Konvergenz von Funktionsfolgen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 So 08.02.2009 | | Autor: | Phorkyas |
Grüße!
Ich habe eine Verständnisfrage zu punktweise bzw. gleichmäßig konvergenten Funktionsfolgen.
Und zwar ist mir der Unterschied nicht ganz klar oder besser nach meinem derzeitigen Verständnis wären punktweise und gleichmäßige Konvergenz äquivalent.
Da ein Lösungsansatz gewünscht ist hier einfach mal ein (wohl falscher) "Beweis" für die äquivalenz:
Behauptung:
[mm]f_{n}(x)[/mm] konvergiert punktweise gegen 0 [mm]\gdw f_{n}(x) [/mm]konvergiert gleichmäßig gegen 0
"Beweis"
"[mm]\Rightarrow[/mm]" [mm]f_{n}(x)[/mm] konvergiert punktweise gegen 0, d.h: [mm]\forall \varepsilon>0 \forall x \in [a,b] \exists N \in \IN \forall n \ge N : |f_{n}(x)| \le \varepsilon[/mm]
Sei nun [mm]\Delta_{\varepsilon , f_{n}}(x) [/mm] gegeben durch:
[mm]\Delta_{\varepsilon , f_{n}}(x) [/mm]:[a,b][mm]\to \IN[/mm]
[mm]x \mapsto \Delta_{\varepsilon , f_{n}}(x):=min\{N \in \IN | \forall n \ge N: |f_{n}(x)| \le \varepsilon\}[/mm]
Sei auserdem:
[mm]\mu_{\varepsilon , f_{n}}:=max\{\Delta_{\varepsilon , f_{n}}(x) | x \in [a,b]\}[/mm]
Für alle Punkte [mm]x_{0}[/mm] für die gilt:
[mm]\forall \varepsilon>0 \forall x_{0} \in [a,b] \exists N_{1} \in \IN \forall n \ge N_{1} : |f_{n}(x)| \le \varepsilon[/mm]
mit [mm]N_{1} < \Delta_{\varepsilon , f_{n}}(x)[/mm] gilt automatisch auch
[mm]\forall \varepsilon>0 \forall x_{0} \in [a,b] \forall n \ge \mu_{\varepsilon , f_{n}} : |f_{n}(x)| \le \varepsilon[/mm]
Dann gilt aber auch [mm]\forall x \in [a,b][/mm]:
[mm]\forall \varepsilon>0 \forall x \in [a,b] \forall n \ge \mu_{\varepsilon , f_{n}} : |f_{n}(x)| \le \varepsilon[/mm]
[mm]\gdw \forall \varepsilon>0 \forall n \ge \mu_{\varepsilon , f_{n}} \forall x \in [a,b] : |f_{n}(x)| \le \varepsilon[/mm]
[mm]\Rightarrow \forall \varepsilon>0 \exists N \in \IN \forall n \ge N \forall x \in [a,b] : |f_{n}(x)| \le \varepsilon[/mm]
[mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen o
"[mm]\Leftarrow[/mm]" Folgt aus Definition
Über eine Erläuterung wo der Fehler im Beweis ist würde ich mich freuen, aber auch über ein (möglichst anschauliches) Beispiel einer Funktionsfolge, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert.
Im vorraus danke ich.
Phorkyas
P.S.
Ich habe mir nicht die Mühe gemacht dieses ganze Ding in noch ein Forum zu Tippen.
Will heißen: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
P.P.S
-.-
Natürlich direkt mal ins falsche Unterforum gestellt.
War ein versehen, sollte nur nach "HochschulAnalysis" da ich das scheinbar selbst nicht verschieben kann könnte vieleicht ein Moderator der gerade Lust hat das ganze mal bewegen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 So 08.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
hier beispiele:
[mm]f_n(x): x \to x^n[/mm]
konvergiert im Intervall [mm][0,1][/mm] punktweise gegen die folgende Grenzfunktion:
[mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 1 \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } x = 1 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
denn
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x^n = 0 \forall x \in [0,1) und \limes_{n\rightarrow\infty} 1^n = 1[/mm]
konvergiert aber nicht gleichmäßig
das nächste:
[mm]f_n(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le \mbox{ n} \\ 1, & \mbox{für } x > \mbox{ n} \end{cases}[/mm]
konvergiert punktweise gegen f(x) = 0 für jedes x , aber nicht gleichmäßig.
Das zweite Beispiel zeigt schön, wo das problem in deinem Beiweis steckt! Hier existiert eben kein N ab dem für alle größeren n gilt, dass [mm] |f_n(x)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] !
So und jetzt der wesentlich Unterschied:
bei Punktweiser Konvergenz hängt die Konvergenzgeschwindigkeit also N nicht nur vom vorgegeben [mm] \epsilon [/mm] ab, sondern auch von x, bei gleichmäßiger Konvergenz hängt N nur von [mm] \epsilon [/mm] ab.
Beispiel:
[mm]f(x) = x[/mm]
[mm]f_n(x) = x + \bruch{1}{n}[/mm]
Gleichmäßige Konvergenz ist also eine stärker Forderung und impliziert punkweise Konvergenz.
hoffe das hilft
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Phorkyas |
Ahja danke, das zweite Beispiel hat es relativ klar gemacht.
Nurnoch eine kleine weitere Frage zur Kontrolle:
Wenn ich jetzt eine Funktion auf einer endlichen Menge definieren würde, dann wären aber punktförmige und gleichmäßiige Konvergenz äquivalent richtig?
Denn dann müsste ich ja ein größtes N finden aber dem die Bedingung für alle x erfüllt ist.
Danke für die ausführliche Antwort und viele grüße
Phorkyas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 09.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ahja danke, das zweite Beispiel hat es relativ klar
> gemacht.
>
> Nurnoch eine kleine weitere Frage zur Kontrolle:
> Wenn ich jetzt eine Funktion auf einer endlichen Menge
> definieren würde, dann wären aber punktförmige und
> gleichmäßiige Konvergenz äquivalent richtig?
Richtig. Nur sagt man "punktweise" statt "punktförmig"
FRED
> Denn dann müsste ich ja ein größtes N finden aber dem die
> Bedingung für alle x erfüllt ist.
>
> Danke für die ausführliche Antwort und viele grüße
> Phorkyas
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