Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Di 22.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und geben Sie deren Wert an.
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!}
[/mm]
b) [mm] \summe_{m=1}^{\infty} \bruch{-2^{m}}{m}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} (\wurzel[n]{2}-1)
[/mm]
e) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} [/mm] |
hallo,
ich muss für eine klausur konvergenz angeben und habe nun ein paar übungsaufgaben.... nun will ich sie mal versuchen zu lösen und hoffe, dass ihr mal drüber schauen könnt..wäre echt nett...
p.s. ich habe so einige fehler bei den lösungen....
gruß smuji
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!}
[/mm]
am besten das quotientenkriterium nutzen...
[mm] \bruch{\bruch{3^{k+1}}{(k+1)!}}{\bruch{3^{k}}{k!}}
[/mm]
umstellen nach:
[mm] \bruch{3^{k+1}*k!}{(k+1)! * 3^{k}}
[/mm]
nun kürzen und ich erhalte:
[mm] \bruch{3}{(k+1)}
[/mm]
nun für k = 1 einsetzen und ich erhalte:
[mm] \bruch{3}{(1+1)} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = q = wenn q < 1 = konvergent absolut, da aber q > 1 , ist die reihe divergent und deren wert ist
[mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
b) [mm] \summe_{m=1}^{\infty} \bruch{-2^{m}}{m}
[/mm]
wieder quotientenkriterium
[mm] \bruch{\bruch{-2^{m+1}}{m+1}}{\bruch{-2^{m}}{m}}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \bruch{-2^{m+1} * m}{(m+1) * -2^{m}}
[/mm]
kürzen:
[mm] \bruch{-2 * m}{m+1}
[/mm]
m = 1
[mm] \bruch{-2 * 1}{1+1} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{2} [/mm] = -1 = q = q < 1 = konvergiert absoult und der wert ist -1
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}
[/mm]
quotientenkriterium
[mm] \bruch{\bruch{k+1}{2^{k+1}}}{\bruch{k}{2^{k}}}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \bruch{(k+1) * 2^{k} }{2^{k+1} * k}
[/mm]
kürzen:
[mm] \bruch{k+1}{2 * k} [/mm] = [mm] \bruch{1+1}{2 * 1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{2} [/mm] = 1 = q
da q = 1 ..ehm weder konvergent noch divergent ?!? oder was passiert in diesem fall ?
der wert = 1
d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} (\wurzel[n]{2}-1)
[/mm]
hier, leibnitzkriterium...
folge muss monotone nullfolge sein.
d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] MUSS = 0 sein
+
monotonie feststellen mit hilfe:
an [mm] \ge [/mm] an+1
also,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} (\wurzel[n]{2}-1)
[/mm]
der alternierende vorfaktor ist zu vernachlässigen, da dieser nut das vorzeichen wechselt...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2}-1
[/mm]
n. wurzel aus 2 geht gegen 1 und 1 - 1 = 0
nun,
[mm] \wurzel[n]{2}-1 \ge \wurzel[n+1]{2}-1
[/mm]
da die n+1. wurzel noch ein kleines bisschen kleiner ist als nur die n.
also ist die reihe konvergent und deren wert = 0
e) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}
[/mm]
wurzelkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{an}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}}
[/mm]
wurzel auflösen:
[mm] \bruch{-1 * (-1)^{1}}{2 * 2^{-1}}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1 = k = k ist weder größer noch kleiner als 1, sondern gleich, also weder divergent , noch konvergent und der wert der reihe ist 1
|
|
| |
|
Hallo,
> Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und geben
> Sie deren Wert an.
>
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{m=1}^{\infty} \bruch{-2^{m}}{m}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} (\wurzel[n]{2}-1)[/mm]
>
> e) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}[/mm]
>
> hallo,
>
> ich muss für eine klausur konvergenz angeben und habe nun
> ein paar übungsaufgaben.... nun will ich sie mal versuchen
> zu lösen und hoffe, dass ihr mal drüber schauen
> könnt..wäre echt nett...
>
> p.s. ich habe so einige fehler bei den lösungen....
>
> gruß smuji
>
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!}[/mm]
>
> am besten das quotientenkriterium nutzen...
Nö, am Besten an die e-Funktion denken.
>
> [mm]\bruch{\bruch{3^{k+1}}{(k+1)!}}{\bruch{3^{k}}{k!}}[/mm]
>
> umstellen nach:
>
> [mm]\bruch{3^{k+1}*k!}{(k+1)! * 3^{k}}[/mm]
>
>
> nun kürzen und ich erhalte:
>
> [mm]\bruch{3}{(k+1)}[/mm]
>
>
> nun für k = 1 einsetzen und ich erhalte:
Wieso das denn?
> [mm]\bruch{3}{(1+1)}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] = q = wenn q < 1 =
> konvergent absolut, da aber q > 1 , ist die reihe
> divergent und deren wert ist
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
??? Entweder die Reihe ist divergent dann hat sie keinen Wert oder sie ist konvergent und hat einen Wert.
Bitte entscheide dich.
>
> b) [mm]\summe_{m=1}^{\infty} \bruch{-2^{m}}{m}[/mm]
Bitte Klammern setzen. Du meinst wohl [mm] $(-2)^m$. [/mm] Es ist [mm] $-2^m=(-2)^m$ [/mm] nur für ungerade m.
> wieder quotientenkriterium
>
> [mm]\bruch{\bruch{-2^{m+1}}{m+1}}{\bruch{-2^{m}}{m}}[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\bruch{-2^{m+1} * m}{(m+1) * -2^{m}}[/mm]
>
> kürzen:
>
> [mm]\bruch{-2 * m}{m+1}[/mm]
>
> m = 1
Siehe oben. Was soll dieses Einsetzen von m=1?.
Damit berechnest du de facto [mm] $\frac{a_2}{a_1}$ [/mm] was mit Konvergenz gar nichts zu tun hat. Bitte schlag das Quotientenkriteium nochmal nach.
> [mm]\bruch{-2 * 1}{1+1}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{2}[/mm] = -1 = q = q < 1 =
> konvergiert absolut und der wert ist -1
Nein. Im Quot.kriterium wird [mm] $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ [/mm] berechnet, da kann nichts negatives rauskommen.
>
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
>
>
> quotientenkriterium
>
>
> [mm]\bruch{\bruch{k+1}{2^{k+1}}}{\bruch{k}{2^{k}}}[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\bruch{(k+1) * 2^{k} }{2^{k+1} * k}[/mm]
>
> kürzen:
>
> [mm]\bruch{k+1}{2 * k}[/mm] = [mm]\bruch{1+1}{2 * 1}[/mm] = [mm]\bruch{2}{2}[/mm] = 1
> = q
Siehe oben.
> da q = 1 ..ehm weder konvergent noch divergent ?!? oder was
> passiert in diesem fall ?
Das hieße nur, dass das Quot. kriterium keine Aussage bzgl. Konvergenz oder Divergenz machen kann bzw. man sich den Quotienten noch genauer anschauen muss.
>
> der wert = 1
>
>
>
> d) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} (\wurzel[n]{2}-1)[/mm]
>
>
> hier, leibnitzkriterium...
>
> folge muss monotone nullfolge sein.
>
> d.h.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] MUSS = 0 sein
>
> +
>
> monotonie feststellen mit hilfe:
>
> an [mm]\ge[/mm] an+1
Was ist hier [mm] $a_n$?
[/mm]
>
> also,
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} (\wurzel[n]{2}-1)[/mm]
>
> der alternierende vorfaktor ist zu vernachlässigen, da
> dieser nut das vorzeichen wechselt...
Der Vorfaktor ist nicht zu vernachlässigen -ohne den könnte man das Leibnizkriterium gar nicht erst anwenden.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2}-1[/mm]
>
> n. wurzel aus 2 geht gegen 1 und 1 - 1 = 0
Schreibt man so:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[n]{2}-1)=-1+\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2}=-1+1=0[/mm].
Erste Gleichheit da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n+b_n)= \lim_{n \to \infty} a_n +\lim_{n \to \infty } b_n[/mm], die zweite da [mm] $\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} [/mm] =1$.
>
> nun,
>
> [mm]\wurzel[n]{2}-1 \ge \wurzel[n+1]{2}-1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> da die n+1. wurzel noch ein kleines bisschen kleiner ist
> als nur die n.
Das ist keine Begründung, es ist die Wiedergabe der Behauptung.
$\sqrt[n]{2}> \sqrt[n+1]{2}$ ist äquivalent zu $\frac{2^{1/n} } }{2^{1/(n+1)} >1 \Leftrightarrow 2^{1/n-1/(n+1)} > 1 \Leftrightarrow 2^{1/n(n+1)} > 1$ und das gilt da $a^x>1$ für a>1 und x>0.
> also ist die reihe konvergent und deren wert = 0
Wie kommst du auf den Reihenwert?
>
> e) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}[/mm]
>
> wurzelkriterium:
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{an}[/mm]
Nein. Zum einen betrachtet man eigentlich den Limes superior und nicht den Limes,
zum Anderen vergisst du wieder den Betrag zu setzen.
> daraus folgt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}}[/mm]
Die Wurzel ist für gerade n nicht definiert, dementsprechend auch der Limes nicht.
>
> wurzel auflösen:
Und wie machst du das denn?
> [mm]\bruch{-1 * (-1)^{1}}{2 * 2^{-1}}[/mm]
>
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1 = k = k ist weder größer noch kleiner
> als 1, sondern gleich, also weder divergent , noch
> konvergent und der wert der reihe ist 1
Unsinn, bereits kommentiert wieso.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Di 22.07.2014 | | Autor: | Smuji |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
habe eben nochmal die formel nachgeschaut und direkt gemerkt was mein fehler war...hoffe ich zumindest...
ich hatte immer für die varibelen den wert 1 eingesetzt..warum auch immer....
es geht ja im limessup gegen unendlich.... nix mit 1
zu a) das mit der e-funktion raff ich nicht und möchte auch ungern noch 24 stunden mich damit beschäftigen, WENN es mit den bisher falsch angewandten kriterien auch möglich ist...
wir waren bei:
$ \bruch{3}{(k+1)} $
nun muss ich für k = \infty wählen und dann geht der term gegen 0 ....das würde dann konvergenz bedeuten und der wert der reihe wäre,,,, 0 ?
zu b) ..ja hast recht, habe die klammer vergessen
wir waren nun bei
$ \bruch{-2 \cdot{} m}{m+1} $
dort wähle ich für m = \infty und erhalte:
$ \bruch{-2 \cdot{} \infty}{\infty+1} $
würde ich nun \infty ausklammern und kürzen, sähe es so aus
$ \bruch{\bruch{-2}{\infty} * 1}{1+\bruch{1}{\infty}} $
funktioniert das ausklammern beim term im zähler überhaupt ?? wenn ja, wäre das ergebnis ja \bruch{0}{1} und das geht ja nicht......
oder lass ich dieses ausklammern sein, da ja oben eine multiplikation ist und ich setze einfach \infty oben und unten ein und erhalte = 1 ???
c) schon wieder 1 eingesetzt, man....
also bei $ \bruch{k+1}{2 \cdot{} k} $
ist das nicht das gleiche wie :
\bruch{1}{2} * \bruch{k+1}{k}
für k = \infty
\bruch{1}{2} * \bruch{\infty+1}{\infty}
= \bruch{1}{2} ?
d) diesen schritt verstehe ich nicht ganz, besonders das im nenner
Das ist keine Begründung, es ist die Wiedergabe der Behauptung.
$ \sqrt[n]{2}> \sqrt[n+1]{2} $ ist äquivalent zu $ \frac{2^{1/n}}{2^{1/(n+1)}>1 \Leftrightarrow 2^{1/n-1/(n+1)} > 1 \Leftrightarrow 2^{1/n(n+1)} > 1 $ und das gilt da $ a^x>1 $ für a>1 und x>0.
> also ist die reihe konvergent und deren wert = 0
wie ich auf den reihenwert komme ? weil der limes gegen 0 ging ?!?
zu e) ehm, wie macht man es denn sonst ?
Nein. Zum einen betrachtet man eigentlich den Limes superior und nicht den Limes,
zum Anderen vergisst du wieder den Betrag zu setzen.
> daraus folgt:
>
> $ \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}} $
Die Wurzel ist für gerade n nicht definiert, dementsprechend auch der Limes nicht.
>
> wurzel auflösen:
Und wie machst du das denn?
> $ \bruch{-1 \cdot{} (-1)^{1}}{2 \cdot{} 2^{-1}} $
ja sehe selbst, sinnlos was ich da mache...
wie löse ich die aufgabe sonst ?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
Hallo,
> habe eben nochmal die formel nachgeschaut und direkt
> gemerkt was mein fehler war...hoffe ich zumindest...
>
> ich hatte immer für die varibelen den wert 1
> eingesetzt..warum auch immer....
>
> es geht ja im limessup gegen unendlich.... nix mit 1
>
>
> zu a) das mit der e-funktion raff ich nicht und möchte
> auch ungern noch 24 stunden mich damit beschäftigen, WENN
> es mit den bisher falsch angewandten kriterien auch
> möglich ist...
Mit "den anderen Kriterien" kannst du Konvergenz zeigen, aber wie willst du den Reihenwert berechnen?
Du weißt doch ganz ganz sicher, dass [mm]e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}[/mm] ist.
Das kannst du doch schnell auf deine Aufgabe übertragen. Achte darauf, dass die Summe bei dir nicht bei [mm]k=0[/mm], sondern bei [mm]k=1[/mm] losgeht ...
>
> wir waren bei:
>
> [mm]\bruch{3}{(k+1)}[/mm]
>
>
> nun muss ich für k = [mm]\infty[/mm] wählen
Brrr, grauselig
Du bildest den Limes für [mm]k\to\infty[/mm] ...
