Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist folgende Reihe Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{k(k+2)}
[/mm]
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Wir haben in den den letzten beiden Vorlesungen Reihen durchgenommen.
Unser Prof. erklärt das ganze leider immer sehr sehr theoretisch bzw. rechnet keine Beispiele wirklich vor bzw. ich kann nichts mit seinen Erklärungen anfangen.
Wir sollen jetzt für die nächste Übung einige Reihen auf Konvergenz untersuchen. Mir fehlt im moment leider jeglicher ansatz.
Könnte mir vielleicht jmd. an einem einfachen Beispiel mal zeigen "was man da tut" :) ?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{k(k+2)}
[/mm]
Das ist unser erstes Beispiel auf dem Übungsblatt
Lg
Marry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 So 25.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Marry,
welche Kriterien zur Konvergenz von Reihen hattet ihr denn schon in der Vorlesung? Eines davon kann man bestimmt hier anwenden.
Und sehr wahrscheinlich habt ihr auch schon bereits die Konvergenz von einigen speziellen Reihen gezeigt, schaue dir das doch noch mal an und schreibe uns, welche Reihen das waren. Dann vergleichen wir die mal mit deiner Reihe und entdecken vielleicht, dass man diese Reihe genauso geschickt umformen und vereinfachen kann...
Viele Grüße,
Marc
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Hallo!
Also aufgeschrieben haben wir bis jetzt an speziellen Reihen :
harmonische Reihe -> divergent nach Cauchy
und geometrische Reihe -> konvergent
An Kriterien haben wir bis jetzt gemacht :
Leibniz, Majoranten, Minoranten, Quotienten, Vergleichs und Wurzelkriterium!
Mein Problem ist das ich einfach nicht weis wie ich an eine solche Aufgabe am besten rangehe?
Schonmal danke für die Hilfe!
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marry!
Habt ihr denn schon mal die Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{k^2}$ [/mm] betrachtet? Denn gegen diese Reihe kannst Du hier abschätzen und dementsprechend auf Konvergenz oder Divergenz entscheiden.
Gruß
Loddar
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Hallo!
Danke für die schnelle antwort....aber
Genau dass ist mein Problem. Wie schätze ich denn ab? Gehört habe ich das schon x-mal in der VL doch genau diese dinge fehlen mir dann immer.
Ich sehe die Aufgaben vor mir und weis auch was ich tun soll. Mein Problem ist das wie. Wenn ich mal zurückdenke an den Lineare Algebra, da gabs immer irgendwie en Schema wie man an ne Aufgabe ran geht.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Marry2605,
deinem Benutzernamen nach darf ich dir wohl jetzt zum Geburtstag gratulieren? ![[happybirthday]](/images/smileys/happybirthday.gif "[happybirthday]")
> Danke für die schnelle antwort....aber
> Genau dass ist mein Problem. Wie schätze ich denn ab?
> Gehört habe ich das schon x-mal in der VL doch genau diese
> dinge fehlen mir dann immer.
Das Abschätzen ist hier nicht sonderlich schwierig (s.u.); allgemein kann es schon sehr trickreich sein.
Eine Reihe besteht ja sozusagen aus unendlich vielen Summanden. Wenn die Reihe konvergent ist, hat diese Summe einen endlichen Wert. Von der Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch1{k^2}$ [/mm] weißt du bestimmt schon (siehe Vorlesung?), dass sie konvergent ist.
Betrachten wir mal diese Reihe [mm] $\summe_{k=1}^\infty \bruch1{k(k+2)}$ [/mm] (die nicht die Reihe aus der Aufgabenstellung ist).
Für ihre Summanden gilt: [mm] $\bruch{1}{k(k+2)}\le \bruch{1}{k^2}$. [/mm] Die Gültigkeit diese Ungleichung kann man natürlich sofort überprüfen, indem man Äquivalenzumformungen vornimmt. Die Gültigkeit einsehen und selbst diese Ungleichung aufstellen kann man durch folgende einfache Überlegung: Wenn ich bei einem Bruch den Nenner kleiner mache (also $k(k+2)$ ersetze durch [mm] $k^2$), [/mm] dann wird der Bruch größer. Dieses ganze Vorgehen nennt man abschätzen: Ich habe [mm] $\bruch{1}{k(k+2)}$ [/mm] (nach oben) abgeschätzt durch [mm] $\bruch{1}{k^2}$.
