Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Sa 01.03.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi.Bin ein bisschen am büffeln und wollt nachfragen ob ihr mir bei folgender Aufgabe helfen könntet:
Aufgabe: Untersuchen sie folgende reihen auf Konvergenz.
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^k}{(k+3)!}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=-22}^{\infty} [/mm] {(1- [mm] \bruch{1}{k})}^{{k}^{2}}
[/mm]
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Lösung:
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{(k+3)!}
[/mm]
wende Qutientenkriterium an und komme dann auf [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4}{k+4}=0 [/mm] <1 d.h a) ist absolut konvergent
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}
[/mm]
wende Majorantenkriterium an :
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}<=\summe_{i=1}^{\nfty} \bruch{1}{k} [/mm] => aufgrund der Tatsache das Majorante eine harmonicshe Reihe ist und die ist Divergent => b) ist Divergent
c) [mm] \summe_{k=-2}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k})}^{{k}^{2}}=
[/mm]
[mm] \summe_{k=-2}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k})}^{{k}}*\summe_{k=-2}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k})}^{{k}}= \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k-2})}^{{k-2}}*\summe_{k=0}^{\infty} [/mm] {1- [mm] \bruch{1}{k-2})}^{{k-2}}
[/mm]
hier komm ich nicht weiter
Danke vorweg
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Sa 01.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi.Bin ein bisschen am büffeln und wollt nachfragen ob ihr
> mir bei folgender Aufgabe helfen könntet:
>
> Aufgabe: Untersuchen sie folgende reihen auf Konvergenz.
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^k}{(k+3)!}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{k=-22}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(1- [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}^{2}}[/mm]
>
>
>
>
>
>
> Lösung:
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{(k+3)!}[/mm]
>
> wende Qutientenkriterium an und komme dann auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4}{k+4}=0[/mm] <1 d.h a) ist
> absolut konvergent
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>
> wende Majorantenkriterium an :
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}<=\summe_{i=1}^{\nfty} \bruch{1}{k}[/mm]
> => aufgrund der Tatsache das Majorante eine harmonicshe
> Reihe ist und die ist Divergent => b) ist Divergent
Hallo,
deine Begründung greift hier etwas zu kurz, da du den ständigen Vorzeichenwechsel der Summanden ignorierst. (Sonst könnte das Leibnizkriterium doch noch auf Konvergenz hindeuten). Allerdings ist
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k})^\bruch{1}{k}=\limes_{x\rightarrow 0}n^n=1$, [/mm] also ist die Folge der Absolutbeträge der Summanden keine Nullfolge. Es bleibt bei Divergenz.
>
> c) [mm]\summe_{k=-2}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1- [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}^{2}}=[/mm]
> [mm]\summe_{k=-2}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1-
> [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}}*\summe_{k=-2}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1-
> [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}}= \summe_{k=0}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1-
> [mm]\bruch{1}{k-2})}^{{k-2}}*\summe_{k=0}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1-
> [mm]\bruch{1}{k-2})}^{{k-2}}[/mm]
> hier komm ich nicht weiter
Hier irritiert mich etwas, dass ein nicht definierter Summand in der Reihe steckt (Nenner kann Null werden).
Ansonsten weiß ich nur, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{k})^k=\bruch{1}{e} [/mm] ist.
Mit wachsendem k können die Summanden [mm] (1-\bruch{1}{k})^{k^2} [/mm] also mit [mm] (\bruch{1}{e})^k [/mm] abgeschätzt werden.
Das riecht nach Konvergenz.
Viele Grüße
Abakus
>
> Danke vorweg
>
> matheja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 01.03.2008 | | Autor: | matheja |
> > wende Majorantenkriterium an :
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}<=\summe_{i=1}^{\nfty} \bruch{1}{k}[/mm]
> > => aufgrund der Tatsache das Majorante eine harmonicshe
> > Reihe ist und die ist Divergent => b) ist Divergent
> Hallo,
> deine Begründung greift hier etwas zu kurz, da du den
> ständigen Vorzeichenwechsel der Summanden ignorierst.
> (Sonst könnte das Leibnizkriterium doch noch auf Konvergenz
> hindeuten). Allerdings ist
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\bruch{1}{k})^\bruch{1}{k}=\limes_{x\rightarrow 0}n^n=1[/mm],
> also ist die Folge der Absolutbeträge der Summanden keine
> Nullfolge. Es bleibt bei Divergenz.
Leibnizkriterium :
a)Absolutfolge ist monoton fallend (ok ist erfült)
b)Folge ist alternierend (ok ist erfüllt)
c)allerdings ist es keine Nullfolge
=> Leibnizkriterium hilft also nicht
Da auch Wurzelkriterium und Qutientenkriterium auch keine Aussage bringen,hilft also nur majorantenkriterium.Ein anderer Weg fällt mir nicht ein.
> >
> > c) [mm]\summe_{k=-2}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> [red]immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
>
> Hier irritiert mich etwas, dass ein nicht definierter
> Summand in der Reihe steckt (Nenner kann Null werden).
> Ansonsten weiß ich nur, dass
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{k})^k=\bruch{1}{e}[/mm]
> ist.
> Mit wachsendem k können die Summanden
> [mm](1-\bruch{1}{k})^{k^2}[/mm] also mit [mm](\bruch{1}{e})^k[/mm]
[mm](1-\bruch{1}{k})^{k^2}[/mm] [mm] ={e}^{-1}*{e}^{-1} [/mm]
> abgeschätzt werden.
> Das riecht nach Konvergenz.
> Viele Grüße
> Abakus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo matheja,
ein notwendiges Kriterium (Trivialkriterium heißt das, glaube ich) für die Konvergenz einer Reihe $\sum a_k$ ist doch, dass die Folge $(a_k)_{k\in\IN}$ eine Nullfolge ist, dh.