> und dann geht der term
> gegen 0 ....das würde dann konvergenz bedeuten ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, denn der GW, den du gem. dem Quotientenkriterium berechnet hast, ist [mm]q=0[/mm], und das ist [mm]<1[/mm]
Die Reihe ist damit absolut konvergent
> und der
> wert der reihe wäre,,,, 0 ?
Nein, die Grenzwerte, die QK oder WK ergeben, habe gar nix mit dem Reihenwert zu tun ...
>
>
> zu b) ..ja hast recht, habe die klammer vergessen
>
> wir waren nun bei
>
> [mm]\bruch{-2 \cdot{} m}{m+1}[/mm]
????
Wie können negative Zahlen in einem aufgelösten Betrag auftreten?
Mein Vorredner hat doch geschrieben, dass nicht [mm]\frac{a_{m+1}}{a_m}[/mm], sondern [mm]\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right|[/mm] betrachtet wird.
Daraus schließe ich, dass du Antworten nicht genau liest, was das Helfen sinnlos macht ...
>
> dort wähle ich für m = [mm]\infty[/mm] und erhalte:
[mm]\infty[/mm] ist keine Zahl, das kannst du also nicht einsetzen ...
Klammere in Zähler und Nenner [mm]m[/mm] aus, kürze es weg und lasse dann [mm]m\to\infty[/mm] laufen ...
>
> [mm]\bruch{-2 \cdot{} \infty}{\infty+1}[/mm]
>
> würde ich nun [mm]\infty[/mm] ausklammern und kürzen,
Brrr. Grausamste Vergewaltigung der Mathematik ...
[mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck, das kann alles und nichts sein ...
> sähe es so
> aus
>
> [mm]\bruch{\bruch{-2}{\infty} * 1}{1+\bruch{1}{\infty}}[/mm]
>
> funktioniert das ausklammern beim term im zähler
> überhaupt ?? wenn ja, wäre das ergebnis ja [mm]\bruch{0}{1}[/mm]
> und das geht ja nicht......
>
> oder lass ich dieses ausklammern sein, da ja oben eine
> multiplikation ist und ich setze einfach [mm]\infty[/mm] oben und
> unten ein
Und in der Mitte und an den Seiten ...
Mann Mann. Winke, winke, willkommen im Teletubbieland ...
> und erhalte = 1 ???
Nein, es ist [mm]\lim\limits_{m\to\infty}{\frac{-2m}{m+1}=-2[/mm]
>
>
>
>
> c) schon wieder 1 eingesetzt, man....
>
> also bei [mm]\bruch{k+1}{2 \cdot{} k}[/mm]
>
>
> ist das nicht das gleiche wie :
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch{k+1}{k}[/mm]
>
>
> für k = [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch{\infty+1}{\infty}[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ?
Ja, aber wieso ist hier [mm]"\frac{\infty+1}{\infty}" \ = \ 1[/mm] ??
Begründe das! Geht analog wie bei b)
>
>
>
> d) diesen schritt verstehe ich nicht ganz, besonders das im
> nenner
>
> Das ist keine Begründung, es ist die Wiedergabe der
> Behauptung.
>
> [mm]\sqrt[n]{2}> \sqrt[n+1]{2}[/mm] ist äquivalent zu
> [mm]\frac{2^{1/n}}{2^{1/(n+1)}>1 \Leftrightarrow 2^{1/n-1/(n+1)} > 1 \Leftrightarrow 2^{1/n(n+1)} > 1[/mm]
Das ist schlimm eingegeben ...
[mm]\sqrt[n]{2}>\sqrt[n+1]{2} \ \iff \ \frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n+1]{2}}>1[/mm]
[mm]\iff \frac{2^{1/n}}{2^{1/(n+1)}}>1[/mm]
[mm]\iff 2^{1/n-1/(n+1)}>1[/mm] ...
wegen [mm] $a^m/a^n=a^{m-n}$
[/mm]
> und das gilt da [mm]a^x>1[/mm] für a>1 und x>0.
> > also ist die reihe konvergent und deren wert = 0
>
>
>
> wie ich auf den reihenwert komme ? weil der limes gegen 0
> ging ?!?
Nein, Reihenwert und Grenzwerte irgendwelcher Konvergenzkriterien haben nix miteinander zu tun.
Jede Ähnlichkeit oder Gleichheit ist rein zufällig 
>
>
> zu e) ehm, wie macht man es denn sonst ?
Siehe meine andere Antwort ...
>
> Nein. Zum einen betrachtet man eigentlich den Limes
> superior und nicht den Limes,
> zum Anderen vergisst du wieder den Betrag zu setzen.
> > daraus folgt:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}}[/mm]
>
> Die Wurzel ist für gerade n nicht definiert,
> dementsprechend auch der Limes nicht.
> >
> > wurzel auflösen:
>
> Und wie machst du das denn?
> > [mm]\bruch{-1 \cdot{} (-1)^{1}}{2 \cdot{} 2^{-1}}[/mm]
>
>
> ja sehe selbst, sinnlos was ich da mache...
>
>
> wie löse ich die aufgabe sonst ?
>
>
> gruß smuji
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
hallo, danke erstmal für deine antwort...das ist nicht weil ich eure hilfestellungen nicht lese, sondern oft nicht VERSTEHE..... das ist das gleiche wie wenn ich wikipedia lese...das kann ich mir 10 jahre durchlesen und verstehe nix....
ich hatte mir im letzten jahr ein mathebuch gekauft und habe knapp 500 seiten durchgearbeitet...mit übungen und .co.... und es ging in die hose...
dieses jahr habe ich mit videos gearbeitet und fühle mich viel besser, als im letzten jahr.....
zu deiner aussage:
> $ [mm] \bruch{-2 \cdot{} m}{m+1} [/mm] $
????
Wie können negative Zahlen in einem aufgelösten Betrag auftreten?
das beudetet, ich hätte den betrag stehen lassen sollen ? also , die betragsstriche beibehalten? oder hätte ich die -2 positiv machen sollen ?
zu b)
ja sorry dass ich immer sage [mm] \infty [/mm] einsetzen....besser hört sich es wohl an, wenn ich sage k geht gegen [mm] \infty
[/mm]
wenn ich bei [mm] |\bruch{-2 \cdot{} m}{m+1}|
[/mm]
m ausklammere,erhalte ich doch
| [mm] \bruch{m*(-2)}{m*(1+\bruch{1}{m})}|
[/mm]
dann kürze ich das ausgeklammerte m und es verschwindet(hoffe keine mathematische vergewaltigung)
[mm] |\bruch{(-2)}{(1+\bruch{1}{m})}|
[/mm]
wenn ich nun m gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen, geht der term [mm] |\bruch{1}{m}| [/mm] gegen 0
[mm] |\bruch{(-2)}{(1)}|
[/mm]
und ich erhalte|-2|,, somit kleiner als 1 und absolut konvergent ...richtig so mit dien betragszeichen überall ?
zu deiner frage:
Ja, aber wieso ist hier $ [mm] "\frac{\infty+1}{\infty}" [/mm] \ = \ 1 $ ??
Begründe das! Geht analog wie bei b)
ich habe es eben nochmal durchgerechnet, ich klammere einfach k aus und überig bleibt
[mm] \bruch{k*(1+\bruch{1}{k})}{k(2)}
[/mm]
wenn ich nun k gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse, geht [mm] \bruch{1}{k} [/mm] gegen 0
und übrig bleibt [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
zu deiner aussage:
Nein, Reihenwert und Grenzwerte irgendwelcher Konvergenzkriterien haben nix miteinander zu tun.
Jede Ähnlichkeit oder Gleichheit ist rein zufällig
wie bestimme ich den reihenwert ? dieser ist doch abhängig von den zahlen, die man nutzt ?!? das muss man bestimmt irgendwie in einer allgemeinen form angeben...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> hallo, danke erstmal für deine antwort...das ist nicht
> weil ich eure hilfestellungen nicht lese, sondern oft nicht
> VERSTEHE..... das ist das gleiche wie wenn ich wikipedia
> lese...das kann ich mir 10 jahre durchlesen und verstehe
> nix....
>
> ich hatte mir im letzten jahr ein mathebuch gekauft und
> habe knapp 500 seiten durchgearbeitet...mit übungen und
> .co.... und es ging in die hose...
>
> dieses jahr habe ich mit videos gearbeitet und fühle mich
> viel besser, als im letzten jahr.....
>
>
> zu deiner aussage:
>
> > [mm]\bruch{-2 \cdot{} m}{m+1}[/mm]
>
> ????
>
> Wie können negative Zahlen in einem aufgelösten Betrag
> auftreten?
>
>
>
> das beudetet, ich hätte den betrag stehen lassen sollen ?
> also , die betragsstriche beibehalten? oder hätte ich die
> -2 positiv machen sollen ?
>
$ [mm] |\bruch{-2 \cdot{} m}{m+1}| [/mm] $= $ [mm] \bruch{2 \cdot{} m}{m+1} [/mm] $
>
>
>
>
> zu b)
>
> ja sorry dass ich immer sage [mm]\infty[/mm] einsetzen....besser
> hört sich es wohl an, wenn ich sage k geht gegen [mm]\infty[/mm]
>
>
> wenn ich bei [mm]|\bruch{-2 \cdot{} m}{m+1}|[/mm]
>
>
> m ausklammere,erhalte ich doch
>
> | [mm]\bruch{m*(-2)}{m*(1+\bruch{1}{m})}|[/mm]
>
>
> dann kürze ich das ausgeklammerte m und es
> verschwindet(hoffe keine mathematische vergewaltigung)
>
> [mm]|\bruch{(-2)}{(1+\bruch{1}{m})}|[/mm]
>
>
> wenn ich nun m gegen [mm]\infty[/mm] laufen lassen, geht der term
> [mm]|\bruch{1}{m}|[/mm] gegen 0
>
> [mm]|\bruch{(-2)}{(1)}|[/mm]
>
> und ich erhalte|-2|,, somit kleiner als 1
Nein ! |-2|=2
> und absolut
> konvergent ...richtig so mit dien betragszeichen überall
> ?
>
>
>
>
>
> zu deiner frage:
>
> Ja, aber wieso ist hier [mm]"\frac{\infty+1}{\infty}" \ = \ 1[/mm]
> ??
>
> Begründe das! Geht analog wie bei b)
>
>
> ich habe es eben nochmal durchgerechnet, ich klammere
> einfach k aus und überig bleibt
>
>
> [mm]\bruch{k*(1+\bruch{1}{k})}{k(2)}[/mm]
>
>
> wenn ich nun k gegen [mm]\infty[/mm] laufen lasse, geht [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
> gegen 0
>
> und übrig bleibt [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
> zu deiner aussage:
>
>
> Nein, Reihenwert und Grenzwerte irgendwelcher
> Konvergenzkriterien haben nix miteinander zu tun.
>
> Jede Ähnlichkeit oder Gleichheit ist rein zufällig
>
>
>
> wie bestimme ich den reihenwert ? dieser ist doch abhängig
> von den zahlen, die man nutzt ?!? das muss man bestimmt
> irgendwie in einer allgemeinen form angeben...
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?i=1030462
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
vielen dank, dieser post hat mir die erleuchtung um 2 m näher gebracht....werde noch ein paar mal solche aufgaben rechnen
und versuche später mal zu den ganzen aufgaben die werte der reihen zu bestimmen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo,
ich hätte nochmal eine frage zu:
> $ \sqrt[n]{2}> \sqrt[n+1]{2} $ ist äquivalent zu
> $ \frac{2^{1/n}}{2^{1/(n+1)}>1 \Leftrightarrow 2^{1/n-1/(n+1)} > 1 \Leftrightarrow 2^{1/n(n+1)} > 1 $
Das ist schlimm eingegeben ...
$ \sqrt[n]{2}>\sqrt[n+1]{2} \ \iff \ \frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n+1]{2}}>1 $
$ \iff \frac{2^{1/n}}{2^{1/(n+1)}}>1 $
$ \iff 2^{1/n-1/(n+1)}>1 $ ...
wegen $ a^m/a^n=a^{m-n} $
ich hatte die aufgabe ja soweit "berechnet"
bis ich bei:
\sqrt[n]{2} -1 >\sqrt[n+1]{2} -1 > 0
angekommen bin.... nun muss ich ja alles was rechts ist, nach links holen...zumindest macht es der kerl hier :https://www.youtube.com/watch?v=2FnktHwOoVU so....
nur wie kommst du auf diesen bruch ? und warum > 1 ? muss doch nur größer als 0 sein ?!?
und wo ist deine -1 ?
also ich würde das so machen:
+1 damit die eins weg ist... dann bleibt
\sqrt[n]{2}>\sqrt[n+1]{2} > 0
wenn ich nun den rechten term rüber bringen will, rechne ich doch einfach
- \sqrt[n+1]{2}
=
\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2} > 0
???!??? =(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mi 23.07.2014 | | Autor: | hippias |
> hallo,
>
> ich hätte nochmal eine frage zu:
>
>
> > [mm]\sqrt[n]{2}> \sqrt[n+1]{2}[/mm] ist äquivalent zu
> > [mm]\frac{2^{1/n}}{2^{1/(n+1)}>1 \Leftrightarrow 2^{1/n-1/(n+1)} > 1 \Leftrightarrow 2^{1/n(n+1)} > 1[/mm]
>
> Das ist schlimm eingegeben ...
>
> [mm]\sqrt[n]{2}>\sqrt[n+1]{2} \ \iff \ \frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n+1]{2}}>1[/mm]
>
> [mm]\iff \frac{2^{1/n}}{2^{1/(n+1)}}>1[/mm]
>
> [mm]\iff 2^{1/n-1/(n+1)}>1[/mm] ...
