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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Reihen
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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 So 13.12.2015
Autor: mathephysik01

Aufgabe
1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n!}}{n^{n}} [/mm] mit x [mm] \in \IR. [/mm]
2) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm]
mit [mm] a_{n} =\begin{cases} 2^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 3^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm]

Okay super vielen Dank!!
Bei diesen zwei anderen komme ich leider auch nicht weiter..

Zu 1) Ich habe einen Ansatz mit dem Quotientenkriterium probiert:
[mm] |\bruch{x^{(n+1)!}}{(n+1)^{n+1}}* \bruch{n^{n}}{x^{n!}}| [/mm] = [mm] |\bruch{x^{n!}*x^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)*x^{n!}}| [/mm] = [mm] |\bruch{n^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)}| [/mm]
Allerdings komme ich hiermit nicht weiter. Man soll am Ende angeben für welche Werte von x die Reihe konvergiert und für welche sie divergiert.

Bei 2) fehlt mir zunächst einmal grundlegend das Wissen, wie man mit einer so definierten Reihe Konvergenz untersucht. Also ich weiß, was es bedeutet, allerdings kann ich noch nicht wirklich damit umgehen.

Vielen Dank!

        
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Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 So 13.12.2015
Autor: abakus

Verwende bei 2) an Stelle der unterteilten Bildungsvorschrift den Term [mm] $2^{-n}$ [/mm] für ALLE n zur Bildung einer konvergenten Majorante.

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 So 13.12.2015
Autor: mathephysik01

Aaah. Und wenn ich dann zeige dass [mm] b_{n}:= 2^{-n} [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch die ursprungsreihe oder? super vielen Dank!

Weiß auch jemand bei der anderen weiter?:)

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Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:23 Mo 14.12.2015
Autor: fred97


> Aaah. Und wenn ich dann zeige dass [mm]b_{n}:= 2^{-n}[/mm]
> konvergiert,


Es geht um die konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm]   !!!


> dann konvergiert auch die ursprungsreihe oder?

Ja, die Ursprungsreihe konvergiert, wenn  [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] konvergiert.


> super vielen Dank!
>  
> Weiß auch jemand bei der anderen weiter?:)

bei Aufgabe 1 hast Du einen Fehler gemacht:

   es ist [mm] x^{(n+1)!} \ne x^{n!} x^{n+1} [/mm]

aber  [mm] x^{(n+1)!}=( x^{n!})^{n+1} [/mm]

FRED


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Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Mo 14.12.2015
Autor: Mathemystic


>
> Zu 1) Ich habe einen Ansatz mit dem Quotientenkriterium
> probiert:
> [mm]|\bruch{x^{(n+1)!}}{(n+1)^{n+1}}* \bruch{n^{n}}{x^{n!}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x^{n!}*x^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)*x^{n!}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{n^{n+1}*n^{n}}{(n+1)^{n}*(n+1)}|[/mm]
>  Allerdings komme ich hiermit nicht weiter. Man soll am
> Ende angeben für welche Werte von x die Reihe konvergiert
> und für welche sie divergiert.
>  

Hallo,

habe kein Papier zur Hand, habe deshalb meine Idee nicht probiert:
Wenn man bei 1) das Wurzekriterium anwendet, wird denke ich deutlich dass der Zähler schneller wächst als der Nenner. Die Reihe wäre somit divergent.


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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:30 Mo 14.12.2015
Autor: mathephysik01

Die 3) habe ich jetzt verstanden schon einmal vielen Dank für die Hilfe!:)

Zur 1) nochmal.
Den Fehler beim Quotientenkriterium habe ich verbessert, trotzdem komme ich mit diesem Ansatz nicht weiter.
Habe auch das Wurzelkriterium versucht nun:
Ursprüngliche Reihe ist gleich:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{x^{(n-1)!}}{n})^{n} [/mm]

Dann das Wurzelkriterium :
[mm] \wurzel[k]{|c_{k}|} [/mm] = [mm] \wurzel[k]{(|\bruch{x^{(k-1)!}}{k}|)^{k}} [/mm] = [mm] |\bruch{x^{(k-1)!}}{k}| [/mm]

Die Aufgabenstellung besagt ja, dass man sagen soll für welche Werte von x die Reihe divergiert und für welche konvergiert.
Jetzt am Ende wirkt es so, dass die Reihe immer divergiert, weil der Zähler deutlich größer wird, außer wenn x=0,1 oder -1.
Gibt es noch mehr Werte wo die Reihe konvergiert?
Und wie kann ich das beweisen? Das ist  ja momentan eher ein rein logischer Beweis zum Ende hin..

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Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Mo 14.12.2015
Autor: fred97

Für |x| [mm] \le [/mm] 1 gilt $ [mm] \wurzel[k]{|c_{k}|} \to [/mm] 0 $

Für |x|> 1 gilt $ [mm] \wurzel[k]{|c_{k}|} \to \infty [/mm] $

FRED

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Konvergenz von Reihen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:39 Mo 14.12.2015
Autor: mathephysik01

Meint ihr ich muss die Aussage, für welche x die Aussage konvergiert und für welche divergiert nochmal ordentlich beweisen oder reicht es das aus dem letzten Schluss mit dem Wurzelkriterium zu folgern?

Aber vielen Dank an alle, die geholfen haben!

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Konvergenz von Reihen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Mi 30.12.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Mo 14.12.2015
Autor: Mathemystic

Zu 1)

In der Reihe kommt ja kein x vor. Ist die Aufgabenstellung vielleicht fehlerhaft?

Die Reihe, so wie sie da steht, divergiert. Das hast du jetzt gezeigt.

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Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 Mo 14.12.2015
Autor: fred97


> Zu 1)
>  
> In der Reihe kommt ja kein x vor.


Hä ??? Es war doch vorgelegt:  $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n!}}{n^{n}} [/mm] $

FRED


> Ist die Aufgabenstellung
> vielleicht fehlerhaft?
>  
> Die Reihe, so wie sie da steht, divergiert. Das hast du
> jetzt gezeigt.


Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Mo 14.12.2015
Autor: Mathemystic

Fred97 hat natürlich recht. Das X hab ich heute morgen in der Hektik aus den Augen verloren (außerdem hatte mir jemand was ins Frühstück  ;-) )

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