Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mi 28.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.
a) [mm] \summe_{k\ge1} {(\wurzel{k+1} - \wurzel{k})}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k\ge1}\bruch{\wurzel{k+1} - \wurzel{k}}{k}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k\ge1}(k(k+1)(k+2))^{-1}
[/mm]
d) [mm] \summe_{k\ge0}(\bruch{k}{2k + 1})^k [/mm] |
a) Eine recht dankbare Teleskopreihe. Divergiert offensichtlich gegen [mm] +\infty
[/mm]
b) Hier komme ich weder mit dem Quotientenkriterium noch mit dem Wurzelkriterium weiter - momentan suche ich noch nach einer geeigneten Abschätzung für das Majorantenkriterium... (hier wäre ich für Tipps dankbar)
c) Hier habe ich zunächst den Laufindex "verschoben", damit da [mm] \sum_{k\ge0}((k+1)(k+2)(k+3))^{-1} [/mm] steht. Somit folgt recht einfach:
Konvergiert absolut nach dem Quotientenkriterium.
Meine Frage: Wie bestimmt man hier den Grenzwert?
d) Die k-te Potenz "schreit" ja förmlich nach dem Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[k]{(\bruch{k}{2k+1})^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{k}{2k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2+\bruch{1}{k}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} \le \theta
[/mm]
Hieraus folgt, dass die Reihe konvergiert.
Auch hier würde ich gerne mal den Grenzwert berechnen, habe jedoch keinen blassen Schimmer, wie man bei Reihen da vorgeht.
Wenn jemand eine Idee hat, wie man die Reihe aus (b) geeignet abschätzen könnte - und wie man die Grenzwerte bei den beiden anderen Reihen berechnet (auch wenn dies nicht explizit in der Aufgabenstellung gefordert ist) - ich bin für jeden Tipp dankbar. :)
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
Erweitere den Ausdruck mit [mm] $\left( \ \wurzel{k+1} \ \red{+} \ \wurzel{k} \ \right)$ [/mm] und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mi 28.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Wenn ich wie vorgeschlagen erweiter, erhalte ich
[mm] \summe_{k\ge0} {\bruch{1}{k(\wurzel{k+1}+\wurzel{k})}}
[/mm]
Mit dieser Umformung habe ich mich dann mal an das Quotientenkriterium gewagt... aber ob ich das richtig gemacht habe, da wäre ich dankbar, wenn du da mal drüber schauen könntest - dort habe ich doch einige Abschätzungen angewandt, um zu einem Ergebnis zu kommen...
Q.K.:
[mm] \bruch{1}{(k+1)(\wurzel{k+2}+\wurzel{k+1})} \bruch{k(\wurzel{k+1} + \wurzel{k})}{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{k(\wurzel{k+1} + \wurzel{k})}{(k+1)(\wurzel{k+2}+\wurzel{k+1})}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{k+1} + \wurzel{k}}{\bruch{k+1}{k}(\wurzel{k+2}+\wurzel{k+1})}
[/mm]
an dieser Stelle habe ich dann noch einmal die 3. binomische Formel angewandt, um den Zähler auf 1 zu kriegen...
= [mm] \bruch{1}{\bruch{k+1}{k}(\wurzel{k+2}+\wurzel{k+1})(\wurzel{k+1}-\wurzel{k})}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\bruch{1+\bruch{1}{k}}{1}(\wurzel{k+2}\wurzel{k+1}+(k+1) - \wurzel{k+2}\wurzel{k}-\wurzel{k+1}\wurzel{k})}
[/mm]
[mm] \le \bruch{1}{(\wurzel{k+2}\wurzel{k+1}+(k+1) - \wurzel{k+2}\wurzel{k}-\wurzel{k+1}\wurzel{k}}
[/mm]
Hier verwende ich nun mehrmals hintereinander die Abschätzung [mm] \wurzel{a}\wurzel{b} \ge [/mm] min{a,b}, aufgeschrieben aber in einer Umformung, um das ganze nicht zu umfangreich werden zu lassen. ;)
[mm] \le \bruch{1}{(k+1)+(k+1) - (k) - (k)} \le \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \theta [/mm] mit [mm] 0\le\theta\le1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe konvergiert absolut.
Ich bin leicht skeptisch, entdecke aber auch keine größeren Fehler in der Rechnung (ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht vertippt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:25 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaraQ!
> [mm]\le \bruch{1}{(\wurzel{k+2}\wurzel{k+1}+(k+1) - \wurzel{k+2}\wurzel{k}-\wurzel{k+1}\wurzel{k}}[/mm]
>
> Hier verwende ich nun mehrmals hintereinander die
> Abschätzung [mm]\wurzel{a}\wurzel{b} \ge[/mm] min{a,b},
> aufgeschrieben aber in einer Umformung, um das ganze nicht
> zu umfangreich werden zu lassen. ;)
>
> [mm]\le \bruch{1}{(k+1)+(k+1) - (k) - (k)} \le \bruch{1}{2}[/mm]
Durch die Minuszeichen bei den letzten beiden Terme muss es richtig abgeschätzt werden zu:
[mm] $$\le \bruch{1}{(k+1)+(k+1) - (k+2) - (k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1} [/mm] \ = \ 1$$
Damit ist das Quotientenkriterium (wie fast zu erwarten war) nicht für diese Reihe geeignet.
Verwende hier eher das Majorantenkriterium mit der Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^s}$ [/mm] , welche für $s \ > \ 1$ konvergiert.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
Die Grenzwerte von diversen Reihen sind nicht immer explizit auszurechnen (wie z.B. so schön einfach bei einer geometrischen Reihe).
Bei Aufgabe c.) hättest Du auch ohne Indexverschiebung das Quotientenkriterium anwenden können.
Gruß
Loddar
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