>
> wegen [mm]a^m/a^n=a^{m-n}[/mm]
>
> ich hatte die aufgabe ja soweit "berechnet"
>
> bis ich bei:
>
> [mm]\sqrt[n]{2}[/mm] -1 [mm]>\sqrt[n+1]{2}[/mm] -1 > 0
>
> angekommen bin.... nun muss ich ja alles was rechts ist,
> nach links holen...zumindest macht es der kerl hier
> :https://www.youtube.com/watch?v=2FnktHwOoVU so....
>
>
> nur wie kommst du auf diesen bruch ? und warum > 1 ? muss
> doch nur größer als 0 sein ?!?
> und wo ist deine -1 ?
>
> also ich würde das so machen:
>
> +1 damit die eins weg ist... dann bleibt
>
>
> [mm]\sqrt[n]{2}>\sqrt[n+1]{2}[/mm] > 0
>
> wenn ich nun den rechten term rüber bringen will, rechne
> ich doch einfach
>
> - [mm]\sqrt[n+1]{2}[/mm]
>
> =
>
> [mm]\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2}[/mm] > 0
>
>
> ???!??? =(
>
Die Ungleichung [mm] $\sqrt[n]{2} [/mm] -1 [mm] >\sqrt[n+1]{2} [/mm] -1$ hast richtig -d.i. aequivalent- zu [mm] $\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2}>0$ [/mm] umgeformt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
häää?!? nun, mit dieser antwort kann ich nichts anfangen...trotzdem danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Mi 23.07.2014 | | Autor: | hippias |
Wie lauetete denn die Frage?
|
|
|
| |
|
Hallo Smuji,
> hallo,
>
> ich hätte nochmal eine frage zu:
>
>
> > [mm]\sqrt[n]{2}> \sqrt[n+1]{2}[/mm] ist äquivalent zu
> > [mm]\frac{2^{1/n}}{2^{1/(n+1)}>1 \Leftrightarrow 2^{1/n-1/(n+1)} > 1 \Leftrightarrow 2^{1/n(n+1)} > 1[/mm]
>
> Das ist schlimm eingegeben ...
>
> [mm]\sqrt[n]{2}>\sqrt[n+1]{2} \ \iff \ \frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n+1]{2}}>1[/mm]
>
> [mm]\iff \frac{2^{1/n}}{2^{1/(n+1)}}>1[/mm]
>
> [mm]\iff 2^{1/n-1/(n+1)}>1[/mm] ...
>
> wegen [mm]a^m/a^n=a^{m-n}[/mm]
>
> ich hatte die aufgabe ja soweit "berechnet"
>
> bis ich bei:
>
> [mm]\sqrt[n]{2}[/mm] -1 [mm]>\sqrt[n+1]{2}[/mm] -1 > 0
>
> angekommen bin.... nun muss ich ja alles was rechts ist,
> nach links holen...zumindest macht es der kerl hier
> :https://www.youtube.com/watch?v=2FnktHwOoVU so....
>
>
> nur wie kommst du auf diesen bruch ? und warum > 1 ? muss
> doch nur größer als 0 sein ?!?
> und wo ist deine -1 ?
>
> also ich würde das so machen:
>
> +1 damit die eins weg ist... dann bleibt
>
>
> [mm]\sqrt[n]{2}>\sqrt[n+1]{2}[/mm] > 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn du überall 1 addierst, dann bitte auch auf der ganz rechten Seite ...
>
> wenn ich nun den rechten term rüber bringen will, rechne
> ich doch einfach
>
> - [mm]\sqrt[n+1]{2}[/mm]
>
> =
>
> [mm]\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2}[/mm] > 0
>
>
> ???!??? =(
Ok, es ging doch darum zu zeigen, dass die Folge der Reihenglieder monoton fallend ist, oder? Das war doch im Zuge des Leibnizkriteriums, wenn ich mich recht erinnere?!
Nennen wir die Folge der Reihenglieder mal allg. [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm], damit man nicht immer diese Wurzel ausschreiben muss
Um zu zeigen, dass die Folge (streng) monoton fallend ist, musst du zeigen, dass [mm]a_n \ > \ a_{n+1} \ (\star)[/mm]
Hier nun 2 Möglichkeiten:
1) Subtrahiere auf beiden Seiten [mm]a_{n+1}[/mm]
Damit: [mm](\star) \ \gdw a_n-a_{n+1} \ > \ 0[/mm]
2) Dividiere auf beiden Seiten durch [mm]a_{n+1}[/mm] - hier [mm]a_n>0[/mm] für alle n:
Also: [mm](\star) \ \underset{\text{hier}}{\gdw} \ \frac{a_n}{a_{n+1}} \ > \ 1[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, danke, aber ich blick noch nicht ganz durch wie das leibnizkriterium überhaupt funktioniert...bzw. was ich zeigen soll...
ich weiß soweit nur dass dann an [mm] \ge [/mm] an+ [mm] \ge [/mm] 0 sein muss... und das soll ich irgendwie zeigen oder beweisen.... nur wie genau...
[mm] \sqrt[n]{2}\ge\sqrt[n+1]{2} \ge [/mm] 0
nur was genau muss ich da machen...für MICH ist jetzt schon ersichtlich dass es stimmt.... aber ich muss das bestimmt irgendwie umformen.... habe einige videos gefunden, da lassen die ersteller die aufgabe so stehen und betrachten das als lösung/beweis.... ?!?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mi 23.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
> ok, danke, aber ich blick noch nicht ganz durch wie das
> leibnizkriterium überhaupt funktioniert...bzw. was ich
> zeigen soll...
Dann schau mal unter ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript.
>
> ich weiß soweit nur dass dann an [mm]\ge[/mm] an+ [mm]\ge[/mm] 0 sein
> muss... und das soll ich irgendwie zeigen oder beweisen....
> nur wie genau...
>
>
> [mm]\sqrt[n]{2}\ge\sqrt[n+1]{2} \ge[/mm] 0
Überlege zuerst mal, warum die Wurzeln sicherlich immer größer als Null sind, dann ist ein Ungleichungszeichen dann trivial.
Danach schreibe [mm] $\sqrt[n]{2}\ge\sqrt[n+1]{2}$ [/mm] mal in die Potenzschreibweise, also
[mm] \sqrt[n]{2}\ge\sqrt[n+1]{2}
[/mm]
Alles in die Potenzschreibweise
[mm] 2^{\frac{1}{n}}\ge2^{\frac{1}{n+1}}
[/mm]
Nun multipliziere dieses ganze dann mal komplett mit der (sicherlich positiven) Zahl [mm] 2^{\frac{n-1}{n}}=\sqrt[n]{2^{n-1}} [/mm] und schaue, was passiert.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
das grundprinzip verstehe ich ja, deinen link habe ich auch schon im internet gefunden, aber viel schlauer als vorher acht er mich nicht...besonders, da es dort heißt an [mm] \le [/mm] an+1 ich kenne es nur anders rum....
mit was genau meinst du, soll ich es multiplizieren...
ich habe folgende videos benutzt zum lernen, allerdings machen die es anders als du und haben einfacherer aufgaben, deshalb kommei ch bei dieser nicht weiter.
siehe:
https://www.youtube.com/watch?v=2FnktHwOoVU
oder
https://www.youtube.com/watch?v=LC2cp3nJo5Q
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Mi 23.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> das grundprinzip verstehe ich ja, deinen link habe ich auch
> schon im internet gefunden, aber viel schlauer als vorher
> acht er mich nicht...besonders, da es dort heißt an [mm]\le[/mm]
> an+1 ich kenne es nur anders rum....
Wie kennst du es denn?
>
>
> mit was genau meinst du, soll ich es multiplizieren...
Den Begriff Äquivalenzumformung der Mulitplikation auf beiden Seiten der (Un)Gleichung solltest du aus der 7. Klasse deiner Schullaufbahn kennen.
Hier sollst du die Ungleichung eben auf beiden Seiten mit der besagten Zahl multiplizieren. Mach dir auch unbedingt klar, warum es so wichtig ist, dass diese Zahl positiv ist.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
die zahl muss positiv sein, da sich sonst das ungleichheitssymbol (das hat auch einen namen,fällt mir gerade nicht ein) sonst umdrehen würde....
nun meine frage,
bei einer ungleichung möchte ich nach x oder so auflösen...was genau soll ich hier machen ? nach n auflösen ?!?
am ende meiner aufgabe mit dem leibnitzkriterium steht ja...
[mm] \sqrt[n]{2}\ge\sqrt[n+1]{2}
[/mm]
was genau ist denn das ziel des leibniz-kriteriums....
ich soll zeigen, dass mein an [mm] \ge [/mm] an+1 ist ? oder ?
und nun muss ich das [mm] \sqrt[n]{2}\ge\sqrt[n+1]{2}
[/mm]
so umformen, dass es mit bloßem auge zu erkennen ist ?
also mach ich
[mm] 2^{\bruch{1}{n}} \ge 2^{\bruch{1}{n+1}}
[/mm]
nun eine frage:
ist [mm] 2^{\bruch{1}{n+1}} [/mm] das gleiche wie: [mm] 2^{\bruch{1}{n}} [/mm] * [mm] 2^{\bruch{1}{1}} [/mm] ??
aber sehe gerade... selbst wenn, was sollte ich damit dann machen ?!?!
oder soll ich die ganze rechte seite nach links holen, dass dann am ende rechts nur noch 0 steht ?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 24.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Smuji,
> bei einer ungleichung möchte ich nach x oder so
> auflösen...was genau soll ich hier machen ? nach n
> auflösen ?!?
>
> am ende meiner aufgabe mit dem leibnitzkriterium steht
> ja...
>
>
> [mm]\sqrt[n]{2}\ge\sqrt[n+1]{2}[/mm]
>
>
> was genau ist denn das ziel des leibniz-kriteriums....
Ziel des Leibniz-Kriteriums ist es Konvergenz zu zeigen, indem man beweist, dass für [mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^na_n$ [/mm] die Folge [mm] (a_n) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist. Die Monotonie beweist du, indem du
[mm]\sqrt[n]{2}\ge\sqrt[n+1]{2}[/mm]
zeigst. Du musst zudem zeigen, dass die entsprechende Folge gegen Null konvergiert bei [mm] n\to\infty.
[/mm]
> ich soll zeigen, dass mein an [mm]\ge[/mm] an+1 ist ? oder ?
>
>
> und nun muss ich das [mm]\sqrt[n]{2}\ge\sqrt[n+1]{2}[/mm]
>
>
>
> so umformen, dass es mit bloßem auge zu erkennen ist ?
Genau. Du formst die Ungleichung so um, dass sie eine einfach einzusehende wahre Aussage wird.
> also mach ich
>
>
>
> [mm]2^{\bruch{1}{n}} \ge 2^{\bruch{1}{n+1}}[/mm]
>
>
>
> nun eine frage:
>
> ist [mm]2^{\bruch{1}{n+1}}[/mm] das gleiche wie: [mm]2^{\bruch{1}{n}}[/mm] *
> [mm]2^{\bruch{1}{1}}[/mm] ??
Nein. Setze mal zur Probe irgendeine natürliche Zahl ein. [mm]2^{\bruch{1}{n}}\cdot 2^{\bruch{1}{1}}=2^\frac{1}{n}\cdot 2^1=2^{\frac{1}{n}+1}=2^{\frac{n+1}{n}}[/mm] und [mm] $\frac{1}{n+1}\neq \frac{n+1}{n}\forall n\in\IN$.
[/mm]
> aber sehe gerade... selbst wenn, was sollte ich damit dann
> machen ?!?!
>
>
> oder soll ich die ganze rechte seite nach links holen, dass
> dann am ende rechts nur noch 0 steht ?
Dividiere die Ungleichung mal durch [mm] 2^\frac{1}{n+1} [/mm] und forme um.
[mm] \Rightarrow2^{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\ge1. [/mm] Berechne jetzt [mm] \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}, [/mm] s.d. du nur noch einen Bruch hast und überlege warum dieser Bruch [mm] \forall n\in\IN [/mm] immer [mm] \ge0 [/mm] ist! Daraus folgt dann die Richtigkeit der Ungleichung. Warum?
Damit wäre dann alles bewiesen. Du musst ja nur zeigen, dass die Ungleichung wahr ist.
Alternativ: Beweis über Induktion.
LG
Ladon
> gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, leuchtet mir ziemlich ein...nun noch eine frage, muss ich diese ungleichungen immer so umformen dass dann rechts eine einfache zahl steht ? oder muss ich das so umformen, dass rechts immer eine 1 steht, oder ist es egal welche zahl dort steht ? oder soll da eine 0 stehen ?
soll ich meiner ungleichung einfach einen wert "zuweisen" ? egal ob da 1 , 2 oder 3 steht ?!?
wie ist es denn, würde ich in dem von dir geposteten fall nuhn -1 rechnen, hätte ich ja rechts eine 0, oder ?
oder ist das egal, habtsache meine ungleichung zeigt, dass der term, den ich habe einfach größer als 0 ist ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Do 24.07.2014 | | Autor: | Ladon |
> ok, leuchtet mir ziemlich ein...nun noch eine frage, muss
> ich diese ungleichungen immer so umformen dass dann rechts
> eine einfache zahl steht ? oder muss ich das so umformen,
> dass rechts immer eine 1 steht, oder ist es egal welche
> zahl dort steht ? oder soll da eine 0 stehen ?
I.A. ist das schwer zu sagen. Es existiert keine Regel, die man einfach anwendet. Wenn man nicht direkt sieht, wie man die Ungleichung umformen kann, würde ich einfach induktiv die Ungleichung beweisen.
Aber generell ist es einfacher, wenn man die Ungleichung erstmal vereinfacht. Wie die Vereinfachung aussieht ist dir überlassen.
