Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Finde die Grenzwerte folgender Reihen:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch {1}{(2k)!}[/mm]
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch {1}{(2k+1)!}[/mm] |
Grüße
Ich soll die Grenzwerte der beiden Reihen bestimmen.
Mir sieht das ganze verdächtig nach Sinus/Kosinus aus, aber das fehlende [mm](-1)^k[/mm] bekomme ich nicht hinein.
Das die Reihen konvergieren habe ich schon durch den Konvergenzradius gezeigt, mir fehlt nur der tatsächlich Wert.
Für Hilfestellungen oder Tipps wäre ich dankbar.
Phorkyas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mi 04.03.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Negativ Beispiel:
Darfst du nicht einfach nachdenken? Oder musst du das irgendwie beweisen. Ich würds so machen
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch [/mm] {1}{(2k)!} $
[mm] \bruch{1}{(2*1)!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(2*2)!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(2*\infty)!}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24} [/mm] + 0
also 0,54
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Phorkyas |
Grüße
Ich bräuchte eine exakte Lösung.
Eine Abschätzung der ersten beiden Terme reicht mir nicht.
Abgeschätzt ist die erste Summe [mm]1/(2k)! \approx 1,54308066 \approx \bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]1/(2k+1)! \approx 1,175201194 \approx \wurzel{\bruch{\pi}{2}}[/mm]
trotzdem danke
Phorkyas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:10 Mi 04.03.2009 | | Autor: | XPatrickX |
...das ist Quatsch!
Wieso betrachtest du von unendlich vielen Summanden nur die ersten beiden und den "letzten"?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 21:13 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Darfst du nicht einfach nachdenken? Oder musst du das
> irgendwie beweisen. Ich würds so machen
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch {1}{(2k)!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(2*1)!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(2*2)!}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(2*\infty)!}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{24}[/mm] + 0
>
> also 0,54
wie bitte? Nach dieser Logik wäre ja
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=1/1 \;\;+\;\;1/2\;\;+\;\;1/\infty=3/2\,,$$
[/mm]
aber es ist
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty\,.$$
[/mm]
Das ist grober Unfug, was Du da oben schreibst, und hat auch nix mit 'scharf nachdenken' zu tun...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 21:35 Mi 04.03.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Nun ja ich hab da die Nullfolgen im Sinn wie bei:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
aber damit lag ich wohl falsch, Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 04.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Finde die Grenzwerte folgender Reihen:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch {1}{(2k)!}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch {1}{(2k+1)!}[/mm]
> Grüße
>
> Ich soll die Grenzwerte der beiden Reihen bestimmen.
> Mir sieht das ganze verdächtig nach Sinus/Kosinus aus,
> aber das fehlende [mm](-1)^k[/mm] bekomme ich nicht hinein.
> Das die Reihen konvergieren habe ich schon durch den
> Konvergenzradius gezeigt, mir fehlt nur der tatsächlich
> Wert.
>
> Für Hilfestellungen oder Tipps wäre ich dankbar.
>
> Phorkyas
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
ein direktes Ergebnis habe ich nicht, aber:
Die Summe beider Reihen ergibt e.
Wie ein gliedweiser Vergleich zeigt, ist die Summe der ersten Reihe größer als die Summe der zweiten Reihe. Die Summe der erste Reihe OHNE ihren ersten Summanden (1) ist hingegen kleiner als die Summe der zweiten Reihe.
Gruß Abakus
PS: Bringt es vielleicht was, auch die Differenz beider Reihen zu betrachten??
|
|
|
| |
|
Hallo,
irgendwas ist heute nicht in Ordnung mit dem "Antwort-button" ... hmmm...
Nun denn, mein Tipp:
Wirf einen scharfen Blick ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") auf die Reihendarstellungen von [mm] $\sinh(x)$ [/mm] und [mm] $\cosh(x)$.
[/mm]
Falls du sie noch nicht hattest in der VL, leite sie dir aus den Definitionen [mm] $\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x-e^{-x}\right)$ [/mm] und [mm] $\cosh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x+e^{-x}\right)$ [/mm] her ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Phorkyas |
Herzlichen dank, da wäre ich so nicht drauf gekommen.
Mit dem Tipp war es dan kein Problem.
Phorkyas
|
|
|
|
