Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Di 27.11.2007 | | Autor: | Alex87 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergent sind.
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k (k + 2)}
[/mm]
b) [mm] \summe_{j=0}^{\infty} \bruch{1}{j!}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{2})^{2k} [/mm] |
Hallo Matheraum Community,
ich habe mir gedacht, um die Konvergenz einer Reihe zu beweisen muss ich zuerst die Konvergenz der Folge zeigen.
Meine Rechnung für a:
[mm] \bruch{1}{k (k + 2)} [/mm] ->Nenner und Zähler durch k dividiert
= [mm] \bruch{\bruch{1}{k}}{1 (1 + 2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{1}{k}}{3} [/mm]
wenn nun k -> [mm] \infty
[/mm]
konvergiert die Folge nach 0 (Nullfolge -> ist doch auch die Vorraussetztung,dass die Reihe konvergent sein kann oder?)
und nun muss ich doch nur noch zeigen das die Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k (k + 2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{15} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24}+...
[/mm]
das würde dann einen lim knapp über 1/2 ergeben aber ich glaube, dass das der total falsche ansatz ist!
Muss ich versuchen den Therm umzuformen und dann erst nach unendlich streben lassen (wenn ja wie?) oder liege ich komplett falsch und muss versuchen mit dem Majorantenkriterium zu arbeiten??
Grüße Alex87
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Hallo Alex,
> Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergent sind.
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k (k + 2)}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{j=0}^{\infty} \bruch{1}{j!}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{2})^{2k}[/mm]
> Hallo
> Matheraum Community,
> ich habe mir gedacht, um die Konvergenz einer Reihe zu
> beweisen muss ich zuerst die Konvergenz der Folge zeigen.
>
> Meine Rechnung für a:
>
> [mm]\bruch{1}{k (k + 2)}[/mm] ->Nenner und Zähler durch k
> dividiert
>
> = [mm]\bruch{\bruch{1}{k}}{1 (1 + 2)}[/mm]
![[schockiert]](/images/smileys/schockiert.gif "[schockiert]") aus ner Summe hast du gekürzt?? Ohauerhau
>
> = [mm]\bruch{\bruch{1}{k}}{3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> wenn nun k -> [mm]\infty[/mm]
>
> konvergiert die Folge nach 0 (Nullfolge -> ist doch auch
> die Vorraussetztung,dass die Reihe konvergent sein kann
> oder?) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja das ist es, und [mm] $\frac{1}{k(k+2)}$ [/mm] ist natürlich ne Nullfolge
>
> und nun muss ich doch nur noch zeigen das die Reihe
> konvergiert:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k (k + 2)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{15}[/mm] + [mm]\bruch{1}{24}+...[/mm]
>
> das würde dann einen lim knapp über 1/2 ergeben aber ich
> glaube, dass das der total falsche ansatz ist!
> Muss ich versuchen den Therm umzuformen und dann erst nach
> unendlich streben lassen (wenn ja wie?) oder liege ich
> komplett falsch und muss versuchen mit dem
> Majorantenkriterium zu arbeiten?? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das ist mal ne sehr gute Idee !!
Habt ihr schon irgendwo gezeigt, dass dir Reihe [mm] $\sum\frac{1}{k^2}$ [/mm] konvergent ist? Die würde sich als Vergleichsreihe anbieten...
Alternativ kannst du den Reihenwert direkt ausrechnen.
Es ist ja [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^na_k}_{=S_n}$
[/mm]
Also der Grenzwert der Partialsummen.
Mache mal hier [mm] $\bruch{1}{k (k + 2)}$ [/mm] eine Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz:
[mm] $\bruch{1}{k (k + 2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+2}$
[/mm]
Dann stelle mal solch eine n-te Partialsumme [mm] $S_n$ [/mm] auf und du wirst sehen, dass das ne schöne Teleskopsumme ist, in der sich fast alle Summanden wegheben.
Dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] und du hast den Reihenwert 
zu (b) Probiere mal das Quotientenkriterium
zu (c) Stichwort: "Potenzgesetze und geometrische Reihe"
Wenn du das benutzt, kannst du auch sehr leicht den Reihenwert angeben
LG
schachuzipus
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