> soll ich meiner ungleichung einfach einen wert "zuweisen" ?
> egal ob da 1 , 2 oder 3 steht ?!?
>
> wie ist es denn, würde ich in dem von dir geposteten fall
> nuhn -1 rechnen, hätte ich ja rechts eine 0, oder ?
Ja. [mm] 2^{\frac{1}{n(n+1)}}-1\ge0.
[/mm]
> oder ist das egal, habtsache meine ungleichung zeigt, dass
> der term, den ich habe einfach größer als 0 ist ?
Du müsstest im Fall von [mm] 2^{\frac{1}{n(n+1)}}-1\ge0. [/mm] zeigen, dass [mm] 2^{\frac{1}{n(n+1)}}\ge1 [/mm] ist. Es käme also auf das gleiche aus.
LG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
danke dir !!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Do 24.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Smuji,
falls du gerne mit Videos lernst, kann ich dir die Videos von Jörn Loviscach empfehlen. Ich finde die Erklärungen sehr anschaulich.
LG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
danke, kenne ihn bereits...manche seiner videos sind sehr gut, manche allerdings auch viel definitionskram den er recht schnell durchzieht... trotzdem vielen dank....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Do 24.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hast du es mal mit Tutorium Analysis 1 von Modler und Kreh versucht? Das Buch ist sehr leicht geschrieben. Gerade für das erste Semester interessant.
LG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
nein, aber habe den papula hier liegen, ist auch ganz gut... habe vorhin bereits reingeschaut...er erklärt das grundprinzip, aber nicht das was ich wissen möchte....
ich erläutere nochmal grob mein problem... ich glaube die leute hier wissen nicht genau was ich will...
bei der alternierenden reihe besteht konvergenz, wenn sie eine monotonfallende nullfolge ist.
nullfoge findet man heraus mit dem limes.... soweit so gut
monotonie herrscht, so sagt es auch papula, wenn an [mm] \ge [/mm] an+1 ist
so wie ich es herauslesen kann...einige videos in youtube sagen ähnliches...
nachdem ich die vorherigen schritte alle gemacht habe, habe ich ja stehen:
[mm] \wurzel[n]{2}-1 \ge \wurzel[n+1]{2}-1
[/mm]
und nun ?!? ist das die antwort ?!? wähle ich für n =3, wird man sehen, dass diese ungleichung stimmt....
aber so wie ich es da stehen habe, ist es ja keine lösung, oder ?
ich kann noch die einsen "vernichten" und wurzeln auflösen...und dann ? habe ich 2 terme da stehen mit gelösten wurzeln... so, aber dann bin ich doch immernoch nicht fertig, oder ?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 24.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> nein, aber habe den papula hier liegen, ist auch ganz
> gut... habe vorhin bereits reingeschaut...er erklärt das
> grundprinzip, aber nicht das was ich wissen möchte....
>
> ich erläutere nochmal grob mein problem... ich glaube die
> leute hier wissen nicht genau was ich will...
Doch, das glaube ich schon.
>
>
>
>
> bei der alternierenden reihe besteht konvergenz, wenn sie
> eine monotonfallende nullfolge ist.
>
> nullfoge findet man heraus mit dem limes.... soweit so gut
>
>
> monotonie herrscht, so sagt es auch papula, wenn an [mm]\ge[/mm]
> an+1 ist
>
> so wie ich es herauslesen kann...einige videos in youtube
> sagen ähnliches...
>
> nachdem ich die vorherigen schritte alle gemacht habe, habe
> ich ja stehen:
>
> [mm]\wurzel[n]{2}-1 \ge \wurzel[n+1]{2}-1[/mm]
>
> und nun ?!? ist das die antwort ?!? wähle ich für n =3,
> wird man sehen, dass diese ungleichung stimmt....
Du musst nun irgendwie zeigen, dass diese Ungleichung stimmt.
Dazu solltest du zerst beidseitig 1 addieren.
Danach kannst du das ganze per Induktion oder per Äquivalenzumformungen zeigen.
Wenn du das per Äquivalenzumformungen machst, muss am Ende muss etwas da stehen, dass ganz offensichtlich gilt, z.B. [mm] 2^{\Box}\le0 [/mm] oder [mm] 2\cdot\Box\le\Box [/mm] etc.
>
> aber so wie ich es da stehen habe, ist es ja keine lösung,
> oder ?
Das siehst du korrekt.
>
> ich kann noch die einsen "vernichten" und wurzeln
> auflösen...und dann ? habe ich 2 terme da stehen mit
> gelösten wurzeln... so, aber dann bin ich doch immernoch
> nicht fertig, oder ?
Das stimmt, nun teste mal ein wenig.
Es sind dir schon mehrere Ansätze gegeben worden, probiere einfach mal ein bisschen herum - genau das ist Mathematik.
>
>
> gruß smuji
>
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
gut, was mich nur wundert und verwirrt an der sache, ist, du sagst ja, ich soll da solange herumrechnen, bis da irgendwas steht wie [mm] 2\cdot\Box\le\Box
[/mm]
aber das leibnizkriterium sagt doch, ich soll zeigen dass: an [mm] \ge [/mm] an+1 ist
wenn ich allerdings herumrechne, bis da sowas steht : [mm] 2\cdot\Box\le\Box,
[/mm]
zeige ich ja nicht, dass an [mm] \ge [/mm] an+1 ist, sondern lediglich dass XYZ [mm] \le\Box [/mm] ist .
zudem sprichst du von [mm] \le [/mm] und ich ,laut lothar papula und youtube-videos von [mm] \ge
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{2}-1 \ge \wurzel[n+1]{2}-1 [/mm]
hmm ?!?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Do 24.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> gut, was mich nur wundert und verwirrt an der sache, ist,
> du sagst ja, ich soll da solange herumrechnen, bis da
> irgendwas steht wie [mm]2\cdot\Box\le\Box[/mm]
Sorry, ich habe das Zechen verdreht, [mm] \ge [/mm] ist korrekt.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, dann fällt es mir leichter...und in welchem fall wäre der beweis untragbar bzw. ungültig ? muss mein term [mm] \ge [/mm] 1 sein ? oder [mm] \ge [/mm] 0 ?
ich verstehe nun deine umformungen und verstehe auch warum dann das [mm] \ge [/mm] 1 steht, aber was wäre, wenn da [mm] \ge [/mm] -5948 stehen würde...übertrieben ausgedrückt...wäre dann mein beweis trotzdem noch KORREKT ?
oder was ist vorraussetzung ?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok, dann fällt es mir leichter...und in welchem fall wäre
> der beweis untragbar bzw. ungültig ? muss mein term [mm]\ge[/mm] 1
> sein ? oder [mm]\ge[/mm] 0 ?
>
> ich verstehe nun deine umformungen und verstehe auch warum
> dann das [mm]\ge[/mm] 1 steht, aber was wäre, wenn da [mm]\ge[/mm] -5948
> stehen würde...übertrieben ausgedrückt...wäre dann mein
> beweis trotzdem noch KORREKT ?
>
> oder was ist vorraussetzung ?
Du musst halt die Aussage, die Du begründen willst, auch folgern können.
Nehmen wir mal an, Du wolltest, für (alle) feste $0 < q < [mm] 1\,,$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $q^{1/(n+1)} \ge q^{1/n}$ [/mm] FÜR ALLE $n [mm] \in \IN$
[/mm]
beweisen.
Jetzt sagst Du: Ich "nehme beide Seiten der Ungleichung hoch n und lasse
das Ungleichheitszeichen stehen".
Das ist okay (da beide Ausdrücke [mm] $\ge [/mm] 0$ sind und die Funktion $x [mm] \mapsto x^n$
[/mm]
auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] [streng] wachsend ist), wird aber nicht das sein, was Du
am Ende brauchen wirst.
Ich mach's jetzt einfach mal, und sag' Dir, welches Argument am Ende
wichtig wird:
[mm] $q^{1/(n+1)} \ge q^{1/n}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{\text{wg. "beide Seiten} \ge 0\text{"}}{\red{\Longrightarrow}}$
[/mm]
[mm] $(q^{1/(n+1)})^n \ge (q^{1/n})^n$
[/mm]
[mm] $\iff$ $q^{\frac{n}{n+1}} \ge [/mm] q$
[mm] $\iff$ [/mm] $1 [mm] \ge q*q^{-n/(n+1)}=q^{1/(n*(n+1))}\,.$ $(\star)$
[/mm]
Dabei sei gesagt: Beim letzten [mm] $\iff$ [/mm] erkennt man, dass [mm] $\Rightarrow\,$ [/mm] gilt, indem
man
[mm] $q^{\frac{n}{n+1}} \ge [/mm] q$
auf beiden Seiten mit der positiven Zahl [mm] $q^{-n/(n+1)}$ [/mm] multipliziert.
[mm] $\Leftarrow\,,$ [/mm] indem man bei
$1 [mm] \ge q^{1/(n*(n+1))}$
[/mm]
beide Seite durch die positive Zahl [mm] $q^{-n/(n+1)}$ [/mm] teilt (was nichts anderes als
eine Multiplikation mit der positiven Zahl [mm] $q^{n/(n+1)}$ [/mm] ist).
Was ist jetzt das Problem? Naja, wir sehen nur, dass für beliebige $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $q^{1/(n+1)} \ge q^{1/n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $1 [mm] \ge q^{1/(n*(n+1))}\,.$
[/mm]
Denn wir haben bei dem roten Folgerungspfeil nur "notwendig für ..., ist, dass..."
stehen. Wenn wir jetzt
$1 [mm] \ge q^{1/(n*(n+1))}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
begründen können, würde uns das nichts wirklich bringen. Gut ist allerdings,
dass wir aus dem roten Folgerungspfeil ein [mm] $\iff$ [/mm] machen können, denn die für uns
relevante Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ergibt sich, weil auch die [mm] $\sqrt[n]{\cdot} \colon [0,\infty) \to \IR$ [/mm] [streng] wachsend ist.
Damit Du siehst, wie das Ganze zusammenspielt: Lese es von unten nach
oben und benutze bei den [mm] $\iff$ [/mm] die Richtungen [mm] $\Leftarrow$, [/mm] bis Du dahinkommst, wo
Du hinwillst.
Was fehlt uns hier noch? Naja, wir müssen
$1 [mm] \ge q^{1/(n*(n+1))}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
begründen.
Ich schreibe jetzt mal einen Beweis, wie der dann aussehen könnte:
Sei $q [mm] \ge [/mm] 1$ und $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Weil
[mm] $\sqrt[n*(n+1)]{\cdot} \colon [0,\infty) \to \IR$
[/mm]
(streng) wachsend ist, folgt
[mm] $1^{1/(n*(n+1))} \ge q^{1/(n*(n+1))}\,.$ [/mm]
Es gilt also die Ungleichung in [mm] $(\star)\,.$ [/mm] Weil [mm] $\iff$ [/mm] in der Zeile bei [mm] $(\star)$ [/mm] steht, können
wir [mm] $\Leftarrow$ [/mm] benutzen und erhalten, dass
[mm] $q^{n/(n+1)} \ge [/mm] q$
gilt. Wir verfahren analog und erkennen alsdann
[mm] $(\star\star)$ $(q^{1/(n+1)})^n \ge (q^{1/n})^n\,.$
[/mm]
Jetzt haben wir das Problem, dass wir oben nur [mm] $\red{\Rightarrow}$ [/mm] begründet hatten.
Allerdings: Ich habe eine Begründung, warum wir dort auch [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] schreiben
können, schon geliefert:
Alle Funktionen
[mm] $\sqrt[N]{\cdot} \colon [0,\infty) \to \IR$
[/mm]
(mit $N [mm] \in \IN$) [/mm] sind [streng] wachsend. Bei [mm] $(\star\star)$ [/mm] können wir also auch
sagen, dass beide Seiten der Ungleichung nichtnegativ sind, und wir durch
Ziehen der [mm] $n\,$-ten [/mm] Wurzel dann
[mm] $q^{1/(n+1)} \ge q^{1/n}$
[/mm]
erhalten.
Und wenn Du willst: Beweise jetzt mal, dass
[mm] $q^{1/(n+1)} \le q^{1/n}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
gilt, unter
der Voraussetzung, dass $q [mm] \red{\;\ge\;} 1\,$ [/mm] fest sei!
-------------------------------
-------------------------------
Übrigens, auch hier mal wieder was zum Auswendiglernen:
Für $0 < q < [mm] 1\,$ [/mm] und $M,n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
$M [mm] \ge [/mm] n$ [mm] $\Rightarrow$ $q^n \le q^M$ [/mm] (Beispiel: [mm] $(1/2)^3=1/8 \le 1/4=(1/2)^2$);
[/mm]
$M [mm] \ge [/mm] n$ [mm] $\Rightarrow$ $\sqrt[M]{q}=q^{1/M} \le q^{1/n}=\sqrt[n]{q}$ [/mm] (Beispiel: [mm] $(1/16)^{1/4}=\sqrt[4]{16}=2 \le \sqrt[2]{16}=4$).
[/mm]
Für $q [mm] \ge [/mm] 1$ und $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
$M [mm] \ge [/mm] n$ [mm] $\Rightarrow$ $q^M \ge q^n$;
[/mm]
$M [mm] \ge [/mm] n$ [mm] $\Rightarrow$ $\sqrt[M]{q}=q^{1/m} \ge q^{1/n}=\sqrt[n]{q}\,.$
[/mm]
(P.S. Das große M habe ich nur genommen, weil m-te Wurzel bei mir nicht
korrekt angezeigt wird, wenn ich ein kleines m benutze. Warum auch immer...?!)
Und natürlich ist das Ganze nicht so kurios: Zum einen kann man aus
Eigenschaften einer bijektiven Funktion auch auf die der Umkehrfunktion
schließen.
