Konvergenz von Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Do 16.12.2004 | | Autor: | Xenia |
HI,
hab foldende Potenzreihen zu untersuchen, für welche x aus R konvergieren die und für welche nicht.
a) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}(-1)^{n-1}\bruch{ x^{n}}{n}[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n^{2}} [/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\vektor{2n \\ n}x^{n}[/mm]
Welche Kriterien soll ich hier anwenden? Bitte ein paar Tips!
Vielen Dank!!!
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Hi Xenia!
zu A) $ [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}(-1)^{n-1}\bruch{ x^{n}}{n} [/mm] $ ist doch nichts anderes als $ [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{(-1)^{n-1}}{n} x^{n} [/mm] $.
Dann einfach die bekannten Kriterien anwenden (z.B. was ist wohl $ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{(-1)^{n-1}}{n}} [/mm] $ ?)
zu B) Substitution (z.B. $ u = [mm] n^{2} [/mm] $), die Summe geht sowieso bis $ [mm] \infty [/mm] $
Natürlich nicht die Rücksubstitution vergessen.
zu C) Sobald ein Binomialkoeffizient auftaucht, würde ich grundsätz vom Wurzelkriterium abraten. Aber dafür gibt was viel geschickteres mit Quotienten 
Und noch ein Zusatztipp: Wenn du z.B. noch dazugeschrieben hättest, was du dir bislang dazu gedacht hast, dann hätte ich viel besser auf deine Fragen eingehen können. Ich weiss ja nicht, welche Kriterien du kennst und wieviel du bisher mit Potenzreihen gemacht hast
Gruss,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Do 16.12.2004 | | Autor: | Edi1982 |
Zu dem oben kommt noch:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n^{2}} [/mm] ist immer positiv.
egal ob x pos. oder neg.,
da [mm] n^{2}
[/mm]
Viele Grüße vom Prof. Freitag
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