Konvergenz von Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Man untersuche, ob die folgenden Integrale konvergieren oder divergieren.
[mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} dx} [/mm] |
Ich beginne mit folgender Abschätzung und wähle als nützliches Vergleichskriterium, das Majorantenkriterium.
Wenn du mich fragst wieso ich das wähle, habe ich leider keine Antwort drauf...
Also:
0 [mm] \le \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} \le \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
Halt nach oben abgeschätzt, wie man das so im Majorantenkriterium macht.
( Also Zähler größer, Nenner kleiner )
Sei t>1
[mm] \integral_{1}^{t}{ \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} dx} \le \integral_{1}^{t} \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] dx = [mm] \integral_{1}^{t} \bruch{1}{\wurzel{x}}dx [/mm] = [mm] 2\wurzel{x}
[/mm]
=...
=-2 + [mm] 2\wurzel{t}
[/mm]
So nun muss ich für [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] abschätzen.
Da kommt doch Unendlich raus ??? Also divergiert dieses Integral...
Ich bitte um eine anschauliche Erklärung.
Ich danke im Voraus.
Gruß yuppi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Bei der Integration natürlich :
[mm] \bruch{1}{2} \wurzel{x}
[/mm]
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Erstens hast du nicht beachtet, daß der Cosinus auch negative Werte annimmt, und zweitens kannst du mit einer Majoranten nicht auf Divergenz testen. Dazu wäre eine Minorante erforderlich.
Hier empfiehlt sich ein anderes Vorgehen: Substituiere [mm]x = t^2[/mm] und vergleiche mit den ![[]](/images/popup.gif) Fresnelschen Integralen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 So 22.07.2012 | | Autor: | abakus |
> Man untersuche, ob die folgenden Integrale konvergieren
> oder divergieren.
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
> Ich
> beginne mit folgender Abschätzung und wähle als
> nützliches Vergleichskriterium, das Majorantenkriterium.
>
> Wenn du mich fragst wieso ich das wähle, habe ich leider
> keine Antwort drauf...
>
> Also:
>
> 0 [mm]\le \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} \le \bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
Hallo,
das gesuchte Integral ist die Summe aus (vorzeichenbehafteten) Flächenstücken, die abwechselnd positiv und negativ zählen (zwischen je zwei Nullstellen der Kosinusfunktion). Dabei ist nimmt der Betrag dieser Teilflächen von Nullstelle zu Nullstelle ab (und geht letztendlich gegen Null).
Das müsste in einer Art Analogie zum Leibniskriterium funktionieren.
Betrachte mal unter diesem Aspekt
[mm]\integral_{1}^{0,5\pi}{ \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{0,5\pi}^{1,5\pi}{ \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{1,5\pi}^{2,5\pi}{ \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} dx}+\integral_{2,5\pi}^{3,5\pi}{ \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} dx}+...[/mm]
Gruß Abakus
>
> Halt nach oben abgeschätzt, wie man das so im
> Majorantenkriterium macht.
> ( Also Zähler größer, Nenner kleiner )
>
> Sei t>1
>
> [mm]\integral_{1}^{t}{ \bruch{cos(x)}{\wurzel{x}} dx} \le \integral_{1}^{t} \bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
> dx = [mm]\integral_{1}^{t} \bruch{1}{\wurzel{x}}dx[/mm] =
> [mm]2\wurzel{x}[/mm]
> =...
> =-2 + [mm]2\wurzel{t}[/mm]
>
>
> So nun muss ich für [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}[/mm]
> abschätzen.
>
> Da kommt doch Unendlich raus ??? Also divergiert dieses
> Integral...
>
> Ich bitte um eine anschauliche Erklärung.
>
> Ich danke im Voraus.
>
> Gruß yuppi
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Danke eure Antworten. Aber kann sich jemand auf mein Lösungsweg beziehen ? Vielleicht ist ja eine Abschätzung oder so falsch...
In der Übung haben wir das immer über diese Methode gemacht.
Vielleicht ist es in diesem Fall so, das man besser keine Abschätzung machen sollte, da sich das Integral auch so lösen lässt.
Also kann man sozusagen die allg. gültige Regel herleiten:
Wenn das Integral über eine Integrationsmethode integrierbar ist, integrieren wir dieses. Und schätzen dann ab.
Gruß yuppi.
Würd das Thema gerne abschließen.
Danke im Voraus
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Die Abschätzung [mm]0 \leq \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \leq \frac{1}{\sqrt{x}}[/mm] ist offensichtlich falsch. Beispiel: [mm]x = \pi[/mm].
Auch wenn du zu den Beträgen übergehst:
[mm]0 \leq \frac{\left| \cos x \right|}{\sqrt{x}} \leq \frac{1}{\sqrt{x}}[/mm]
nützt dir das nichts. Jetzt stimmt zwar die Abschätzung, aber das Integral über den letzten Term divergiert. Und mit einer divergenten Majorante kann man nichts anfangen, man ist genauso klug wie zuvor. Das sagte ich alles bereits in meinem ersten Beitrag.
Du kannst jetzt meinen Vorschlag oder den von Abakus weiterverfolgen.
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