Zum Anderen: $0 < q < [mm] 1\,$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $\frac{1}{q} [/mm] > 1$ gilt...
Deswegen müsste man die Aussagen, die ich am Ende zusammengefasst
habe, auch nicht alle nochmal von Neuem beginnend beweisen, sondern,
sobald man den Beweis für eine Aussage erbracht hat, kann man schauen,
wie man das Ergebnis benutzen kann, um eine andere zu folgern...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
viel viel viel text =)
du sprichst die ganze zeit von monoton wachsend, bei meiner alternierenden reihe gehts aber um fallend =)
von daher [mm] \le [/mm] statt [mm] \ge
[/mm]
muss mir das alles mal genauer anschauen...
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> viel viel viel text =)
>
> du sprichst die ganze zeit von monoton wachsend, bei meiner
> alternierenden reihe gehts aber um fallend =)
mir ging's doch gar nicht um alternierende Reihen. Ich habe den Teil Deiner
Frage aufgegriffen, was Du bei "vereinfachenden Umformungen" beachten
sollst bzw. was das eigentliche Ziel dabei ist.
> von daher [mm]\le[/mm] statt [mm]\ge[/mm]
In Bezug auf [mm] "$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k$" [/mm] (mit
Test, ob für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch $0 [mm] \le a_{n+1} \le a_n$ [/mm] gilt)
ja - in Bezug auf das, was ich Dir eigentlich sagen will: Nein. Es gilt nun mal
[mm] $q^{1/(n+1)} \ge q^{1/n}$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] für festes $0 < q < [mm] 1\,.$ [/mm]
> muss mir das alles mal genauer anschauen...
Ja, und bitte nicht auf einen *gewünschten Zusammenhang* schließen,
wenn ich keinen erwähne. Lese es mal als "getrennten Artikel, der beispielhaft
erklärt, welcher Zusammenhang *bei Vereinfachungen wichtig ist* im Sinne
von etwa: Wozu dienen dabei Äquivalenzumformungen?"
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok, dann fällt es mir leichter...und in welchem fall wäre
> der beweis untragbar bzw. ungültig ? muss mein term [mm]\ge[/mm] 1
> sein ? oder [mm]\ge[/mm] 0 ?
vielleicht war das in der anderen Antwort einfach doch zu beispielhaft. Also
hier mal eine Kurzfassung:
Wenn Du eine Aussage [mm] $A\,$ [/mm] hast, deren Gültigkeit Du beweisen gilst, dann geht
ein Beweis in der Art, dass Du erst eine "offensichtlich korrekte Aussage" [mm] $C\,$
[/mm]
hernimmst und dann die Korrektheit der Folgerung
$C [mm] \Rightarrow [/mm] A$
beweist.
Im allgemeinen hast Du nun aber eine Aussage [mm] $A\,$ [/mm] vorliegen, von der Du
meist gar nicht so schnell erkennst, "welche Aussage [mm] $C\,$ [/mm] geeignet ist".
Dann formst Du um
$A [mm] \iff B_1 \iff B_2 \iff [/mm] ... [mm] \iff B_n\,.$
[/mm]
Dabei sollte [mm] $B_n$ [/mm] eine Aussage sein, deren Wahrheit Du halt, durch Zugriff
auf eine "schnell erkennbare, wahre Aussage [mm] $C\,$", [/mm] folgern kannst. (Wir brauchen
oben ja, neben der Wahrheit der Aussage [mm] $C\,,$ [/mm] auch die Korrektheit der Folgerung
$C [mm] \Rightarrow B_n\,.$)
[/mm]
Das Wichtigste bei den Umformungen ist bei den [mm] $\iff$ [/mm] also, für den Beweis,
dass die Folgerungen [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gelten. Allerdings sind die Folgerungen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] insofern
wichtig, als dass deren Zusammenspiel ja die Aussage [mm] $B_n$ [/mm] ergibt, die ja
"einfacher durchschaubar als die Ursprungsaussage [mm] $A\,$" [/mm] sein sollte.
Jetzt klarer, worauf ich hinaus wollte und welchen Sinn das Beispiel in der
anderen Antwort hat?
Zur weiteren Illustration ein weiteres Beispiel:
Wenn Du - für $x > [mm] 1\,$ [/mm] - die Aussage
[mm] $x+\frac{1}{x} [/mm] > 2$
beweisen sollst, kann es sein, dass Du Dich damit schwertust. (Vielleicht
setzt Du an, dass Du [mm] $\epsilon:=x-1 [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] definierst...) Wenn Du Dir aber erstmal
klarmachst, dass diese Aussage zu
[mm] $(x-1)^2 [/mm] > [mm] 0\,$
[/mm]
äquivalent ist, ist sie nahezu trivial.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo,
man muss nicht immer automatisch mit Konvergenzkriterien um sich werfen.
Oft hilft es, die Augen gut abzuwischen und scharf hinzuschauen, dann kann man bekannte Reihen wiederfinden.
So etwa in e)
> e) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}[/mm]
> e) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}[/mm]
>
> wurzelkriterium:
Nein, Hirnschmalzkriterium
Es ist [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} \ = \ -2\cdot{}\sum\limits_{n\ge 1}\left(-\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
Und das sollte doch hinsichtlich Konvergenzverhalten und Reihenwert kein Problem sein ...
Das MUSST du kennen !!!
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{an}[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}}[/mm]
>
>
> wurzel auflösen:
>
> [mm]\bruch{-1 * (-1)^{1}}{2 * 2^{-1}}[/mm]
>
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1 = k = k ist weder größer noch kleiner
> als 1, sondern gleich, also weder divergent , noch
> konvergent und der wert der reihe ist 1
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Di 22.07.2014 | | Autor: | Smuji |
wie bist du auf :
Nein, Hirnschmalzkriterium
Es ist $ [mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} [/mm] \ = \ [mm] -2\cdot{}\sum\limits_{n\ge 1}\left(-\frac{1}{2}\right)^n [/mm] $
gekommen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Di 22.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Es gilt:
[mm] \bullet $(-1)^{n+1}=(-1)^n*(-1)$
[/mm]
[mm] \bullet $2^{n-1}=2^{n}*\frac{1}{2}$
[/mm]
Den Rest schaffst du nun selber!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
daraus folgt
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n} * (-1)^{1}}{2^{n}*2^{-1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1^{n}}{-4^{n}}
[/mm]
und nun darauf das QK anwenden ?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{\bruch{1^{n+1}}{-4^{n+1}}}{\bruch{1^{n}}{-4^{n}}}| [/mm] = [mm] |\bruch{1^{n+1} * -4^{n}}{-4^{n+1} * 1^{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{-4}| [/mm] das wäre nun < 1 und somit absolut konvergent..... wenn ich das so richtig gemacht habe.. ?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mi 23.07.2014 | | Autor: | hippias |
> daraus folgt
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n} * (-1)^{1}}{2^{n}*2^{-1}}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1^{n}}{-4^{n}}[/mm]
Diese Umformung ist komplett falsch. Wiederhole dringend die Potenzgesetze! Was Du machen kannst, ist die Faktoren, die nicht mehr vom Laufindex abhaengen aus der Summe herausziehen: [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} [/mm] = [mm] \frac{ (-1)^{1}}{2^{-1}}\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n} }{2^{n}}$.
[/mm]
Du erhaelst dann den Standardreihentyp der geometrischen Reihe.
>
> und nun darauf das QK anwenden ?
Quotientenkriterium geht natuerlich, aber wie gesagt: das ist eine geometrische Reihe...
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |\bruch{\bruch{1^{n+1}}{-4^{n+1}}}{\bruch{1^{n}}{-4^{n}}}|[/mm]
So hat man Dir das QK nicht beigebracht!
> = [mm]|\bruch{1^{n+1} * -4^{n}}{-4^{n+1} * 1^{n}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{1}{-4}|[/mm] das wäre nun < 1 und somit absolut
> konvergent..... wenn ich das so richtig gemacht habe.. ?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
danke für deine antwort.
ok, also das mit dem rausziehen der unabhängigen faktoren leuchtet mir nun ein....
nur was genau meinst du nun mit...es ist eine geometrische reihe ? muss ich da anders vorgehen ?
und wie verfahre ich denn dann mit dem faktor, wenn ich beim QK mein q erhalte und das kleiner als 1 sein muss.... welche rolle spielt da der vorher herausgezogene faktor ? ist dieser dann zu vernachlässigen oder muss ich das q * dem faktor rechnen und erst dann habe ich mein ergebnis, bei dem ich schauen kann ob es kleiner oder größer als 1 ist ?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n} }{2^{n}}=\summe_{n=1}^{\infty}q^n, [/mm] wobei $q=- [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Damit ist $|q|<1$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
mein fehler hier war auch, dass ich [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] geschrieben habe, richtig ? ich hätte entweder
[mm] |-\bruch{1}{2} [/mm] | oder [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
schreiben müssen..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> mein fehler hier war auch, dass ich [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> geschrieben habe, richtig ? ich hätte entweder
>
> [mm]|-\bruch{1}{2}[/mm] | oder [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> schreiben müssen..
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok danke,
sorry, aber noch eine kleine frage...
beim Qk muss der BETRAG von q < 1 sein im falle von konvergenz
sprich |-9| wäre nicht konvergent, da der betrag davon = 9 wäre
richtig ?!?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok danke,
>
> sorry, aber noch eine kleine frage...
>
> beim Qk muss der BETRAG von q < 1 sein im falle von
> konvergenz
Wenn Du die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] meinst, ja.
>
>
> sprich |-9| wäre nicht konvergent, da der betrag davon = 9
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-9)^n [/mm] ist divergent.
FRED
> wäre
>
> richtig ?!?
>
>
> gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
zu deiner aussage:
Nein, Hirnschmalzkriterium
Es ist $ [mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} [/mm] \ = \ [mm] -2\cdot{}\sum\limits_{n\ge 1}\left(-\frac{1}{2}\right)^n [/mm] $
Und das sollte doch hinsichtlich Konvergenzverhalten und Reihenwert kein Problem sein ...
Das MUSST du kennen !!!
ehm, das leuchtet mir aber nicht ein...klar kann ich es in meine formelsammlung schreiben, aber dann muss nur ne aufgabe kommen die ein klein wenig anders ist und dann vergeige ich es wieder...
also lieber eine andere methode nutzen...
könnte man diese aufgabe auch mit dem wurzelkriterium lösen ? abgesehen davon ,dass ich da totalen müll geschrieben habe....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
danke erstmal...
also das:
[mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} [/mm] \ = [mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{-2\cdot (-1)^{n}}{2\cdot2^{n-1}} [/mm] \ = [mm] -2\cdot\sum\limits_{n\ge 1}\frac{ (-1)^{n}}{2^{n}} [/mm] \ = \ [mm] -2\cdot{}\sum\limits_{n\ge 1}\left(-\frac{1}{2}\right)^n [/mm]
kann ich nicht ganz nachvollziehen....
in meiner logik ist:
[mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} [/mm] \ = [mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{1}\cdot (-1)^{n}}{(2)^{n}\cdot2^{-1}} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n\ge 1}\frac{-1\cdot (-1)^{n}}{-2\cdot(2)^{n}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} \cdot \sum\limits_{n\ge 1}\frac{-1^{n}}{2^{n}}
[/mm]
?????!??? =/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> danke erstmal...
>
> also das:
>
> [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}[/mm] \ =
> [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{-2\cdot (-1)^{n}}{2\cdot2^{n-1}}[/mm]
> \ = [mm]-2\cdot\sum\limits_{n\ge 1}\frac{ (-1)^{n}}{2^{n}}[/mm] \ =
> \ [mm]-2\cdot{}\sum\limits_{n\ge 1}\left(-\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
>
> kann ich nicht ganz nachvollziehen....
>
> in meiner logik ist:
>
>
> [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}[/mm] \ =
> [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^{1}\cdot (-1)^{n}}{(2)^{n}\cdot2^{-1}}[/mm]
> = [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{-1\cdot (-1)^{n}}{-2\cdot(2)^{n}}[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{2} \cdot \sum\limits_{n\ge 1}\frac{-1^{n}}{2^{n}}[/mm]
>
>
Nach Deiner Logik ist also
[mm] $2^n*2^{-1}=-2*2^n$
[/mm]
nach dem Motto [mm] 2^{-1}=-2.
[/mm]
Das ist aber völliger Quark, denn es ist [mm] 2^{-1}= \bruch{1}{2}
[/mm]
FRED
>
>
> ?????!??? =/
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
logisch!!!!... negativer exponent zum postiven gemacht, bedeutet plätze von zähler und nenner tauschen (mal unmathematisch ausgedrückt)....
weiß nicht, warum ich daran nicht mehr gedacht habe...
jetzt kann ich es auch nachvollziehen...
wenn nun die -2 außerhalb ist und ich dann auf den rest das QK anwende, was für auswirkungen hat die -2 dann auf mein |q| ???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Ladon |
> logisch!!!!... negativer exponent zum postiven gemacht,
> bedeutet plätze von zähler und nenner tauschen (mal
> unmathematisch ausgedrückt)....
>
>
> weiß nicht, warum ich daran nicht mehr gedacht habe...
>
> jetzt kann ich es auch nachvollziehen...
>
> wenn nun die -2 außerhalb ist und ich dann auf den rest
> das QK anwende, was für auswirkungen hat die -2 dann auf
> mein |q| ???