[/mm]
In der Reihentheorie sagt man dazu auch: [mm] $\summe \bruch{1}{k^2}$ [/mm] ist eine konvergente Majorante (zu [mm] $\summe \bruch{1}{k(k+2)}$), [/mm] da [mm] $\summe \bruch{1}{k^2}$ [/mm] sowohl größer, als auch konvergent ist.
Wenn die Majorante konvergiert, dann konvergiert die Reihe, deren Summanden sämtlich kleiner sind als die der Majorante [mm] ($\bruch{1}{(k(k+2)}\le \bruch{1}{k^2}$) [/mm] erst recht. Diese Aussage nennt man "Majorantenkriterium".
Nun lautet deine Reihe aber [mm] $\summe_{k=1}^\infty \bruch{\red{2}}{k(k+2)}$. [/mm] Aber es gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^\infty \bruch{\red{2}}{k(k+2)}$
[/mm]
Distributivgesetz anwenden und 2 ausklammern (erlaubt, da die Reihe konvergent ist):
[mm] $=\red{2}*\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{k(k+2)}$
[/mm]
Nun schließen sich die Überlegungen von oben an:
[mm] $\le 2*\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{k^2}$
[/mm]
[mm] $<\infty$, [/mm] da [mm] $\summe \bruch{1}{k^2}$ [/mm] konvergent.
Also ist deine Reihe konvergent.
Eine andere Möglichkeit, die Konvergenz deiner Reihe zu zeigen, ist, sie als Teleskopsumme zu erkennen. Ich hatte eigentlich gehofft, dass ihr so eine ebenfalls in der Vorlesung besprochen hattet. Dieser Weg hat auch noch den Vorteil, dass man nicht nur die Konvergenz der Reihe entscheiden kann, sondern auch den Grenzwert erfährt.
Eine dritte Variante könnte das Vergleichskriterium sein, das du angesprochen hattest. Kommt darin ein Ausdruck der Form [mm] $0<\lim_{n\to\infty} \bruch{a_n}{b_n}<\infty$ [/mm] vor? Falls ja, kannst du für [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] wählen: [mm] $a_n:=\bruch{1}{n(n+2)}$ [/mm] und [mm] $b_n:=\bruch{1}{n^2}$.
[/mm]
Viele Grüße und noch einen schönen Feiertag! 
Marc
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 23:28 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Marry2605 |
Jap, das mit dem Geburstag hast du richtig abgeleitet ;) Dankeschön :)
Wenn ich dass so von dir lese verstehe ich das schon. Muss mal versuchen ob ich das alleine auch mit anderen Aufgaben hinbekomme.
Könnte mir jemand vielleicht ein geegnetes Buch empfehlen, das "verständlich" geschrieben ist? Vielleicht ein Schulbuch oder sowas?
Lg
Marry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Di 27.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Marry,
> Wenn ich dass so von dir lese verstehe ich das schon. Muss
> mal versuchen ob ich das alleine auch mit anderen Aufgaben
> hinbekomme.
>
> Könnte mir jemand vielleicht ein geegnetes Buch empfehlen,
> das "verständlich" geschrieben ist? Vielleicht ein
> Schulbuch oder sowas?
In Schulbüchern werden Reihen üblicherweise nicht behandelt, schon gar nicht in dieser Tiefe (es gibt aber bestimmt Ausnahmen, die ich aber nicht kenne).
Ich würde dir da die Standardliteratur zur Analysis I empfehlen:
Forster, Königsberger, Heuser, Storch/Wiebe, Bröcker, Fritzsche etc.
