Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/6n+2(-1)^{n+1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}3n+5/60n+3 [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
dies ist mein erster Post in diesem Forum denn ,wie ihr euch bestimmt denken könnt, brauche ich eure Hilfe in Bezug auf Analysis.
Also, es geht um die oben gestellten Aufgaben. Leider finde ich überhaupt kein Ansatz, wie ich an diese Aufgaben rangehen sollte.
Freue mich auf eure Post und Hilfen.
Mr. Bumpy Johnson
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> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
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> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/6n+2(-1)^{n+1}[/mm]
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> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}3n+5/60n+3[/mm]
> Hallo,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> dies ist mein erster Post in diesem Forum denn ,wie ihr
> euch bestimmt denken könnt, brauche ich eure Hilfe in Bezug
> auf Analysis.
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> Also, es geht um die oben gestellten Aufgaben. Leider finde
> ich überhaupt kein Ansatz, wie ich an diese Aufgaben
> rangehen sollte.
Bei diesen beiden Reihen ist die Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz recht einfach zu fällen. Denn eine notwendige (wenngleich nicht hinreichende) Bedingung dafür, dass eine Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] konvergiert, ist, dass ihre Glieder [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge bilden (gegen $0$ konvergieren).
Betrachten wir die Glieder des Beispiels a)
[mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{6n}+2(-1)^{n+1}[/mm]
Weil [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n+1}}{6n}=0$ [/mm] ist, der zweite Summand aber endlos zwischen $-2$ und $+2$ hin und her pendelt, bilden die Glieder dieser Reihe keine Nullfolge. Die Reihe selbst kann somit nicht konvergieren.
Auch bei Beispiel b)
[mm]\sum_{n=1}^\infty 3n+\frac{5}{60n}+3[/mm]
bilden die Glieder der Reihe keine Nullfolge, denn für grosses $n$ verhalten sich diese wie $3n+3$, gehen also für [mm] $n\rightarrow +\infty$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$ [/mm] (was so ziemlich das Gegenteil von einer Nullfolge sein dürfte...)
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| Aufgabe | a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{6n+2(-1)^{n+1}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(3n+5)}{(60n+3)} [/mm] |
Hi,
danke für deine Antwort aber ich glaube, dass ich dei Reihen falsch aufgeschrieben habe.
Hier sind die nun richitg.
Mr. Bumpy Johnson
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> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{6n+2(-1)^{n+1}}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hier hast Du eine alternierende Reihe vorliegen, und Du solltest zunächst schauen, ob und wie Du das QuotientenLeibnizkriterium verwenden kannst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 So 15.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> > a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{6n+2(-1)^{n+1}}[/mm]
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> Hallo,
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> Hier hast Du eine alternierende Reihe vorliegen, und Du
> solltest zunächst schauen, ob und wie Du das
> Quotientenkriterium verwenden kannst.
Hmmm, das Quotientenkriterium kann nur absolute Konvergenz erkennen. Die Summe der Beträge der Glieder der Reihe a) divergiert aber (sind betragsmässig durch die Glieder einer divergenten Variante der harmonischen Reihe von unten beschränkt: divergente Minorante). Diese Reihe ist also sicher nicht absolut konvergent und Konvergenz dieser Reihe kann daher durch das Quotientenkriterium nicht nachgewiesen werden.
Bleibt die Möglichkeit bedingter Konvergenz. Vielleicht ist dem Fragesteller die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ [/mm] bekannt. In diesem Falle könnte er versuchen, die Glieder der Reihe a) mit geeignet harmlos modifizierten Glieder dieser bekannten bedingt-konvergenten Reihe ins Sandwich zu nehmen. Es ist ja:
[mm]\frac{(-1)^{n+1}}{6n+2(-1)^{n+1}} = \frac{1}{6}\cdot \frac{(-1)^{n+1}}{n+\frac{(-1)^{n+1}}{3}}[/mm]
Der konstante Faktor [mm] $\frac{1}{6}$ [/mm] ist harmlos und kann aus der Summe gezogen werden, ohne dass dadurch Konvergenz oder Divergenz der Reihe beeinflusst wird. Für den verbleibenden Term haben wir die beidseitige Abschätzung:
[mm]\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}< \frac{(-1)^{n+1}}{n+\frac{(-1)^{n+1}}{3}}< \frac{(-1)^{n+1}}{n-1}[/mm]
Nachtrag: Du hast natürlich Recht, Angela: die Reihe ist alternierend, es genügt also zu zeigen, dass die Beträge der Glieder eine monoton fallende Nullfolge bilden.
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> > > a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{6n+2(-1)^{n+1}}[/mm]
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> > Hallo,
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> > Hier hast Du eine alternierende Reihe vorliegen, und Du
> > solltest zunächst schauen, ob und wie Du das
> > Quotientenkriterium verwenden kannst.
> Hmmm, das Quotientenkriterium kann nur absolute Konvergenz
> erkennen.
Hallo,
ich meinte es auch gar nicht, sondern "Leibniz" - der scheint mir gut zu klappen...
Gruß v. Angela
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> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(3n+5)}{(60n+3)}[/mm]
Hier ist
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n+5}{60n+3}
= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3+\frac{5}{n}}{60+\frac{3}{n}}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}[/mm]
Das heisst, die Glieder der Reihe bilden keine Nullfolge, die Reihe divergiert also.
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