Gar keine! Du hast -2, was offensichtlich nicht von irgendeinem n abhängig ist, vor die Reihe gezogen. Endliche Vorfaktoren sind für die Konvergenz uninteressant. Ich weiß zwar nicht genau, was du mit |q| meinst, aber ich nehme mal an du meinst folgendes:
Sei [mm] \sum_n{a_n} [/mm] eine Reihe mit [mm] a_n\not=0 [/mm] für fast alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Falls ein $q<1$ existiert, für das [mm] $\wurzel[n]{|a_n|}\le [/mm] q$, dann ist die Reihe absolut Konvergent. Es reicht also zu zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{|a_n|}<1.
[/mm]
Das habe ich in meiner Antwort (oben) getan!
Ansonsten kannst du auch das Leibniz-Kriterium anwenden.
Aber warum scheust du dich davor die geometrische Reihe einfach auszurechnen. Damit hast du dann doch bereits Konvergenz gezeigt.
Es ist doch $ [mm] \sum_{n=0}^\infty{z^n}=\frac{1}{1-z} [/mm] $ mit |z|<1. Damit kannst du den Wert berechnen.
LG Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok , danke. wie meinst du das mit ausrechnen ?
den limes gegen unendlich bilden, ausklammern was geht und schauen gegen was für einen wert ich erhalte ?
für was genau gibt es denn diese ganzen kriterien ?!? einfach nur, weil die reihen OHNE diese kriterien zu schwer wären, deren wert zu berechnen ?
ich wüsste nicht wie ich das sonst berechnem ohne diese kriterien...
|
|
|
| |
|
Hallo Smuji,
> ok , danke. wie meinst du das mit ausrechnen ?
>
> den limes gegen unendlich bilden, ausklammern was geht und
> schauen gegen was für einen wert ich erhalte ?
Du hast den Typ geometrische Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm].
Diese Reihen konvergieren für [mm]|q|<1[/mm] und divergieren sonst
Für [mm]|q|<1[/mm] hat man also Konvergenz und kann den Reihenwert mittels der Formel [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n \ = \ \frac{1}{1-q}[/mm] berechnen.
Du hast (fast) die Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
Hier ist [mm]q=-\frac{1}{2}[/mm], also [mm]|q|=\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2} \ < \ 1[/mm], also haben wir Konvergenz
Der Reihenwert ist gem. der Formel oben [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\left[-\frac{1}{2}\right]}=...[/mm] rechne das mal aus.
Bedenke aber, dass deine Reihe geringfügig anders aussieht. Du musst zum einen den Vorfaktor einbauen, also das Ganze [mm]\cdot{}(-2)[/mm] rechnen.
Zum anderen läuft deine Summe erst ab [mm]n=1[/mm] los und nicht wie bei der Standard-geometrischen Reihe bei [mm]n=0[/mm]
Das musst du bei der Berechnung des Reihenwertes auch mit berücksichtigen.
Tipp hierzu:
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \ = \ \left( \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \ \right) \ - \ a_0[/mm]
Kannst du diese Umformung nachvollziehen?
Ich nehme bei der rechten Summe einen Summanden (für n=0), also [mm]a_0[/mm] , hinzu und muss diesen natürlich wieder abziehen, um nix zu verändern
Versuche mal, das auf deine Reihe zu übertragen
>
> für was genau gibt es denn diese ganzen kriterien ?!?
> einfach nur, weil die reihen OHNE diese kriterien zu schwer
> wären, deren wert zu berechnen ?
Die Kritereien gibt es erstmal, um eine Aussage über das Konvergenzverhalten treffen zu können (konvergent oder divergent oder keine Aussage möglich - letzteres etwa, wenn der GW bei Quotientenkrit. 1 ist ...)
Die Reihenwerte sind i.a.R. nahezu unmöglich exakt zu berechnen.
Die Beispiele, die man so in Übungen und Klausuren bekommt, sind so "nett", dass man bekannte Formeln benutzen kann bzw. die gegebene Reihe irdenwie auf Bekanntes zurückführen kann.
Auch das mit den Teleskopsummen ist wichtig.
Dazu gibts auch haufenweise Beispiele - hattet ihr vllt. schon in den Übungen oder der VL?!
>
> ich wüsste nicht wie ich das sonst berechnem ohne diese
> kriterien...
Wie gesagt, zur Bestimmung des Reihenwertes helfen die Konvergenzkriterien nicht sonderlich ...
Kannst du umgekehrt - wie in diesem Bsp. mit der geometr. Reihe - den Reihenwert angeben, so ist damit auch die Konvergenz nachgewiesen. Da brauchst du dann kein Konvergenzkriterium mehr zu bemühen.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
vielen dank für deine ausführliche antwort.
also zu dem punkt:
Der Reihenwert ist gem. der Formel oben $ [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\left[-\frac{1}{2}\right]}=... [/mm] $ rechne das mal aus.
laut meinem taschenrechner ist [mm] \bruch{1}{1,5} [/mm] = 0,66666666periode - a0 (1) = -0,3333333periode
das wäre also der reihenwert ?
nun hätte ich dazu fragen.... um aber erstmal q zu erhalten, muss ich also zuerst irgendein kriterium anwenden...also kann ich den reihenwert garnicht vorher bestimmen !?!?
zu :
Tipp hierzu:
$ [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \ \right) [/mm] \ - \ [mm] a_0 [/mm] $
Kannst du diese Umformung nachvollziehen?
teileweise.....wenn ich erst bei a1 starte und ich a0 nicht mit einbeziehe, weshalb muss ich a0 nicht ADDIEREN, statt subtrahieren ?
außerdem habe ich auch noch erfahren, dass:
Ist $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] $ eine konvergente Reihe, so ist deren Reihenwert
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}a_n [/mm] $
wie kann ich das verstehen? du hast mir doch eine andere formel genannt ?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
Hallo,
> vielen dank für deine ausführliche antwort.
>
>
> also zu dem punkt:
>
> Der Reihenwert ist gem. der Formel oben
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\left[-\frac{1}{2}\right]}=...[/mm]
> rechne das mal aus.
>
>
>
> laut meinem taschenrechner
Hmm
> ist [mm]\bruch{1}{1,5}[/mm] =
Man könnte auch sagen: [mm]\frac{2}{3}[/mm]
> 0,66666666periode - a0 (1) = -0,3333333periode
>
> das wäre also der reihenwert ?
Das wäre der Wert der Reihe [mm]\sum\limits_{n=\red{1}}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
Du hast noch einen Vorfaktor, den du berücksichtigen musst!
Und nimm statt der gerundeten Zahlen doch besser Brüche:
[mm]\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}[/mm]
>
>
> nun hätte ich dazu fragen.... um aber erstmal q zu
> erhalten, muss ich also zuerst irgendein kriterium
> anwenden...also kann ich den reihenwert garnicht vorher
> bestimmen !?!?
Das kommt mit der Übung. Hier "sieht" man es der Ausgangsreihe nahezu an, dass eine "Variante" der geometrischen Reihe drinsteckt.
Für einen bloßen Konvergenznachweis kannst du natürlich eines der Kriterien hernehmen und testen.
Aber die kleine Umschreibung erspart dir die Arbeit: du kannst den Reihenwert schnell ausrechnen und angeben und hast damit den Konvergenznachweis mit erledigt.
Für den Anfang kannst du das ruhig getrennt machen ...
>
>
> zu :
> Tipp hierzu:
>
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n \ = \ \left( \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \ \right) \ - \ a_0[/mm]
>
> Kannst du diese Umformung nachvollziehen?
>
> teileweise.....wenn ich erst bei a1 starte und ich a0 nicht
> mit einbeziehe, weshalb muss ich a0 nicht ADDIEREN, statt
> subtrahieren ?
Linkerhand ausgeschrieben:
[mm]a_1+a_2+a_3+a_4+...[/mm]
Rechterhand ausgeschrieben:
[mm](a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+...) \ - \ a_0[/mm]
Ich habe ja rechterhand das [mm]a_0[/mm] hinzugemogelt, das gab es linkerhand nicht.
Ich muss es also rechts am Ende wieder abziehen, um die Gleichheit zu haben
>
>
>
> außerdem habe ich auch noch erfahren, dass:
>
> Ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] eine konvergente Reihe, so ist
> deren Reihenwert
>
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}a_n[/mm]
>
>
>
> wie kann ich das verstehen? du hast mir doch eine andere
> formel genannt ?
Ja, das ist ein wenig Schreibweisentheater
Man bezeichnet mit [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] eine Reihe und im Falle der Konvergenz auch den Reihenwert.
Es ist dann [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \ = \ \lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=0}^ka_n[/mm]
>
>
> gruß smuji
Zurück!
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, verstanden, werde also später noch alle reihenwerte ausrechnen und meine alternierende reihe nochmals versuchen zu lösen....vielen dank für deine hilfe
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
nicht zum ersten Mal der Hinweis:
wenn du derart viele Aufgaben hast, poste sie bitte einzeln oder max. zwei pro thread.
Sonst wird das total konfus und unübersichtlich ...
Danke
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ferner wurden zwei Teilaufgaben bereits besprochen:
https://matheraum.de/read?t=1028742
https://matheraum.de/read?t=1028601
Erschreckend finde ich, dass der Wissenstand in der Zwischenzeit eher ab- als zugenommen hat.
|
|
|
| |
|
Au weia ...
Da fehlen mir die Worte ...
Danke für den Hinweis, MaslanyFanclub.
Ich werde das mal im Modteam aufgreifen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
wenn du das tun möchtest, ok. allerdings habe ich bei maslanyfanclub etwas dazu geschrieben
gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ja, ich wusste dass ich hier schonmal welche gepostet hatte, aber zum teil finde ich diese nicht mehr, weil ich einfach nicht so ganz durch den seitenaufbau zurecht finde...
2. waren das teilaufgaben und ich wollte hier nochmal die komplette aufgabe posten...hatte ja gehofft, dass ihr nur kurz drüber schauen müsst und sagt: prima, alles richtig... =( =(
trotzdem danke für eure hilfe und danke für die links...... wenn ich in der suchfunktion nach meinem namen suche, finde ich oftmals nicht alle threads von mir ?!?!? und da ich in verschiedenen bereichen poste und das noch sehr oft, weiß ich meist nicht mehr, wo ich welche aufgabe gepostet habe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, dachte es sei so übersichtlicher
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
noch mal ein genereller Tipp zu solchen Aufgabentypen. Ich weiß nicht, ob es schon erwähnt wurde, da ich mir nicht alles durchgelesen habe.
Wenn es darum geht den Wert einer Reihe zu bestimmen, hast du gar nicht so viele Möglichkeiten. Du kannst z.B. nur von der geometrischen Reihe, Teleskopreihen und anderen dir bekannten Reihen den Wert bestimmen. Z.B. hattet ihr in der Vorlesung gewiss die Reihe der Exponentialfunktion und diverser trigonometrischer Funktionen. Diese Reihen MUSS man sich merken!
Eine weitere alternative den Wert einer ABSOLUT konvergenten Reihe zu berechnen ist eine Umordnung geschickt zu wählen, so dass man den Reihenwert "leicht sieht". Dazu musst du zuerst absolute Konvergenz mit den dir bekannten Kriterien, die dafür geeignet sind, nachprüfen.
LG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, zu 50% verstanden.... ich versuche es mal später
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich schreibe jetzt mal etwas über die geometrische Reihe, was man, wenn
man es nicht herleiten kann - wirklich - auswendig können sollte (die
geometrische Reihe ist eines der Standardwerkzeuge in der Analysis, und
nicht nur dort).
Im folgenden sei $q [mm] \in \IC\,.$ [/mm] Es gilt: Eine jede Reihe der Art
[mm] $\sum_{k=M}^\infty q^k$
[/mm]
(das ist die Teilsummenfolge [mm] $\left(\sum_{k=M}^Nq^k\right)_{N=M}^\infty$): [/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] (divergiert also genau dann,
wenn $|q| [mm] \ge [/mm] 1$)
[mm] $\bullet$ [/mm] hat - im Falle der Konvergenz - den Grenzwert (Reihenwert) [mm] $q^M*\underbrace{\frac{1}{1-q}}_{=\sum_{k=\red{0}}^\infty q^k}\,.$
[/mm]
Ein minimales Wissen, was die Herleitung betrifft, solltest Du auch haben.
Etwa, dass
[mm] $q^n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
für $|q|< [mm] 1\,.$ [/mm] Das ist, wenn man es mal gesehen hat, auch nicht schwer, formal zu
beweisen, aber hier reicht es eigentlich, wenn man es sich behält, meinetwegen
auch mithilfe von Beispielen.
Und was man eigentlich herleiten können sollte, ist die Formel für
[mm] $1+q+...+q^N=\sum_{k=0}^N q^k\,.$
[/mm]
Setze
(I) [mm] $S=S_N:=\sum_{k=0}^N q^k\,.$
[/mm]
Berechne
(II) [mm] $q*S=q*(1+q+...+q^N)=q+...+q^N+q^{N+1}\,.$
[/mm]
(Das kann man wunderbar auch mit dem Summenzeichen schreiben:
[mm] $q*\sum_{k=0}^N q^k=\sum_{k=0}^N q^{k+1}=\sum_{m=1}^{N+1} q^m\,.$
[/mm]
Was passiert hier? Naja: Distributivität!)
