Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Di 13.05.2008 | | Autor: | Jennifer |
Hey,
sorry, dass ich nochmal fragen muss, aber das Problem mit der Konvergenz macht mich echt verrückt. Gegeben ist die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{n^2+1}{(n+1)^2}
[/mm]
da muss man jetzt die konvergenz bestimmen. ich würde hier einfach mit dem minorantenkriterium argumentieren und sagen, dass [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2} [/mm] kleiner gleich die o.g. Reihe ist und die Reihe deswegen divergiert. Aber in meiner Musterlösung kommt jetzt danach noch das der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{2} [/mm] geht und die reihe deswegen divergiert?
verstehe ich absolut nicht, und wäre mehr als froh, wenn mir so spät am nachmittag noch jemand helfen könnte.
liebe grüße
jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 13.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
Ist denn das notwendige Kriterium für die Reihenkonvergenz erfüllt und ist [mm] $\bruch{n^2+1}{(n+1)^2}$ [/mm] eine Nullfolge?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Di 13.05.2008 | | Autor: | Jennifer |
Also das ist keine Nullfolge oder? sondern die glieder konvergieren gegen 1?
heißt das, dass man immer erst das notwendige kriterium für konvergenz/divergenz zeigen muss und nicht gleich mit den harten sache wie den minorantenkriterium einsteigen kannn ;)?
gruß
jenny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Di 13.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Jennifer,
> heißt das, dass man immer erst das notwendige kriterium für
> konvergenz/divergenz zeigen muss und nicht gleich mit den
> harten sache wie den minorantenkriterium einsteigen kannn
> ;)?
Nein, in der "Praxis" kannst du bereits durch die alleinige Anwendung der "harten" Konvergenzkriterium (Minoranten-, Majoranten, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz-, Grenzwertkriterium etc.) bereits "Erfolg" haben, d.h., wenn die Voraussetzungen für diese Kriterien erfüllt sind, dann brauchst du das notwenige Konvergenzkriterium nicht mehr zu überrüfen.
Du hättest also bei dieser Aufgabe tatsächlich auch mit dem Minorantenkriterium argumentieren können, d.h., wenn [mm] $\bruch{n^2+1}{(n+1)^2}\ge \bruch{1}{2}$ [/mm] (so, wie du sagt, ich habe das nicht überprüft), dann ist [mm] $\summe \bruch12$ [/mm] natürlich eine divergente Minorante. Allerdings müsste man dann natürlich wissen/zeigen, dass [mm] $\summe \bruch12$ [/mm] tatsächlich divergent ist, wofür man dann wahrscheinlich ohnehin das notwendige Konvergenzkriterium bemühen muss.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 13.05.2008 | | Autor: | Jennifer |
hey vielen dank schonmal für eure hilfe. und wie könnte ich zeigen, dass 1/2 divergent bzw keine nullfolge ist...ist das vielleicht dieses ominöse n/2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 13.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jennifer,
> hey vielen dank schonmal für eure hilfe. und wie könnte ich
> zeigen, dass 1/2 divergent bzw keine nullfolge ist...ist
> das vielleicht dieses ominöse n/2?
gehen wir ruhig mal Deinen Weg:
[mm] $\frac{n^2+1}{(n+1)^2} \ge \frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $2n^2+2 \ge n^2+2n+1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $n^2-2n+1 \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ $(n-1)^2 \ge [/mm] 0$
Da die letzte Ungleichung offensichtlich richtig ist, folgt aus ihr auch (durch lesen der obigen Rechnung von unten nach oben und Verfolgen der Pfeile [mm] $\Leftarrow$) [/mm] in der Tat, dass für alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $\frac{n^2+1}{(n+1)^2} \ge \frac{1}{2}$
[/mm]
gilt. Damit hast Du in trivialer Weise eine divergente Minorante gefunden, nämlich einfach die Reihe [mm] $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2}=\infty$:
[/mm]
Es gilt nämlich hier für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \bruch{n^2+1}{(n+1)^2} \ge \summe_{i=1}^{n} \frac{1}{2}=n*\frac{1}{2}=\frac{n}{2} \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] .