Ich habe deine Frage mal in eine Umfrage umgewandelt, vielleicht haben andere ja noch andere Ideen.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:34 Di 27.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Marry,
> Jap, das mit dem Geburstag hast du richtig abgeleitet ;)
> Dankeschön :)
von mir auch herzlichen Glueckwunsch! (In der Zeitzone wo ich grad bin ist sogar noch der 26.5., also bin ich nicht mal wirklich zu spaet dran :) )
> Könnte mir jemand vielleicht ein geegnetes Buch empfehlen,
> das "verständlich" geschrieben ist? Vielleicht ein
> Schulbuch oder sowas?
Literatur kann ich dir da leider nicht empfehlen. Eigentlich nur: viele Beispiele (fuer konvergente und nicht konvergente) anschauen, ruhig erstmal selber probieren, wenn es nicht klappt, die Loesung anschauen (soweit existent). Mit der Zeit bekommst du dann hoffentlich etwas Intuition. Ist genauso wie mit dem Integrieren oder mit dem Beweisen, ganz wenige koennen es sofort und die meisten brauchen viel Uebung :)
LG Felix
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:11 Di 27.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]\summe_{k=1}^\infty \bruch{\red{2}}{k(k+2)}[/mm]
>
> Distributivgesetz anwenden und 2 ausklammern:
>
> [mm]=\red{2}*\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{k(k+2)}[/mm]
Ist nur ne Kleinigkeit, aber das Distributivgesetz gilt nur für Summen, und Summen sind endlich. Es gilt nicht für Reihen.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 00:43 Di 27.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo pelzig,
> > [mm]\summe_{k=1}^\infty \bruch{\red{2}}{k(k+2)}[/mm]
> >
> > Distributivgesetz anwenden und 2 ausklammern:
> >
> > [mm]=\red{2}*\summe_{k=1}^\infty \bruch{1}{k(k+2)}[/mm]
>
> Ist nur ne Kleinigkeit, aber das Distributivgesetz gilt nur
> für Summen, und Summen sind endlich. Es gilt nicht für
> Reihen.
Okay, das war mir so nicht bewusst, denn konvergente Reihen verhalten sich ja ganz ähnlich wie endliche Summen, gerade was das Distributivgesetz angeht. Meiner Meinung nach spricht nichts dagegen, das dann auch "Distributivgesetz für Reihen" zu nennen (habe das aber nicht in der Literatur gefunden).
Für Marry2605: Die Rechenoperation, die ich angegeben hatte (also das "Ausklammern" der 2) heißt also nicht Distributivgesetz, ist aber trotzdem gültig.
Viele Grüße,
Marc
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 01:16 Di 27.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Okay, das war mir so nicht bewusst, denn konvergente Reihen
> verhalten sich ja ganz ähnlich wie endliche Summen, gerade
> was das Distributivgesetz angeht.
Ja dann war es vielleicht doch mal ganz gut das zu erwähnen, leider verhalten sich unendliche Reihen ganz anders als endliche Summen, deshalb muss man da sehr vorsichtig sein. Zum Beispiel gilt das Kommutativgesetz in unendlichen Reihen im Allgemeinen überhaupt nicht, denn man kann z.B. die Reihe [mm] $$\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}$$nur [/mm] durch Umordnen (d.h. praktisch durch "Ändern der Summationsreihenfolge") gegen jede (!) beliebige reelle Zahl konvergieren lassen.
> Meiner Meinung nach
> spricht nichts dagegen, das dann auch "Distributivgesetz
> für Reihen" zu nennen (habe das aber nicht in der Literatur
> gefunden).
Es ist ja auch irgendwie richtig, aber man muss natürlich schon wissen was man da tut. Technisch gesehen sind das einfach die Rechenregeln für konvergente (!) Zahlenfolgen, d.h. man darf es in dem Fall machen weil beide Faktoren, also die [mm]2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und die neue Reihe $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+2)}$$ für $n\to\infty$ konvergieren. Für Konstanten wie hier geht das natürlich immer, aber was ist z.B. mit
$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+2)}\stackrel{?!?}{=}\left(\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k}\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k+2}\right)$$
Sieht ja auch irgendwie wie Distributivgesetz aus, geht aber natürlich nicht da die rechte Seite divergiert.