Wir haben also
[mm] $\begin{matrix}{S= & 1& +q & +q^2 & +... & +q^N &\\ qS= & & q & +q^2 & +... & +q^N & +q^{N+1}}\end{matrix}$
[/mm]
Berechne - wie in der Schule gelernt - etwa obere minus untere Zeile:
[mm] $S-qS=1-q^{N+1}\,.$
[/mm]
Wir wollen nach [mm] $S\,$ [/mm] auflösen:
[mm] $S*(1-q)=1-q^{N+1}\,.$
[/mm]
Für $q [mm] \not=1$ [/mm] kannst Du durch [mm] $(1-q)\,$ [/mm] teilen:
[mm] $S=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}\,.$
[/mm]
Also
[mm] ($\star$) $S=S_N=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}\,.$
[/mm]
Im Falle $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] folgt bei $N [mm] \to \infty$ [/mm] mit den Rechenregeln für konvergente
Folgen
[mm] $\lim_{N \to \infty} \frac{1-q^{N+1}}{1-q}=...=\frac{1}{1-q}\,.$
[/mm]
Also
[mm] $\sum_{k=\red{0}}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$ [/mm] für $|q| < [mm] 1\,.$
[/mm]
Und wenn man nun $M [mm] \in \IN_0$ [/mm] fest und $N [mm] \ge [/mm] M$ und dann
[mm] $\sum_{k=M}^N q^k$
[/mm]
hat, so gilt
[mm] $\sum_{k=M}^N q^k=q^M*\sum_{k=0}^{N-M}q^k\,.$
[/mm]
Wegen [mm] ($\star$)
[/mm]
[mm] $\sum_{k=M}^N q^k=q^M*\frac{1-q^{(N-M)+1}}{1-q}$
[/mm]
für $q [mm] \not=1\,.$
[/mm]
Der Rest folgt dann, weil mit
$N':=N-M$ ($N [mm] \ge [/mm] M$ variabel, aber $M [mm] \in \IN_0$ [/mm] fest!)
dann $N [mm] \to \infty$ [/mm] insbesondere $N'=N-M [mm] \to \infty$ [/mm] impliziert.
Also für komplexe [mm] $q\,$ [/mm] mit $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] ist die Reihe [mm] $\sum_{k=M}^N q^k$ [/mm] (das ist die
Teilsummenfolge [mm] $\left(\sum_{k=M}^Nq^k\right)_{N=M}^\infty$) [/mm] konvergent mit Reihenwert
[mm] $q^M*\lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^{N-M} q^k=q^M*\lim_{N' \to \infty} \sum_{k=0}^{N'} q^k=q^M*\frac{1}{1-q}\,.$
[/mm]
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
Zum Auswendiglernen:
Für $|q| < [mm] 1\,$:
[/mm]
[mm] $q^N \to [/mm] 0$ (bzw. auch [mm] $|q^N| \to [/mm] 0$ bzw. auch [mm] $|q|^N \to [/mm] 0$) bei $N [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Für komplexe $q [mm] \not=1$ [/mm] und $M,N [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit $N [mm] \ge [/mm] M$
[mm] $\sum_{k=M}^N q^k=q^M*\frac{1-q^{(N-M)+1}}{1-q}\,.$
[/mm]
(Herleitung:
Klammere [mm] $q^M$ [/mm] vor und benutze die Formel mit [mm] $M=0\,,$ [/mm] wie oben hergeleitet
(siehe [mm] ($\star$)).
[/mm]
Alternativ kannst Du das Verfahren von oben erneut durchführen:
Sei
[mm] $S_{M,N}:=\sum_{k=M}^N q^k\,.$
[/mm]
Dann berechne
[mm] $S_{M,N}-q*S_{M,N}=...\,,$
[/mm]
und löse nach [mm] $S_{M,N}$ [/mm] [im Falle $q [mm] \not=1$] [/mm] auf! Im Falle [mm] $M=0\,$ [/mm] ist [mm] $S_{M,N}=S_{0,N}$ [/mm] das
obige [mm] $S_N\,,$ [/mm] und auch damit kann man sein Ergebnis erstmal schnell prüfen,
ob das passen kann...)
Für $|q| < 1$ kannst Du daraus schon folgern
[mm] $\sum_{k=M}^\infty q^k=q^M*\frac{1}{1-q}\,.$
[/mm]
Und ansonsten solltest Du alle Rechenregeln für (konvergente) Folgen bzw.
(konvergente) Reihen auch nochmal wiederholen. Auch das ist Basiswissen,
das eigentlich zu mehr als 90% fest sitzen sollte.
Und wie Du siehst, ist das, was man für und über die geometrische Reihe
"mindestens" wissen sollte, relativ überschaubar. (Wenn man den Teil, dass
[mm] $q^N \to [/mm] 0$ ($N [mm] \to \infty$) [/mm] für $|q| < 1$ nicht ausführlich beweist, sondern 'vorgibt',
siehst Du eigentlich, dass jeder Oberstufenschüler sich alles zusammenbauen
könnte, was er braucht. Denn der einzige "Clou" ist doch etwa, sich mit
[mm] $S=S_N=1+...+q^N$ [/mm] mal
[mm] $S-q*S\,$
[/mm]
anzuschauen und zu bemerken, dass dabei [mm] $1-q^{N+1}$ [/mm] rauskommt.)
Was Du hier vielleicht zudem auch noch wissen solltest, ist, wie man den Betrag einer komplexen
Zahl errechnet, sofern ihr denn auch mal komplexwertige Reihen behandelt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
vielen dank für die mühe, werde es mir mal ausdrucken und anschauen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen dank für die mühe, werde es mir mal ausdrucken und
> anschauen
bitte auch auf Fehler kontrollieren und ggf. darauf hinweisen bzw. nachfragen.
(Wäre auch sinnvoll, wenn andere, denen was auffällt, darauf hinweisen.
Jedenfalls besonders sinnvoll und hilfreich für Dich.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Aufgabe
Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und geben Sie deren Wert an.
a) $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!} [/mm] $
b) $ [mm] \summe_{m=1}^{\infty} \bruch{-2^{m}}{m} [/mm] $
c) $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] $
d) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} (\wurzel[n]{2}-1) [/mm] $
e) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} [/mm] $ |
Hallo,
also deren konvergenz haben wir hier nun sehr ausgiebig diskutiert mir auch alles nochmal durchgeschaut und nachgrechnet...komme nun immer auf die richtigen lösungen (vllt. auch nur weil ich nun alles auswendig kenne...hoffentlich nicht)
nun möchte bestimme ich die reihenwerte mit folgender formel:
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
da meine reihen allerdings bei k=1 beginnen, lautet meine formel:
[mm] \summe_{k=1}^{n} q^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] - a0
die q's sind noch bekannt
a) $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!} [/mm] $ : q = 0
[mm] \summe_{k=1}^{n} q^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-0} [/mm] - [mm] \bruch{3^{0}}{0!} [/mm] = 1
bevor ich weiter mache, kurze zwischenfrage, ist das so richtig ??!?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
Hallo Smuji,
> Aufgabe
> Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und geben
> Sie deren Wert an.
>
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{m=1}^{\infty} \bruch{-2^{m}}{m}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} (\wurzel[n]{2}-1)[/mm]
>
> e) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> also deren konvergenz haben wir hier nun sehr ausgiebig
> diskutiert mir auch alles nochmal durchgeschaut und
> nachgrechnet...komme nun immer auf die richtigen lösungen
> (vllt. auch nur weil ich nun alles auswendig
> kenne...hoffentlich nicht)
>
>
> nun möchte bestimme ich die reihenwerte mit folgender
> formel:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> da meine reihen allerdings bei k=1 beginnen, lautet meine
> formel:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} q^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] - a0
Ja, das gilt für [mm]|q|<1[/mm]
>
> die q's sind noch bekannt
>
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!}[/mm] : q = 0
Nein, das ist doch keine geometrische Reihe; diese Formel, die du da oben stehen hast, gilt nur für Reihen des Typs "geometrische Reihe" [mm]\sum\limits_{k\ge M}\red{q^k}[/mm] mit einer festen (komplexen) Zahl q, die betraglich kleiner als 1 ist ...
Hier in a) ist die Reihe KEINE geometrische Reihe, da kannst du die Formel vergessen ...
Wie man bei dieser Reihe den Wert bestimmt, steht wohl hier im thread und auch in deinem alten thread, in dem die Reihe diskutiert wurde ...
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} q^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-0}[/mm] - [mm]\bruch{3^{0}}{0!}[/mm]
> = 1
>
>
> bevor ich weiter mache, kurze zwischenfrage, ist das so
> richtig ??!?
Leider nicht ...
>
>
> gruß smuji
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Smuji |
Gut, diese Formel hatte ich von einen User erhalten. Vermutlich habe ich nicht gemerkt, wann ich diese genau einsetzen kann..
Also,
bestimmen ich den Wert der Reihe am Besten mit:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} [/mm] an ?!?!?
dann wäre es in diesem fall
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!} [/mm] = ehm..... ausklammern wird ja hier nix.... wie gehe ich hier vor ?
hier steigt der zähler ja eigentlich schneller als der nenner, auch wenn beides gegen unendlich geht.... beudetet das, dass der wert = [mm] \infty [/mm] ???
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Gut, diese Formel hatte ich von einen User erhalten.
Ja, für die geometrischen Reihen !
> Vermutlich habe ich nicht gemerkt, wann ich diese genau
> einsetzen kann..
Das denke ich auch
>
> Also,
>
> bestimmen ich den Wert der Reihe am Besten mit:
>
>
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}[/mm] an ?!?!?
Nein, du musst genauer arbeiten.
Du hast aufgeschrieben (ich rechne das mal aus:)
[mm]...=\lim\limits_{k\to\infty}(n\cdot{}a_n) \ = \ n\cdot{}a_n[/mm] - Quark!
Das hat dir so niemand aufgeschrieben.
Allenfalls [mm]\lim\limits_{\red{n}\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}a_{\red k}[/mm]
>
>
> dann wäre es in diesem fall
>
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!}[/mm]
Nein, das passt weder mit "deiner Formel" zusammen noch mit dem, was dir hier im thread geschrieben wurde.
[mm]\lim\limits_{\red n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{\red n}\frac{3^k}{k!}[/mm] gilt es zu bestimmen.
Und dazu hat - Diophant war's glaube ich - schon was geschrieben.
Er hat dir aufgeschrieben, was denn die Partialsumme [mm]\sum\limits_{k=1}^n\frac{3^k}{k!}[/mm] ist ...
Suche das (es ist ein Ausdruck, der von n abhängt ...), dann kannst du den Grenzwert davon für [mm]n\to\infty[/mm] bilden ...
> = ehm..... ausklammern wird ja hier nix.... wie gehe ich
> hier vor ?
>
>
> hier steigt der zähler ja eigentlich schneller als der
> nenner, auch wenn beides gegen unendlich geht.... beudetet
> das, dass der wert = [mm]\infty[/mm] ???
Wenn die Reihe den "Wert" unendlich "hätte", wäre sie nicht konvergent, aber dass sie konvergent ist, haben wir bereits gezeigt.
Sie sollte also gefälligst einen endlichen Wert haben.
So groß ist der Wert gar nicht - du wirst vllt überrascht sein, wenn du ihn ausgerechnet hast ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{3^{k}}{k!}[/mm]
das ist unsinnig - das [mm] $k\,$ [/mm] ist der Laufindex bzgl. des Summenzeichens, den
kannst Du nicht [mm] $\to \infty$ [/mm] "ziehen". Und natürlich meinst Du
[mm] $\limes_{\red{N}\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\red{N}} \bruch{3^{k}}{k!}$
[/mm]
> = ehm..... ausklammern wird ja hier nix.... wie gehe ich
> hier vor ?
Es wurde ja schon gesagt, dass da KEINE geometrische Reihe steht. (Welches
[mm] $q\,$ [/mm] würdest Du denn da vermuten???)
Wieder etwas, dass Du AUSWENDIG wissen solltest:
Für jedes $z [mm] \in \IC$ [/mm] ist die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ [/mm] (beachte den
Nenner!) konvergent und hat den Reihenwert
[mm] $\lim_{N \to \infty}\sum_{k=0}^N \frac{z^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}=e^z\,.$
[/mm]
Oben:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{3^k}{k!}=\red{-\frac{3^0}{0!}}+\left(\red{\frac{3^0}{0!}}+\sum_{k=1}^\infty \frac{3^k}{k!}\right)$
[/mm]
Fragen an Dich: Was ist [mm] $3^0/0!$? [/mm] Wieso steht jetzt in den großen runden Klammern
nichts anderes als [mm] $e^3$ ($e\,$: [/mm] Eulersche Zahl)?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hier steigt der zähler ja eigentlich schneller als der
> nenner, auch wenn beides gegen unendlich geht.... beudetet
> das, dass der wert = [mm]\infty[/mm] ???
Du willst hier anscheinend wissen, was mit [mm] $3^k/(k!)$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] passiert?
(Das kann man bzgl. der Frage des Reihenwerts nicht verwenden, aber
beantworten kann ich Dir die Frage schon.)
Auch, wenn Du den Eindruck hast, dass
[mm] "$3^k\,$ [/mm] schneller steigt als [mm] $k!\,$"
[/mm]
so zeigt etwa gerade die Existenz des Reihenwerts
[mm] $\sum_{k=0}^\infty 3^k/(k!)\,,$
[/mm]
dass
[mm] $3^k/(k!) \to [/mm] 0$ bei $k [mm] \to \infty$
[/mm]
gilt. Dein "Eindruck" resultiert also nur aus dem Betrachten des Ausdrucks
[mm] $3^k/(k!)$
[/mm]
für "zu wenige/zu kleine" [mm] $k\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> nun möchte bestimme ich die reihenwerte mit folgender
> formel:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
es ist
[mm] $\sum_{k=0}^\red{n}q^{\red{k}}$ $=\,$ $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] für $q [mm] \not=1\,,$
[/mm]
und
[mm] $\sum_{k=0}^\red{\infty}q^{\red{k}}$ $=\,$ $\frac{1}{1-q}$ [/mm] für $|q| < [mm] 1\,.$
[/mm]
Bitte darauf achten, was Du schreibst!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Smuji |
und wie bestimme ich dann bei meiner reihe deren wert ?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Smuji!
Ich meine mich zu erinnern, dass Du mindestens einmal auf die Definition der e-Funktion (siehe auch hier) hingewiesen wurdest mit:
[mm] $e^x [/mm] \ = \ [mm] \exp(x) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}$
[/mm]
Nun Du ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> und wie bestimme ich dann bei meiner reihe deren wert ?