Sofern Deine Reihe wirklich [mm] $\summe_{i=1}^{n}\frac{n^2+1}{(n+1)^2}$ [/mm] lautet!
Lautet Deine Reihe übrigens
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2+1}{(n+1)^2}$, [/mm] so geht die Argumentation im Prinzip genauso:
Für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\summe_{n=1}^{N} \bruch{n^2+1}{(n+1)^2} \ge \sum_{n=1}^N \frac{1}{2}=\frac{N}{2} \to \infty$ [/mm] bei $N [mm] \to \infty$.
[/mm]
Übrigens, ganz allgemein:
Ist [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] eine Reihe so, dass ein $c > 0$ so existiert, dass [mm] $a_n \ge [/mm] c$ für alle (bis auf endlich viele) $n$, so folgt [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n=\infty$.
[/mm]
Um das einzusehen nimmst Du o.B.d.A. an, dass [mm] $a_n \ge [/mm] c$ für alle $n$ gelten würde. Dann folgt [mm] $\sum_{n=0}^N a_n \ge [/mm] (N+1)*c [mm] \to \infty$ [/mm] für $N [mm] \to \infty$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Di 13.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jennifer,
> Also das ist keine Nullfolge oder? sondern die glieder
> konvergieren gegen 1?
>
> heißt das, dass man immer erst das notwendige kriterium für
> konvergenz/divergenz zeigen muss und nicht gleich mit den
> harten sache wie den minorantenkriterium einsteigen kannn
> ;)?
>
> gruß
>
> jenny
also allgemein:
Wenn Du eine Reihe der Art [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{b_n}$ [/mm] gegeben hast, dann kann es durchaus helfen, sich zu überlegen, was [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$ [/mm] ist (sofern existent).
Das liegt zum einen daran, dass eine Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty x_n$ [/mm] (mit einer Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$) [/mm] genau dann konvergiert,
wenn [mm] $\sum_{n=N}^\infty x_n$ [/mm] für ein (und damit auch schon jedes) $N [mm] \in \IN_0$ [/mm] konvergiert (d.h. insbesondere, die ersten Summanden einer Reihe wirken sich nicht auf das Konvergenzverhalten der Reihe aus (wohl aber auf den Grenzwert der Reihe!)).
Zum anderen kannst Du so öfters eine Idee für konvergente Majoranten oder divergente Minoranten bekommen.
Beispiele:
1.) [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2n^2+1}$
[/mm]
Weil [mm] $n*\frac{n+1}{2n^2+1} \to \frac{1}{2}$ [/mm] (Beweis?), gibt es zu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{4}$ [/mm] (wichtig ist hier eigentlich nur, dass ein [mm] $\varepsilon$ [/mm] mit $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] existiert) ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] so, dass [mm] $n*\frac{n+1}{2n^2+1} \ge \frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$. Wie sähe hier die divergente Minorante aus?
(Beachte:
[mm] $\frac{n+1}{2n^2+1} \ge \frac{1}{4}*\frac{1}{n}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$.)
2.) [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{4n^3+1}$
[/mm]
Weil [mm] $n^2*\frac{n+1}{4n^3+1} \to \frac{1}{4}$ [/mm] (Beweis?), gibt es zu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{8}$ [/mm] ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] so, dass [mm] $n^2*\frac{n+1}{4n^3+1} \le \frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$. Wie sähe hier die konvergente Majorante aus?
(Beachte:
[mm] $\frac{n+1}{4n^3+1} \le \frac{3}{8}*\frac{1}{n^2}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$; und die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ [/mm] ist konvergent und damit auch [mm] $\sum_{n=N}^\infty \frac{1}{n^2}$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Genau ...