Gruß, Robert
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(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 01:27 Di 27.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Robert,
> > Okay, das war mir so nicht bewusst, denn konvergente Reihen
> > verhalten sich ja ganz ähnlich wie endliche Summen, gerade
> > was das Distributivgesetz angeht.
> Ja dann war es vielleicht doch mal ganz gut das zu
> erwähnen, leider verhalten sich unendliche Reihen ganz
> anders als endliche Summen, deshalb muss man da sehr
> vorsichtig sein.
Also, das "nicht bewusst" bezog sich eigentlich nur darauf, dass man dieses Rechengesetz nicht auch "Distributivgesetz" nennt, obwohl es auf dem gleichnamigen Gesetz für endliche Summen beruht 
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 03:30 Di 27.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Okay, das war mir so nicht bewusst, denn konvergente Reihen
> > verhalten sich ja ganz ähnlich wie endliche Summen, gerade
> > was das Distributivgesetz angeht.
> Ja dann war es vielleicht doch mal ganz gut das zu
> erwähnen, leider verhalten sich unendliche Reihen ganz
> anders als endliche Summen, deshalb muss man da sehr
> vorsichtig sein. Zum Beispiel gilt das Kommutativgesetz in
> unendlichen Reihen im Allgemeinen überhaupt nicht, denn man
Also ``ueberhaupt'' wuerde ich nicht sagen. Es gilt i.A. nicht bei nicht absolut konvergenten Reihen.
> kann z.B. die Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}[/mm]nur
> durch Umordnen (d.h. praktisch durch "Ändern der
> Summationsreihenfolge") gegen jede (!) beliebige reelle
> Zahl konvergieren lassen.
Genau, das ist der Riemannsche Umordnungssatz. Zusammen mit dem Umordnungssatz fuer absolut konvergente Reihen hat man damit:
Eine Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] ist genau dann absolut konvergent, wenn man sie beliebig umordnen kann, ohne etwas an der Konvergenz (oder noch staerker: am Grenzwert) zu aendern.
> > Meiner Meinung nach
> > spricht nichts dagegen, das dann auch "Distributivgesetz
> > für Reihen" zu nennen (habe das aber nicht in der Literatur
> > gefunden).
> Es ist ja auch irgendwie richtig, aber man muss natürlich
> schon wissen was man da tut. Technisch gesehen sind das
> einfach die Rechenregeln für konvergente (!) Zahlenfolgen,
> d.h. man darf es in dem Fall machen weil beide Faktoren,
> also die [mm]2[/mm] und die neue Reihe
> [mm]\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+2)}[/mm] für [mm]$n\to\infty$[/mm]
> konvergieren. Für Konstanten wie hier geht das natürlich
> immer, aber was ist z.B. mit
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+2)}\stackrel{?!?}{=}\left(\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k}\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k+2}\right)[/mm]
>
> Sieht ja auch irgendwie wie Distributivgesetz aus, geht
> aber natürlich nicht da die rechte Seite divergiert.
Das wuede aber fuer endliche Summen ebensowenig funktionieren! Und hier ging es doch um Rechenregeln, die fuer endliche Summen funktionieren, fuer unendliche aber nicht umbedingt, oder?
Da muss man schon eher sowas nehmen wie [mm] $\left( \sum_{k=1}^\infty a_k \right) \left( \sum_{\ell=1}^\infty b_\ell \right) \overset{?!}{=} \sum_{k=1}^\infty \left( \sum_{\ell=1}^\infty (a_k b_\ell) \right)$.
[/mm]
Man kann leicht [mm] $a_k, b_\ell$ [/mm] so waehlen, dass der Ausdruck auf der rechten Seite gar keinen Sinn macht (etwa weil [mm] $b_\ell [/mm] = [mm] \frac{1}{\ell}$ [/mm] ist), der auf der linken Seite jedoch schon (weil dann z.B. [mm] $a_k [/mm] = 0$ ist fuer alle $k$).
Hier gilt ebenso wie beim ``Kommutativgesetz'': beliebig tauschen darf man nur bei absolut konvergenten Reihen!
LG Felix
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