Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wann konvergiert folgende Reihe?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \bruch{(x-1)^{k}}{k} [/mm] |
Ich bin mir nicht sicher, ob meine Lösung stimmt; folgendes habe ich gemacht:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \bruch{(x-1)^{k}}{k} [/mm] = [mm] (-1)*\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{(x-1)^{k}}{k}
[/mm]
nun weiß ich, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k} [/mm] laut LEIBNIZschem Konvergenzkriterium konvergiert und ich hab mir gedacht, dass dann auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (x-1)^{k} [/mm] konvergieren müsste.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (x-1)^{k} [/mm] ist aber geometrische Reihe und konvergiert also für (x-1) < 1 ;
deshalb müsste die Reihe im Bereich 0 < x < 2 konvergieren.
Gibt es eine andere (bessere) Lösungsvariante?
Mit Dank im Voraus mfg Georg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Georg!
Prinzipiell sieht Deine Lösung sehr gut aus. Allerdings musst Du hier noch die Ränder des Konvergenzbereiches mit [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ bzw. [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 2$ separat untersuchen.
Ich selber hätte hier auch über die Berechnung des Konvergenzradius' argumentiert:
$r \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_k}{a_{k+1}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{(-1)^k}{k}}{\bruch{(-1)^{k+1}}{k+1}}\right| [/mm] \ = \ ... \ = \ 1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Konvergenz für $-1 \ < \ x-1 \ < \ +1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $0 \ < \ x \ < \ 2$
Aber wie gesagt, nun noch die Ränder untersuchen ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Georg!
Da ist mir im ersten Moment doch was durchgerutscht ...
> [...] und ich hab mir gedacht, dass dann auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (x-1)^{k}[/mm] konvergieren müsste.
Aus der Konvergenz der Reihe [mm] $\summe\bruch{(-1)^k}{k}$ [/mm] kannst Du aber nicht die Konvergenz von [mm] $\summe(x-1)^k$ [/mm] folgern.
Daher also wie oben beschrieben, den Konvergenzradius für derartige Potenzreihen ermitteln und untersuchen.
Gruß
Loddar
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