hat [mm]\bruch{1}{\epsilon}[/mm] denn für einen Wert?
> Wenn ich ein [mm]\epsilon[/mm] wähle gehe ich davon aus, dass es
> eine relle Zahl, wie 0,1 oder ähnliches ist. Wieso ist das
> N dann in diesem Fall so definiert?
> Ist wahrscheinlich offensichtlich, doch ich stolpere immer
> wieder drüber..
Um dieses [mm]N=N(\varepsilon)[/mm] zu finden bzw. zu konstruieren, schaut man sich auf einem Schmierzettel die Ungleichung [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] an.
Das ist hier [mm]\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}[/mm].
Und das soll [mm]<\varepsilon[/mm] sein, also
[mm]\frac{1}{n}<\varepsilon[/mm]
[mm]\gdw n>\frac{1}{\varepsilon}[/mm]
Nun kann man das sauber auf dem Abgabezettel aufschreiben:
Sei [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
Dann wähle [mm]\red N[/mm] so , dass es (eine nat. Zahl) [mm]\red{>\frac{1}{\varepsilon}}[/mm] ist, dann gilt für alle [mm]n\ge N[/mm] eben
[mm]\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}[/mm] (da [mm]n\ge N[/mm])
[mm]\red{<}\frac{1}{\red{\frac{1}{\varepsilon}}}=\varepsilon[/mm]
Genau so soll es gem. der Definition "Konvergenz" auch sein.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 So 29.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Wenn ich ein [mm]\epsilon[/mm] wähle gehe ich davon aus, dass es
> eine relle Zahl, wie 0,1 oder ähnliches ist. Wieso ist das
> N dann in diesem Fall so definiert?
> Ist wahrscheinlich offensichtlich, doch ich stolpere immer
> wieder drüber..
Darüber bin ich auch in Analysis I gestolpert.
Zunächst sollte dir klar werden, dass dein $N$ nicht immer von [mm] \epsilon [/mm] abhängt!
In der Regel ist das aber der Fall, sodass man folgendes schreibt:
[mm] N=N(\epsilon)\in\IN
[/mm]
Gehen wir mal davon aus, dass dein $N$ von [mm] \epsilon [/mm] abhängt, damit ich deine Frage beantworten kann. Nehmen wir doch direkt deine Aufgabe als Beispiel. Du wählst hier für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] durch deine Vorarbeit, so wie dir Schachuzipus gezeigt hat, dein [mm] $N>\frac{1}{\epsilon}$. [/mm] Du hast Recht, durch das Wählen von [mm] \epsilon, [/mm] zum Beispiel [mm] \epsilon:=\pi, [/mm] ist [mm] \frac{1}{\pi}\in\IR, [/mm] aber du wählst dein [mm] $N=N(\epsilon)\in\IN$ [/mm] eben GRÖßER als [mm] \frac{1}{\pi}. [/mm] Das es so eine [mm] $N\in\IN$ [/mm] gibt ist durch das Archimedische Axiom immer gesichert. Dann gilt nämlich [mm] |a_n|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Ich hoffe, dass es dir nun verständlicher ist.
Liebe Grüße und einen guten Rutsch!
DieAcht
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