www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Reihen
Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz von Reihen: Problem mit Umformung und PBZ
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Do 28.12.2006
Autor: ex.aveal

Hallo. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich stehe noch ziemlich am Anfang, und komme mal wieder bei einer Umformung meiner Mathe-Professorin nicht so recht mit.

Wir sollen folgende Summe auf Konvergenz untersuchen:

[mm] \summe_{K=-2}^{\infty} \bruch{5}{k²+17k+72} [/mm]

über die PBZ komm ich auf [mm] \bruch{5}{k+9} [/mm] + [mm] \bruch{5}{k+8} [/mm]

meine Professorin aber auf [mm] -\bruch{5}{k+9} [/mm] + [mm] \bruch{5}{k+8} [/mm] ?! Hat das was mit der Summe zu tun? Steh da ziemlich auf dem Schlauch.

Da ich aber in der Partialbruchzerlegung eh nicht wirklich fit bin, wollte ich mal fragen, ob hier evtl ein paar Threads sind, oder jemand Linktipps hat zu Seiten im Internet, wo die PBZ wirklich gut und einfach (auch für mich Dummkopf verständlich) erklärt wird. Wäre super!

Denn in der nächsten Aufgabe soll [mm] \bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] zerlegt werden, und da muss ich schon wieder den Kopf in den Sandstecken.

Dankeschön schonmal!

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Do 28.12.2006
Autor: angela.h.b.

>
> [mm]\summe_{K=-2}^{\infty} \bruch{5}{k²+17k+72}[/mm]
>  
> über die PBZ komm ich auf [mm]\bruch{5}{k+9}[/mm] + [mm]\bruch{5}{k+8}[/mm]
>  
> meine Professorin aber auf [mm]-\bruch{5}{k+9}[/mm] + [mm]\bruch{5}{k+8}[/mm]

Hallo,

sie hat recht:

[mm] \bruch{5}{k²+17k+72}=\bruch{5}{(k+8)(k+9)}=\bruch{a}{k+8}+\bruch{b}{k+9}=\bruch{a(k+9)+b(k+8)}{(k+8)(k+9)}=\bruch{(a+b)k+9a+8b}{(k+8)(k+9)} [/mm]

==> a+b=0 und 9a+8b=5
==> b=-a  und a=5
==> a=5 und b=-5


Zur weiteren Information nütztDir vielleicht dies:

MBPartialbruchzerlegung

Über die Suchfunktion müßtest Du auch Threads finden, die sich mit Partialbruchzerlegung befassen, meist sicher im Zusammenhang mit Integration.

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Tipp zur 2. Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Do 28.12.2006
Autor: Loddar

Hallo ex.aveal!


Hier mal der erste Schritt der MBPartialbruchzerlegung für [mm]\bruch{1}{k(k+1)(k+2)}[/mm] :

[mm] $\bruch{1}{k*(k+1)*(k+2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{k} +\bruch{B}{k+1} +\bruch{C}{k+2} [/mm] \ = \ ...$


Nun auf den Hauptnenner bringen (erweitern), zusammenfassen und Koeffizientenvergleich.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Fr 29.12.2006
Autor: ex.aveal

also ich habe mir das jetzt alles durchgelesen zur PBZ, aber ich ich bringe die zweite Aufgabe immernoch nicht hin, bzw auf das Ergebnis.

bisher:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] = [mm] \bruch{A1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{A2}{k+1} [/mm] + [mm] \bruch{A2}{k+2} [/mm]

1 = A1 (k+1)(k+2) + A2 k(k+2) + A3 k(k+1)

jetzt steh ich aber auf dem Schlauch. Im Beispiel im Link, der oben gepostet wurde, wurde es anhand eines Beispiels erklärt, was sich von dieser Aufgabe unterscheidet, da der Zähler nur den Wert 1, ohne eine Unbekannte hat. Ich hoffe ich habe es einigermaßen verständlich geschrieben ;)

MfG

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: PBZ und LGS lösen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Fr 29.12.2006
Autor: clwoe

Hi,

du machst es genauso wie in der Antwort vorher gezeigt, nur das du diesmal drei Brüche hast.

[mm] \bruch{A}{k}+\bruch{B}{k+1}+\bruch{C}{k+2} [/mm]

nun erstmal mit den Nennern durchmultiplizieren.

[mm] =\bruch{A(k+1)(k+2)+B(k(k+2))+C(k(k+1))}{k(k+1)(k+2)} [/mm]

nun alles ausmultiplizieren und Koeffizienten mit gleichen Potenzen zusammenfassen.

[mm] =\bruch{A(k^{2}+3k+2)+B(k^{2}+2k)+C(k^{2}+k)}{k(k+1)(k+2)} [/mm]

[mm] =\bruch{Ak^{2}+A3k+2A+Bk^{2}+2Bk+Ck^{2}+Ck}{k(k+1)(k+2)} [/mm]

[mm] =\bruch{Ak^{2}+Bk^{2}+Ck^{2}+3kA+2kB+Ck+2A}{k(k+1)(k+2)} [/mm]

und nun wieder ausklammern.

[mm] =\bruch{k^{2}(A+B+C)+k(3A+2B+C)+2A}{k(k+1)(k+2)} [/mm]

So, den Rest überlasse ich dir. Nun muss nur noch ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten gelöst werden. Die Unbekannten sind in dem Fall A,B,C.

Ich denke das dürfte nicht so schwierig sein.

Gruß,
clwoe


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Fr 29.12.2006
Autor: ex.aveal

Dankeschön!

Super, ich glaube jetzt alles in Bezug auf die PBZ verstanden zu haben. Habe beide Aufgaben nochmal selber nachgerechnet, und bin auf die Lösungen gekommen. Bei der zweiten Aufgabe bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:

2A=1 => A= [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

A+B+C=0 => [mm] B+C=-\bruch{1}{2} [/mm]
3A+2B+C=0 => [mm] 2B+C=-\bruch{3}{2} [/mm]

==> [mm] A=C=\bruch{1}{2} [/mm] ; B=-1

einsetzen:

[mm] \bruch{1}{2k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(k+2)} [/mm]

Nun sollte ich ja auf Konvergenz untersuchen, also...

[mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \summe_{K=2}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] = ?

Lösung ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

aber wie kommt man darauf? Es handelt sich ja um eine Harmonische Reihe, und die ist doch eigentlich divergent. Wie und über welchen Weg rechnet sie nun doch den Grenzwert aus?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Fr 29.12.2006
Autor: otto.euler


> [mm]\bruch{1}{2} \summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] -
> [mm]\summe_{K=2}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
> = ?
>  
> Lösung ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> aber wie kommt man darauf? Es handelt sich ja um eine
> Harmonische Reihe, und die ist doch eigentlich divergent.
> Wie und über welchen Weg rechnet sie nun doch den Grenzwert
> aus?


[mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] [/mm] -
[mm] \summe_{K=2}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{2}+\summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2}+\summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k}) [/mm]  + [mm] \bruch{1}{2} \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2}-1+\bruch{1}{2})*\summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] 0*\summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

unabhängig davon, ob [mm] \summe_{K=3}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] konvergiert oder divergiert!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de