>
> gruß smuji
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k!}=-\frac{z^0}{0!}+e^z=e^z-\frac{z^0}{0!}=e^z-\frac{1}{1}=e^z-1\,.$
[/mm]
In den Term
[mm] $e^z-1$
[/mm]
nun [mm] $z=3\,$ [/mm] einzusetzen ist nun aber wirklich nicht schwer. Oder scheitert's
daran, dass Du [mm] $e\,$ [/mm] nicht kennst? Diese Zahl ist als Grenzwert definiert, Du
kannst aber - sagen wir mal: in vielen praktischen Aufgaben - auch einfach
$e [mm] \approx [/mm] 2,7183$
benutzen. Allerdings kannst Du auch einfach Deinen Taschenrechner bemühen,
selbst, wenn da "nur" die "e^"-Taste steht: Dann benutze einfach
[mm] $e=e^1\,,$
[/mm]
falls Du mal nur [mm] $e\,$ [/mm] (gut approximiert) sehen willst.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
$ [mm] e^x [/mm] \ = \ [mm] \exp(x) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} [/mm] $
das heißt, bei meiner reihe
$ [mm] e^3 [/mm] \ = \ [mm] \exp(3) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k}{k!} [/mm] $ - was ?
das beudetet, mein reihenwert = ist 20,09 - was ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Sa 26.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Du liest dir die Antworten einfach nicht richtig durch! Der
arme Marcel ist sicher bald am Kopfschütteln.
> [mm]e^x \ = \ \exp(x) \ := \ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}[/mm]
...... für alle [mm] x\in\IC.
[/mm]
> das heißt, bei meiner reihe
>
> [mm]e^3 \ = \ \exp(3) \ := \ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k}{k!}[/mm]
> - was ?
Das kann doch nicht wahr sein. Der arme Schachu......
Wenn du in die Definition oben die Zahle 3 einsetzt, dann
beginnt doch deine Reihe nicht bei [mm] $k=1\$ [/mm] !!!
> das beudetet, mein reihenwert = ist 20,09 - was ?
Ohh je. Diese Thread ist schon viel zu lang, also w/e:
Es gilt:
[mm] e^z=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!} [/mm] für alle [mm] z\in\IC.
[/mm]
Du willst nun
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k}}{k!}
[/mm]
berechnen. Hierfür gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k}}{k!}=\underbrace{-\frac{3^0}{0!}+\frac{3^0}{0!}}_{=0}+\summe_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k}}{k!}=-\frac{3^0}{0!}+\underbrace{\frac{3^0}{0!}+\summe_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k}}{k!}}_{=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{3^{k}}{k!}}=-\frac{3^0}{0!}+\summe_{k=0}^{\infty}\frac{3^{k}}{k!}=-1+e^3.
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, ein klein wenig einleuchtender, auch wenn ich nicht ganz verstehe, warum immer die 0 eingesetzt wurde.....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Sa 26.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
> ok, ein klein wenig einleuchtender, auch wenn ich nicht
> ganz verstehe, warum immer die 0 eingesetzt wurde.....
Weil wir die Exponentialreihe benutzen wollen und diese
beginnt bei Null. Das hat dir aber Schachu alles erklärt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Smuji,
> [mm]e^x \ = \ \exp(x) \ := \ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}[/mm]
>
> das heißt, bei meiner reihe
>
> [mm]e^3 \ = \ \exp(3) \ := \ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k}{k!}[/mm]
> - was ?
>
> das beudetet, mein reihenwert = ist 20,09 - was ?
man weiß oft nicht, woran es liegt, dass Du nicht das machst, was man Dir
sagt.
Ich hatte Dir gesagt, dass Dein gesuchter Reihenwert
[mm] $e^z-1\,$ [/mm] mit [mm] $z:=3\,$
[/mm]
sein wird. Selbst, wenn Du das nochmal nachvollziehen wolltest (was Du
auch tun solltest), dann gucke doch am Ende, ob Dein Ergebnis
[mm] $e^3\,$
[/mm]
dazu passt. Tut es nicht...
Mal allgemein: Wenn eine Reihe [mm] $\left(\sum_{k=0}^N a_k\right)_{N=0}^\infty$ [/mm] konvergiert,
und wenn Du den Reihenwert
[mm] $S=\sum_{k=0}^\infty a_k$ $\left(=\lim_{N \to \infty}\sum_{k=0}^N a_k\right)$
[/mm]
kennst, so kannst Du Dir auch leicht überlegen, dass [mm] $\left(\sum_{k=\red{N_0}}^N a_k\right)_{N=\red{N_0}}^\infty$ [/mm] (mit einem
festen [mm] $N_0 \in \IN$) [/mm] konvergiert und zudem eine Beziehung zwischen dem gesuchten
Reihenwert und [mm] $S\,$ [/mm] herstellen.
Es gilt
[mm] $\sum_{k=N_0}^\infty a_k=S-\sum_{k=0}^{N_0-1}a_k\,.$
[/mm]
In "flapsiger Notation" würde ich das sogar schon Schülern schnell beibringen
können - wenngleich sie sicher Probleme mit den Begriffen "konvergente Folge/
Reihe" haben könnten (außerdem ist das unten nur ein Ergebnis, was
vielleicht auch wie ein Beweis wirkt, aber tatsächlich kein Beweis ist):
[mm] $\sum_{k=N_0}^\infty a_k=(\overbrace{\underbrace{\red{a_0+a_1+...+a_{N_0-1}+}}_{\blue{\text{das ist zuviel}}}a_{N_0}+a_{N_0+1}+...)}^{=S}\;\underbrace{-\;\red{(a_0+a_1+...+a_{N_0-1}})}_{\blue{\text{also muss ich es wieder abziehen}}}$
[/mm]
Es gilt also auch
[mm] $\sum_{k=3}^\infty \frac{z^k}{k!}=e^z-(\tfrac{z^0}{0!}+\tfrac{z^1}{1!}+\tfrac{z^2}{2!})\,,$
[/mm]
das ist nichts anderes als die obige Erkenntnis angewandt für
[mm] $a_k=a_k(z)=\frac{z^k}{k!}$ [/mm] und [mm] $N_0=3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, vielen dank !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | | b) $ [mm] \summe_{m=1}^{\infty} \bruch{-2^{m}}{m} [/mm] $ |
da ich nun den wert der aufgabe a mit hilfe der e-funktion errechnen kann,
frage ich mich, wie ich es hier schaffe, dann hier kann ich die e-funktion wohl nicht nehmen....
mit welcher formel klappt es hier ?
gruß smuji
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Sa 26.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
> b) [mm]\summe_{m=1}^{\infty} \bruch{-2^{m}}{m}[/mm]
> da ich nun den
> wert der aufgabe a mit hilfe der e-funktion errechnen
> kann,
>
> frage ich mich, wie ich es hier schaffe, dann hier kann ich
> die e-funktion wohl nicht nehmen....
>
> mit welcher formel klappt es hier ?
Die obige Reihe (auch mit Klammern) divergiert!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
achso, stimmt, wenn reihen divergieren, haben sie keinen wert, richtig ?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> b) [mm]\summe_{m=1}^{\infty} \bruch{-2^{m}}{m}[/mm]
es wurde ja schon gesagt, dass diese Reihe divergiert (Wurzelkriterium
zeigt das sofort) - kann es aber sein, dass Du
[mm] $\sum_{m=1}^\infty \frac{(-2)^m}{m}$
[/mm]
meintest?
(Korrektur: Wobei auch diese Reihe divergiert - denn [mm] $2^m/m \not\to [/mm] 0$!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
jetzt machst du mich schwach...ja ich meinte:
$ [mm] \sum_{m=1}^\infty \frac{(-2)^m}{m} [/mm] $
aber warum konvergiert diese ?
kann ich sie nicht mit dem QK berechnen ?
oder sagen wir es mal so, was macht die klammer denn besonderes ?
[mm] (-2)^m [/mm] ist doch das gleiche wie [mm] -2^m [/mm] ????
achso, es wechselt das vorzeichenm wenn die -2 in klammern ist...ansonsten, ohne klammer, ist das ergebnis immer negativ...
wie bekomme ich den alternierenden teil rausgezogen, um das leibnix anwenden zu können ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> jetzt machst du mich schwach...ja ich meinte:
>
> [mm]\sum_{m=1}^\infty \frac{(-2)^m}{m}[/mm]
>
> kann ich sie nicht mit dem QK berechnen ?
wie jetzt angedeutet: Nimm' nicht QK oder WK, am einfachsten wird es
sicher mit dem
Trivialkriterium
gehen, um einzusehen, dass das Ding divergiert.
> oder sagen wir es mal so, was macht die klammer denn
> besonderes ?
>
>
> [mm](-2)^m[/mm] ist doch das gleiche wie [mm]-2^m[/mm] ????
Nein!
> achso, es wechselt das vorzeichenm wenn die -2 in klammern
> ist...ansonsten, ohne klammer, ist das ergebnis immer
> negativ...
Genau:
[mm] $(-2)^m$ [/mm] liefert $-2,4,-8,16,...$
und
[mm] $-2^m$ [/mm] liefert $-2,-4,-8,-16,...$
Grund:
[mm] $(-2)^m=((-1)*2)^m=(-1)^m*2^m\,.$
[/mm]
> wie bekomme ich den alternierenden teil rausgezogen, um das
> leibnix anwenden zu können ?
Leibniz - wird sind nicht bei Asterix und Obelix.
Wenn man nach Leibniz gucken wollte:
[mm] $\sum_{m=1}^\infty \frac{(-2)^m}{m}=\sum_{m=1}^\infty (-1)^m*\frac{2^m}{m}$
[/mm]
Allerdings ist, wie gesagt
[mm] $\left(\tfrac{2^m}{m}\right)_{m=1}^\infty$
[/mm]
schon keine Nullfolge... Sorry für die Verwirrung!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
und wie bestimme ich nun den wert dieser reihe ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Sa 26.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
> und wie bestimme ich nun den wert dieser reihe ?
1) Die Reihe hast du weiter oben sogar mit dem QK untersucht
und es kam Divergenz raus!
2) DIE REIHE DIVERGIERT!
Liest du wirklich alle Antworten? Probierst du nur deine
Aufgaben hier gelöst zu bekommen oder arbeitest du auch
dein Skript nach? Ich weiß nicht, ob es nur mir so geht,
aber ich tippe auf ersteres.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> und wie bestimme ich nun den wert dieser reihe ?
welche meinst Du denn nun überhaupt? Bei
[mm] $\sum_{m=1}^\infty \frac{(-2)^m}{m}$ [/mm] und [mm] $\sum_{m=1}^\infty \frac{-2^m}{m}$
[/mm]
hatten wir uns doch nun geeinigt, dass die beide divergent sind. Geht es
Dir noch um
[mm] $\sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^m}{m}$?
[/mm]
Hier könntest Du mal nachschlagen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Als_Potenzreihe
Wobei, wenn man sich ein wenig mit Potenzreihen auskennt, sich so etwas
auch mehr oder weniger herleiten kann:
Für
$|x| < [mm] 1\,$
[/mm]
gilt für
[mm] $f(x):=\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k}$
[/mm]
eben
[mm] $f'(x)=\sum_{k=1}^\infty x^{k-1}=\frac{1}{1-x}\,.$
[/mm]
Da passiert aber was: Die Differentiation und Summation wird vertauscht,
was man hier aber machen darf. (Das lernst Du aber in der Potenzreihen-
Theorie.)
Der Rest ist "Stammfunktionsfindung" und "Abgleich der Integrationskonstante".
Edit: Obige Überlegung passt nicht ganz, weil wir ja nicht [mm] $x=-1\,$ [/mm] einsetzen
dürfen.
Aber: Eine analoge Überlegung kann man halt für [mm] $\ln(1+x)$ [/mm] anstellen, dann sollte
die verlinkte Reihendarstellung entstehen, bei der man wegen Abel auch
[mm] $x=1\,$ [/mm] einsetzen, also [mm] $\ln(2)\,$ [/mm] als Reihe sehen, kann.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
sorry, klar..war etwas verwirrt noch...
mir ging es jetzt darum,,, wie bestimme ich den wert einer solchen reihe
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] $
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sorry, klar..war etwas verwirrt noch...
>
> mir ging es jetzt darum,,, wie bestimme ich den wert einer
> solchen reihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
das ist schon wieder eine neue Reihe. Wie gesagt:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{k}$
[/mm]
divergiert. Jetzt hast Du da Zähler und Nenner vertauscht:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k}$
[/mm]
Diese konvergiert. Wenn Du die wirklich meinst, da gibt es einen Trick, Du
kannst sie umschreiben:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty k*(1/2)^k=\frac{1}{2}*\sum_{k=1}^\infty k*(1/2)^{k-1}\,.$
[/mm]
Betrachte nun für $|x| < [mm] 1\,$
[/mm]
[mm] $g(x)=\sum_{k=1}^\infty k*x^{k-1}\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $G(x)=\sum_{k=1}^\infty x^k=x*\frac{1}{1-x}$
[/mm]
eine Stammfunktion von [mm] $g\,.$ [/mm] Also
[mm] $g(x)=G'(x)=\frac{1-x-x*(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}\,.$
[/mm]
Mit
[mm] $\sum_{k=1}^\infty k*(1/2)^k=\frac{1}{2}*\sum_{k=1}^\infty k*(1/2)^{k-1}=\frac{1}{2}*g(1/2)$
[/mm]
folgt
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k}=\sum_{k=1}^\infty k*(1/2)^k=\frac{1}{2}*4=2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, danke
|
|
|
|
Ich hab's korrigiert. 