Konvergenz von Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | ermitteln Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] fuer welche folgende Potenzreihe konvergiert:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n(x-2)^{n}} [/mm] |
hallo leute,
also bei der aufgabe hab ich ne idee, weiss aber nicht, ob das wirklich so gemacht werden darf.
zum einen hab ich mein [mm] x^{2n} [/mm] substituiert mit [mm] x^{2}=t [/mm] ergibt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{t^{n}}{n(\wurzel{t}-2)^{n}}
[/mm]
dann hab ich das ganze umgeformt in:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}*(\bruch{t}{\wurzel{t}-2})^{n}
[/mm]
jetzt meine frage, darf ich das ueberhaupt so aufschreiben und ist meine koeffizientenfolge dann [mm] a_{n}=\bruch{1}{n}
[/mm]
falls ja wuerde das ja bedeuten, dass r=1.
eingesetzt in meine reihe:
t=1 [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1^{n}}{n(\wurzel{1}-2)^{n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] = konvergent nach leibniz
fuer t=-1 kann ich keine aussage treffen, da ich [mm] \wurzel{-1} [/mm] betrachten muesste.
wenn ich nun ruecksubstituiere ist [mm] x^{2}=1 [/mm] also x=1 und x=-1
ist meine reihe nun konvergent fuer alle x [mm] \in [/mm] [-1,1] oder muesste ich die x nun nochmal konkret in die reihe einsetzen?
LG Jany :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 So 30.04.2006 | | Autor: | Janyary |
huhu,
weiss nicht jemand, ob ich die reihe so zerlegen darf? weil normalerweise steht das [mm] x^{n} [/mm] ja allein. (wenn [mm] x_{0}=0) [/mm] darf ich das bei substitution da ueberhaupt so zusammenfassen? hab keine vergleichbare aufgabe gefunden, wo das schonmal so vor kam. bitte gebt mir nen tipp.
vielen dank schonmal im vorraus
lg jany
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 So 30.04.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jany,
durch das Substituieren hast Du ja das Aussehen der Reihe verändert, wenn Du nach Deinem Schritt eine weitere Substitution einführst mit $$ w = [mm] \bruch{t}{\wurzel{t} -2} [/mm] $$ bist Du vom Aussehen her bei den bekannten Potenzialreihen und Deine Schlussfolgerung für den Konvergenzradius stimmt, nur ist dieser jetzt auf die Variable w bezogen. Du musst also schon wieder rückwärts die werte einsetzen, um zu einer entsprechenden Aussage für die Variable x zu kommen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 30.04.2006 | | Autor: | Janyary |
ok ich hab also [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}*w^{n} [/mm] mit r=1
fuer w=1 ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] divergent
fuer w=-1 ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] konvergent
also ist die reihe konvergent fuer w [mm] \in [/mm] [-1,1)
d.h. fuer [mm] \bruch{x^{2}}{x-2} \in [/mm] [-1,1)
ok hab mir gedacht um das ganze nach x aufzuloesen, stelle ich eine ungleichung auf.
1. [mm] \bruch{x^{2}}{x-2}\ge-1
[/mm]
[mm] x^{2}+x-2\ge0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=-0,5 \pm [/mm] 1,5
[mm] x_{1}=-2 [/mm]
[mm] x_{2}=1
[/mm]
2. [mm] \bruch{x^{2}}{x-2} [/mm] <1
[mm] x^{2}-x+2<0
[/mm]
liefert in [mm] \IR [/mm] keine Loesung.
d.h. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n(x-2)^n} [/mm] ist konvergent fuer alle x [mm] \in [/mm] [-2,1]
ist das so richtig?
LG Jany :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 30.04.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jany,
das sieht für mich ganz okay aus. Es kann halt mitunter nur unangenehm werden, die Rücksubstitution durchzuführen und die daraus entstehenden Ungleichungen zu lösen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 So 30.04.2006 | | Autor: | Janyary |
danke schoen :)
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