$\sum a_k$ konvergent $\Rightarrow (a_k)_{k\in\IN}$ ist Nullfolge bzw. mit Kontraposition äquivalent dazu
$(a_k)_{k\in\IN}$ keine Nullfolge $\Rightarrow \sum a_k$ divergent
Damit und mit deinen Ergebnissen oben zu (b) kannst du damit sofort über Konvergenz/Divergenz der Reihe $\sum (-1)^k\sqrt[k]{\frac{1}{k}}$ sagen ...
Bei der Reihe in (c) ist $\left(\left(1-\frac{1}{k}\right)^{k^2}\right)_{k\in\IN$ eine Nullfolge, die Reihe könnte also konvergent sein.
Ich würde es mal mit dem Wurzelkriterium probieren, das sollte m.E. am Schnellsten ein Ergebnis bringen...
Berechne $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=r$
Dann hast du (absolute) Konvergenz der Reihe für $r<1$ und Divergenz für $r>1$
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 So 02.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi.Bin ein bisschen am büffeln und wollt nachfragen ob ihr
> mir bei folgender Aufgabe helfen könntet:
>
> Aufgabe: Untersuchen sie folgende reihen auf Konvergenz.
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^k}{(k+3)!}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}*\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{k=-22}^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(1- [mm]\bruch{1}{k})}^{{k}^{2}}[/mm]
>
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> Lösung:
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> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{(k+3)!}[/mm]
>
> wende Qutientenkriterium an und komme dann auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4}{k+4}=0[/mm] <1 d.h a) ist
> absolut konvergent
Mir ist unklar, wie Du auf den Term unterm Limes kommst. Du könntest dort z.B. nachweisen (Beträge spare ich mir hier unter der Wurzel, da dort eh alles [mm] $\ge [/mm] 0$):
[mm] $\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{\frac{4^k}{(k+3)!}}=4*\lim_{k \to \infty}\frac{1}{\sqrt[k]{(k+3)!}}=0$
[/mm]
(Also [mm] $\sqrt[k]{(k+3)!}=\infty$, [/mm] was man leicht einsieht, wenn man z.B. weiß, dass [mm] $\sqrt[k]{r} \to [/mm] 1$ für $r > 0$ und [mm] $\sqrt[k]{k!} \to \infty$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$.)
[/mm]
Mit entsprechendem Wissen (über die Reihendarstellung der $e$-Funktion) kann man aber auch einsehen:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{(k+3)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=4}^{\infty} \bruch{{4}^{k-3}}{k!}=\frac{1}{4^3}*\summe_{k=4}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{k!} \le \frac{1}{4^3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{{4}^{k}}{k!}=\frac{e^4}{4^3}$
[/mm]
Majorantenkriterium liefert die (absolute) Konvergenz (hier sind ja eh alle Summanden [mm] $\ge [/mm] 0$).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 02.03.2008 | | Autor: | Jonny86 |
| Aufgabe | | $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}} [/mm] $ |
Hallo,
ich wollte fragen warum es denn keine Nullfolge ist?
Der Nenner geht doch gegen unendlich und daher das ganze gegen 0!?
Was versteh ich hier falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 02.03.2008 | | Autor: | matheja |
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>
> Hallo,
> ich wollte fragen warum es denn keine Nullfolge ist?
> Der Nenner geht doch gegen unendlich und daher das ganze
> gegen 0!?
> Was versteh ich hier falsch?
Erst mal Danke Abakus ,schachuzipus und Marcel.Ich denk ich habs nun verstanden.
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
Wenn du das Leibnizkriterium anwenden willst müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
(i) Reihe muss alterniernd sein
(ii) Monton fallend
(iii) zusätzlich muss [mm] a_k [/mm] gegen 0 gehen
[mm] a_k=\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_k \not=0 [/mm] d.h Leibnizkriterium bringt nichts.
Denn:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch{1}{k}}= \bruch{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{1} }{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}}=\bruch{1}{1}=1 \not=0
[/mm]
lg
matheja
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 So 02.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>
> Hallo,
> ich wollte fragen warum es denn keine Nullfolge ist?
> Der Nenner geht doch gegen unendlich und daher das ganze
> gegen 0!?
> Was versteh ich hier falsch?
nur noch eine Anmerkung dazu:
Ich glaube, Du verwechselst einfach zwei Dinge bzw. guckst hier vielleicht nicht genau (genug) hin.
Es gilt:
[mm] $\sqrt[k]{k!} \to \infty$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] (da steht $k$ FAKULTÄT unter der Wurzel)
Aber es gilt nicht
[mm] $\sqrt[k]{k} \to \infty$ [/mm]
sondern
[mm] $\sqrt[k]{k} \to [/mm] 1$ bei $k [mm] \to \infty$.
[/mm]
Also der Nenner [mm] $\sqrt[k]{k}$ [/mm] oben strebt nicht gegen [mm] $\infty$, [/mm] sondern gegen $1$.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 So 02.03.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {{-1}^k}\cdot{}\wurzel[k]{\bruch{1}{k}}[/mm]
>
> Hallo,
> ich wollte fragen warum es denn keine Nullfolge ist?
> Der Nenner geht doch gegen unendlich und daher das ganze
> gegen 0!?
> Was versteh ich hier falsch?
Wenn allerdings von einer festen Zahl zwischen Null und 1 immer höhere Wurzeln gezogen werden, konvergiert dieser Ausdruck gegen 1.
Das Problem ist, was hier überwiegt: das kleinerwerden wegen des Bruchs oder das größerwerden wegen der k-ten Wurzel.
Abakus
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