Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Do 28.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Zahlenreihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{10+n^{2}}}{n^{3}}
[/mm]
|
Ich habe mir gedacht, dass man das mittels Majorantenkriterium lösen kann, also eine Majorante finden, die konvergiert -> dann konvergiert auch die Minorante, also diese Reihe.
Allerdings finde ich es schwer, eine Majorante zu finden.
Ich habe zunächst mal eine Minorante gesucht: mit [mm] min=\bruch{\wurzel{n^2}}{n^{3}}, [/mm] weil das der obigen Reihe doch sehr ähnlich ist und wohl einfacher auf Konvergenz zu prüfen ist.
min lässt sich weiter umformen:
[mm] min=\bruch{n}{n^{3}}=\bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Die Prüfung der Konvergenz meiner gefundenen Minorante habe ich mittels Quotientenkriterium angewendet. [mm] (\bruch{ak+1}{ak}):
[/mm]
also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ak+1}{ak}= [/mm] (gleich mit Kehrwert mult.)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(n+1)^{2}}*\bruch{n^{2}}{1}=1
[/mm]
also konvergiert die Minorante und daher auch die Majorante, die ja meine Reihe aus der Aufgabenstellung ist.
Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das so geht, weil ich zum einen ja eine Minorante gefunden habe, und meine gesuchte Reihe ja die Majorante ist (Oder darf ich auch eine Minorante suchen, die konvergiert?)
Weiterhin weiß ich nicht so recht, ob ich mir es bei der Suche nach einer ähnlichen Reihe nicht zu einfach gemacht wird, und so mein Ergebnis falsch ist.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Do 28.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Also eine Minorante suchen und dann daraus schließen, dass die Majorante Konvergiert geht im allgemeinen nicht!!!! Besonders nicht, wenn alle Folgenglieder positiv sind!
Aber probier doch mal den Bruch unter eine einzige Wurzel zu schreiben, z.B. so:
[mm] \wurzel{\bruch{10+n^{2}}{n^{6}}} [/mm]
Dann sollte es nicht allzu schwer sein eine konvergente Majorante zu finden. Falls doch einfach nochmal schreiben.
Grüße Baufux
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Sa 13.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | ok, ich wenn ich [mm] \bruch{\wurzel{10+n^{2}}}{n^{3}} [/mm] umwandle in [mm] \wurzel{\bruch{10+n^{2}}{n^{6}}} [/mm] dann kann ich doch [mm] \bruch{10 + n^{2}}{n^{6}} [/mm] als Majorante betrachten, da mir das einen Faktor liefert, der immer größer als ein Faktor unter der Wurzel ist, oder? |
Wenn ich also jetz das Quotientenkriterium für Reihen für [mm] \bruch{10+n^{2}}{n^{6}} [/mm] anwende, komme ich doch auf folgendes:
[mm] \bruch{10+(n+1)^{2}}{(n+1)^{6}}*\bruch{n^{6}}{10+n^{2}}
[/mm]
das schreibe ich erst um, um weiter zu vereinfachen (kürzen):
[mm] =\bruch{10+n^{2}(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^{2}})^{2}*n^{6}}
[/mm]
[mm] {n^{6}(\bruch{1}{n^{5}}+\bruch{1}{n^{6}})^{6}*n^{2}(\bruch{10}{n^{2}}+1)}
[/mm]
jetz alle Faktoren vor den Klammern kürzen führt auf:
[mm] \bruch{10+1*(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^{2}})^{2}*1}
[/mm]
[mm] {1(\bruch{1}{n^{5}}+\bruch{1}{n^{6}})^{6}*1(\bruch{10}{n^{2}}+1)}
[/mm]
jetz die Grenzwertbetrachtung durchführen ergibt: [mm] \bruch{10 + 1*(0 + 0)*1}{1*(0+0)*1}=0
[/mm]
d.h. 0<1 konvergent..., also ist der Ursprungsterm auch konvergent....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 So 14.01.2007 | | Autor: | RalU |
Weiß denn niemand eine Antwort??? Schade...
|
|
|
| |
|
Hallo,
irgendwie bricht hier jetzt das große Gewurschtel aus!
Dein Plan ist mir jedenfalls nicht klargeworden:
Was willst Du denn tun? Das Majorantenkriterium anwenden ODER das Quotientenkriterium?
> ok, ich wenn ich [mm]\bruch{\wurzel{10+n^{2}}}{n^{3}}[/mm] umwandle
> in [mm]\wurzel{\bruch{10+n^{2}}{n^{6}}}[/mm] dann kann ich doch
> [mm]\bruch{10 + n^{2}}{n^{6}}[/mm] als Majorante betrachten, da mir
> das einen Faktor liefert, der immer größer als ein Faktor
> unter der Wurzel ist, oder?
Hmmmm - einen Faktor sehe ich da überhaupt nicht...
Und um [mm] \bruch{10+n^{2}}{n^{6}} [/mm] als Majorante für [mm] \wurzel{\bruch{10+n^{2}}{n^{6}}} [/mm] verwenden zu können, müßte ja zunächst einmal gewährleistet sein, daß [mm] \wurzel{\bruch{10+n^{2}}{n^{6}}}<{\bruch{10+n^{2}}{n^{6}}}. [/mm] Leider ist das nicht der Fall.
Deine Rechnungen zum Quotientenkriterium stimmen nicht.
Z.B. ist [mm] (n+1)^{6}\not=n^{6}(\bruch{1}{n^{5}}+\bruch{1}{n^{6}})
[/mm]
Die Grundidee mit der Majorante war doch nicht so schlecht!
[mm] \wurzel{\bruch{10+n^{2}}{n^{6}}}<\wurzel{\bruch{(n+4)^2}{n^{6}}}<...
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
